微积分课件：7-习题课

1、习题课习题课 主要内容主要内容 典型例题典型例题定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用二重积分二重积分定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用三重积分三重积分一、主要内容一、主要内容D二、典型例题二、典型例题例例1 1解解围成围成由由其中其中计算计算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD例例2 2解解. 10, 11:.2 yxDdxyD其中其中计算计算 1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 dxydyxdxy

2、DDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 )0( .),(22202 adyyxfdxIaxxaxa更换积分次序更换积分次序例例3 3解解 ,22,20:2axyxaxaxD,321三部分三部分及及分成分成将积分区域将积分区域DDDD2D1D3D;0,2:2221ayyaaxayD ;2,22:22ayaaxayD ;0,2:223ayaxyaaD .dx)y, x( fdydx)y, x( fdydx)y, x( fdyIa2yaaa0a2a2ya2ayaaa2ya0222222 故故例例4 4解解22Dxy d .Dra(1cos

3、)ra 计计算算其其中中是是由由心心脏脏线线和和圆圆所所围围的的区区域域（取取圆圆外外部部） )cos1(2222aaDrdrrddyx 22331)cos1(31da).2922(3 a例例5 5.)()(11)()(12 banxanbadyyfybndyyfyxdx证明证明 证证 bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22 babynyxndyyf)(11)(1.)()(111 bandyyfybnDxy bbaa例例6 6组成的三棱锥台组成的三棱锥台是由六个顶点是由六个顶点，其中，其中计算计算)4 , 2 , 2(),0 , 2 , 2(),0 , 0 ,

4、 2(),2 , 1 , 1(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 1(:122FEDCBAdvyx 解解,ABEDxoy 面上的投影为梯形面上的投影为梯形在在 为顶的柱体为顶的柱体以梯形以梯形为底，为底，是以梯形是以梯形ACFDABED ,轴轴所所在在平平面面过过梯梯形形xACFD, 0 zy 设其方程为设其方程为xyzCAFEDBO. 02,)2 , 1 , 1( yzC得其方程为得其方程为点点又因过又因过. 21;0;20: xxyyz yxdzdyyxdxdvyx20022212211 xdyyxydx022212 2122ln)2ln(dxxx. 2ln 例例7 7所所围围成成

5、的的与与由由其其中中，计计算算22221)(yxzyxzdvzx 解解利用球面坐标利用球面坐标奇函数，奇函数，的的为为面为对称，面为对称，关于关于xxzyxfyoz ),(. 0 xdv有有 zdvdvzx)( 1024020sincosdrrrdd.8 例例8 8. 1:222 zyxdvez，计计算算 解解法法，故采用先二后一，故采用先二后一为圆域为圆域的函数，截面的函数，截面被积函数仅为被积函数仅为222z1yx)z(Dz 上上dvedvezz2 10)(2dzedxdyzzD 102)1(2dzezz.2 例例9 9.)()(21)(02000 xxvudttftxdvdudttf证明

6、证明 证证思路：从改变积分次序入手思路：从改变积分次序入手 vvtvudutfdtdttfdu000)()( vdttftv0,)()( xvxvudttftvdvdvdudttf00000)()()( xxtdvtftvdt0)()(.)()(2102 xdttftx一、选择题一、选择题: : 1 1、 xdyyxfdx1010),(=( )=( ) (A) (A) 1010),(dxyxfdyx； (B) (B) xdxyxfdy1010),(； (C) (C) 1010),(dxyxfdy； (D) (D) ydxyxfdy1010),(. . 2 2、设、设D为为222ayx , ,当

7、当 a( )( )时时, , Ddxdyyxa222. . (A) 1 (A) 1 ； (B) (B) 323 ； (C) (C) 343； (D) (D) 321 . .测测 验验 题题 3 3、当、当D是是( )( )围成的区域时围成的区域时, ,二重积分二重积分 Ddxdy=1.=1. (A) (A)x轴轴, ,y轴及轴及022 yx；( (B)B)31,21 yx ； (C) (C)x轴轴, ,y轴及轴及3, 4 yx；(D)(D). 1, 1 yxyx 4 4、 Dxydxdyxe的值为的值为( ).( ).其中区域为其中区域为D 01, 10 yx. . (A) (A) e1 ；

8、(B) (B) e ； (C) (C) e1 ； (D) 1 . (D) 1 . 5 5、设设 DdxdyyxI)(22, ,其其中中D由由222ayx 所所 围围成成, ,则则I= =( ( ) ). . ( (A A) )40220ardrada ; ;( (B B) )4022021ardrrda ; ; ( (C C) )3022032adrrda ; ;( (D D) )402202 aadrada . . 6 6、设设 是是由由三三个个坐坐标标面面与与平平面面zyx 2= =1 1 所所围围成成的的 空空间间区区域域, ,则则 xdxdydz= =( ( ) ). . ( (A A

9、) ) 481 ； ( (B B) ) 481 ； ( (C C) ) 241 ； ( (D D) ) 241 . . 7 7、设、设 是锥面是锥面, 0(222222 abyaxcz)0, 0 cb与平面与平面 czyx , 0, 0所围成的空间区域在第一卦限所围成的空间区域在第一卦限的的 部分部分, ,则则 dxdydzzxy=( ).=( ). (A) (A) cba22361； (B) (B) bba22361； (C) (C) acb22361； (D) (D) abc361. . 8 8、计算、计算 zdvI, ,其其1,222 zyxz为为中中围成的围成的 立体立体, ,则正确的

10、解法为则正确的解法为( )( )和和( ).( ). 9 9、曲面、曲面22yxz 包含在圆柱包含在圆柱xyx222 内部的那内部的那 部分面积部分面积 s( ).( ).(A)(A) 3； (B) (B) 2；(C)(C) 5； (D) (D) 22. . 10 10、由直线、由直线2, 2, 2 yxyx所围成的质量分布均匀所围成的质量分布均匀 ( (设面密度为设面密度为 ) )的平面薄板的平面薄板, ,关于关于x轴的转动惯量轴的转动惯量 xI= =( ).( ). (A) (A) 3； (B) (B) 5； (C) (C) 4； (D) (D) 6. . (A) (A) 101020zd

11、zrdrdI；(B)(B) 11020rzdzrdrdI； (C) (C) 11020rrdrdzdI； (D) (D) zzrdrddzI02010. .二、计算下列二重积分二、计算下列二重积分: : 1 1、 Ddyx )(22, ,其中其中D是闭区域是闭区域: : .0 ,sin0 xxy 2 2、 Ddxy arctan, ,其中其中D是由直线是由直线0 y及圆周及圆周 1, 42222 yxyx, ,xy 所围成的在第一象所围成的在第一象 限内的闭区域限内的闭区域 . . 3 3、 Ddyxy )963(2, ,其中其中D是闭区是闭区 域域: :222Ryx 4 4、 Ddyx 22

12、2, ,其中其中D: :322 yx. .三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: : 1 1、 yydxyxfdydxyxfdy30312010),(),(； 2 2、 21110),(xxdyyxfdx； 3 3、 00)sin,cos(rdrrrfda. .四、将三次积分四、将三次积分 yxxdzzyxfdydx),(110改换积分次序为改换积分次序为 zyx. .五、计算下列三重积分五、计算下列三重积分: : 1 1、 ,)cos(dxdydzzxy: :抛物柱面抛物柱面xy 2, zxozoy及及平平面面所围成的区域所围成的区域 .

13、. 2 2、,)(22 dvzy其中其中 是由是由xoy平面上曲线平面上曲线 xy22 绕绕x轴旋转而成的曲面与平面轴旋转而成的曲面与平面5 x所围所围 成的闭区域成的闭区域 . . 3 3、,1)1ln(222222 dvzyxzyxz其中其中 是由球面是由球面 1222 zyx所围成的闭区域所围成的闭区域 . .六、求平面六、求平面1 czbyax被三坐标面所割出的有限部分被三坐标面所割出的有限部分 的面积的面积 . .七、七、 设设)(xf在在1 , 0上连续上连续, ,试证试证: : 310101)(61)()()( dxxfdxdydzzfyfxfxyx . .一、一、 1 1、D D； 2 2、C C； 3 3、A A； 4 4、A A； 5 5、B B；6 6、A A； 7 7、A A； 8 8、B,DB,D； 9 9、B B； 10 10、C.C.二、二、1 1、9402 ；2 2、2643 ；3 3、2494RR ；4 4、.25 三、三、1 1、 xxdyyxfdx3220),(；