高等数学：8-3 全 微 分

1、1全微分的定义全微分的定义可微的条件可微的条件小结小结 思考题思考题 作业作业total differentiation第三节第三节 全全 微微 分分第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用2函数的变化情况函数的变化情况.偏导数讨论的只是某一自变量变化时偏导数讨论的只是某一自变量变化时函数的变化率函数的变化率.现在来讨论当各个自变量同时变化时现在来讨论当各个自变量同时变化时全全 微微 分分3先来介绍先来介绍全增量全增量的概念的概念),(yxfz 设设二二元元函函数数,时时、增增量量yx ),(),(yxfyyxxfz 的的在点在点称为称为),(),(yxyxf为了引进全微分的

2、定义为了引进全微分的定义,全增量全增量. .处分别有处分别有在点在点、当变量当变量),(yxyx域内有定义域内有定义,函数取得的增量函数取得的增量全增量全增量. .全全 微微 分分一、全微分的定义一、全微分的定义( , )P x y在点的某邻4全微分的定义全微分的定义的的全全增增量量在在点点如如果果函函数数),(),(yxyxfz ),( oyBxAz ,有有关关、仅仅与与、其其中中yxBA,)()(22yx yBxA , yx 、( , )( , )zf x yx y在点处处的处的全微分全微分. .全全 微微 分分可表示为可表示为),(yxfz 可微分可微分, ,在点在点),(yx则称则称称

3、为函数称为函数记作记作,dz即即.dyBxAz 函数若在某平面区域函数若在某平面区域D内处处可微时内处处可微时, 则称则称可微函数可微函数. .这函数在这函数在D内的内的而不依赖于而不依赖于(,)( , )zf xx yyf x y 5 可微与偏导数存在有何关系呢？可微与偏导数存在有何关系呢？微分系数微分系数注注yxz 与与是是d. 1 之差是比之差是比与与 zzd. 2yBxAz d全微分全微分有类似一元函数微分的有类似一元函数微分的)( oyBxAz A=? B=?两个性质两个性质: :全全 微微 分分全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.的的线性函

4、数线性函数;高阶无穷小高阶无穷小. .61. 可微分的必要条件可微分的必要条件由下面的定理来回答：由下面的定理来回答：.dyyzxxzz ( 可微必可导可微必可导).定理定理1 1( (可微必要条件可微必要条件) )如果函数如果函数在点在点),(yxfz 的的则该函数在点则该函数在点),(yx可微分可微分,),(yx,必存在必存在且函数且函数),(yxfz ),(yx在点在点的全微分为的全微分为yzxz 、偏导数偏导数全全 微微 分分二、可微的条件二、可微的条件7证证)( oyBxAz 总成立总成立,),()0,(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0

5、xz同理可得同理可得.yzB 时，时，当当0 y上式仍成立上式仍成立, 此时此时|,|x PyyxxP ),(的某个邻域的某个邻域如果函数如果函数),(),(yxPyxfz在点在点 可微分可微分,全全 微微 分分yyzxxzz d),(),(yxyxfz在点在点如果函数如果函数 则则该该函函数数可微分可微分,),(yxfz 且函数且函数,必存在必存在、偏导数偏导数yzxz 的的在在点点),(yx的的全全微微分分为为在在点点),(yx8都不能保证都不能保证函数在该点连续函数在该点连续. 多元函数多元函数在某点在某点可微可微是否保证是否保证 事实上事实上,)( oyBxAz 显然显然,答答:由全微

6、分的定义有由全微分的定义有可得可得 z0lim 0 多元函数可微必连续多元函数可微必连续 连续的定义连续的定义不连续不连续的函数的函数上一节指出上一节指出, 多元函数多元函数在某点各个在某点各个偏导数偏导数即使都即使都存在存在,函数在该点连续函数在该点连续如果函数如果函数),(),(yxyxfz在点在点 可微分可微分,则函数在该点连续则函数在该点连续. )(lim0 oyBxA 一定是一定是不可微不可微的的.全全 微微 分分9多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在如，如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf下面举例说明下面举例说明二元函数可微一定存在两

7、个偏导数二元函数可微一定存在两个偏导数.一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在回忆回忆:一元函数的可导与可微的关系一元函数的可导与可微的关系?但两个偏导数都存在函数也不一定可微但两个偏导数都存在函数也不一定可微.(由偏导数定义可求得由偏导数定义可求得)0)0 , 0()0 , 0( yxff由定理由定理1知知,)0 , 0(处有处有在点在点全全 微微 分分10)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 则则22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 )0 , 0()0 , 0(yfxfzyx 处有处有在点在点)0 , 0(说明它不能随

8、着说明它不能随着0 而趋于而趋于0,0时时当当 因此因此,.)0 , 0(处不可微处不可微函数在点函数在点如果考虑点如果考虑点),(yxP 沿直线沿直线xy 趋近于趋近于),0 , 0(全全 微微 分分),( o .000),(222222 yxyxyxxyyxf11说明说明 各偏导数存在只是全微分存在各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件的必要条件而不是充分条件. 这也是这也是一元函数一元函数推广到推广到多元函数多元函数出现的又出现的又函数是函数是可微分可微分的的. 多元函数的各偏导数存在并不能保证多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在全微分存在.一个原则一个原则区别区别.现

9、再假定函数的现再假定函数的则可证明则可证明全全 微微 分分各个偏导数连续各个偏导数连续,12),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf 2. 可微分的充分条件可微分的充分条件 证证),(),(yxfyyxf 在该点的某一邻域内必存在在该点的某一邻域内必存在的意思的意思.定理定理2 2的的如果函数如果函数),(yxfz ,),(连续连续在在、yxyzxz .可微分可微分(今后常这样理解今后常这样理解).用拉氏定理用拉氏定理(微分充分条件微分充分条件)假定偏导数在点假定偏导数在点P(x,y)连续连续, 就含有就含有偏导数偏导数),(yx则该函数在点则该函数在点全全 微微 分分偏

10、导数偏导数13),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 xxyxfx 1),( 11),(),(.),(),( yxfyyxxfyxyxfxxx令令连续连续在点在点由由)0, 0(01 yx 其其中中全全 微微 分分14xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z yx21 , 00 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 全全 微微 分分xyxfx ),(x 1 yyxfy ),(y 2 21 , 0,02 时时当当 y),(),(yyxfxyxfzyx yx21 15在原点在原

11、点(0,0)可微可微.yzxz ,并非必要条件并非必要条件.如如 0, 00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函数函数xfxffxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0 xxxx 220)(1sin)(lim事实上事实上,注注 定理定理2的条件的条件 (即两个偏导数即两个偏导数在点在点连续连续)可微的充分可微的充分0 全全 微微 分分),(yx仅是函数仅是函数在点在点),(yx),(yxfz 条件条件,同样同样, 0)0 , 0( yf16)0 , 0()0 ,0(fyxfz 2222)()(1sin)()(yxyx 0lim )()(22yx 全全 微微

12、 分分在原点在原点(0,0)可微可微. 0, 00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函数函数0)0 , 0( yf0)0 , 0( xf201sinlim z 0 0)0 , 0()0 , 0(yfxfyx 于是于是,)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx )( o17即函数即函数f(x,y)在原点在原点(0,0)可微可微. 但是但是, yfxfzyx)0 , 0()0 , 0(d事实上事实上,2222221cos21sin2),(yxyxxyxxyxfx 0, 00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函数函数偏导数在原点偏导数在原点(0,0)

13、不连续不连续.全全 微微 分分 所以所以,0)0 , 0( yf0)0 , 0( xf特别是特别是 ),(lim0 xxfxx 不存在不存在.即即fx(x,y)在原点在原点(0,0)不连续不连续.极限极限,时时当当xy )21cos121sin2(lim220 xxxxx fy(x,y)在原点在原点(0,0)也不连续也不连续.同理可证同理可证,022时时当当 yx函数在一点可微函数在一点可微,此题说明此题说明:在这点偏导数不一定连续在这点偏导数不一定连续.0 ()0 ()xy 18记全微分为记全微分为.dddyyzxxzz .ddddzzuyyuxxuu 通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微

14、分通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和之和叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况.一元函数的许多微分性质一元函数的许多微分性质,(一阶一阶)全微分形式的不变性全微分形式的不变性.同样有同样有:习惯上习惯上,称为二元函数的微分符合称为二元函数的微分符合这里仍适用这里仍适用.全全 微微 分分),(zyxfu 如三元函数如三元函数则则19解解,2xyyexxz ,xyxeyz yyzxxzzyxyxddd2121 全全 微微 分分例例 计算函数计算函数xyexz 2在点在点)2 , 1(的全微分的全微分.所以所以.d)d1(222yexe 20解解),2sin(

15、yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz yyzxxzzddd),4(),4(),4( ).74(82 ,4),2cos( yxyxyz当当求函数求函数例例.d,4d时的全微分时的全微分 yx全全 微微 分分21答案答案.的全微分的全微分求求zyxu ud全全 微微 分分yyxyzzd xyxyzzd1 zyxyxzdln 22全全 微微 分分解解例例,322yxyxz 设设,96. 23,05. 22变到变到从从变到变到从从yx试比较试比较zzd与与 的值的值. . z)96. 2(96. 205. 23)05. 2(22 3323222 zd)04. 0(005. 013 .

16、65. 0 05. 0)3, 2(xz)04. 0()3, 2( yz,6449. 0 23全全 微微 分分解解例例 计算计算02. 2)04. 1(的近似值的近似值. ),(yxfz设设利用函数利用函数yxyxf ),(在点在点 ),(00yx处的可微性处的可微性, 可得可得 02. 2)04. 1( )02. 2,04. 1(f )2, 1(f02. 0004. 021 .08. 1 ,yx)2, 1(04. 0 x02. 0 yzf )2, 1( )2, 1(fzdyfxfyx )2, 1()2, 1(24全全 微微 分分 2002年考研数学一年考研数学一, 3分分考虑二元函数考虑二元函

17、数 f (x, y)的下面的下面4条性质条性质: 选择题选择题 f (x, y)在点在点(x0 , y0)处连续处连续, f (x, y)在点在点(x0 , y0)处的两个偏导数连续处的两个偏导数连续, f (x, y)在点在点(x0 , y0)处可微处可微,f (x, y)在点在点(x0 , y0)处的两个偏导数存在处的两个偏导数存在.若用若用“”QP 表示可由性质表示可由性质P推出性质推出性质Q,则有则有(A) . (B) . (C) . (D) . 25下下列列处处可可微微在在点点设设二二元元函函数数,),(),(yxyxfz 上海交大考题上海交大考题(95级级),(),(),(),()

18、(yxfyxfyxyxfByx处处两两个个偏偏导导数数在在点点),(),(),(),()(yxfyxfyxyxfDyx处处两两个个偏偏导导数数在在点点连续连续.D全全 微微 分分结论结论不正确不正确的是的是( ).都存在都存在,( )( , )( , ),A f x yx y在点处连续( )( , )( , ),C f x yx y在点某邻域内有界26上海交大考题上海交大考题(98级级) )0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(222yxyxyxyxyxf设函数设函数).()0 , 0(点点在在,)(极极限限不不存存在在A,)(不不连连续续B,)(可可微微分分C.)0 , 0(),0

19、, 0(.存存在在yxffDD全全 微微 分分27上海交大考题上海交大考题(93级级)(d),3(2 zyxfz则全微分则全微分设设)d3d6)(3(22yxxxyyxf 上海交大考题上海交大考题(96级级)(d, uxyuz则则设函数设函数zyxyyxzyxyzzzdlndd1 全全 微微 分分28上海交大考题上海交大考题(97级级)是非题是非题, 0)0 , 0(, 0)0 , 0(, |),( yxffxyyxf则则可可得得设设函函数数.)0 , 0(),(的的全全微微分分是是零零在在点点从从而而yxf(非非)事实上事实上,由由偏偏导导数数定定义义可可求求得得设设函函数数, | xyz

20、在在点点)0 , 0(处处有有, 0)0 , 0(, 0)0 , 0( yxff)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx |yx yx 0lim22200)()()(limxxxxyx |2|lim0 xxx 021 全全 微微 分分29全微分的定义全微分的定义全微分的计算全微分的计算多元函数极限、连续、偏导、可微的关系多元函数极限、连续、偏导、可微的关系(注意：与一元函数有很大的区别注意：与一元函数有很大的区别)全全 微微 分分三、小结三、小结可微分的必要条件、可微分的必要条件、 可微分的充分条件可微分的充分条件30 对对一元函数一元函数的极限、连续、可导、可微间的关系：的极限、连续、可导、可微间的关系：可微可微 可导可导 连续连续 有极限有极限 对对多元函数多元函数的极