高等数学：11-8 正弦级数与余弦级数

1、1第八节第八节 正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数正弦级数或余弦级数正弦级数或余弦级数 2由奇函数与偶函数的积分性质由奇函数与偶函数的积分性质系数的公式系数的公式,易得下面的结论易得下面的结论.和傅里叶和傅里叶 na nb此时称傅里叶级数为此时称傅里叶级数为nxbnnsin1 即即 xnxxfandcos)(1), 2 , 1 , 0( n0), 2 , 1( n xnxxfbndsin)(12 0 xnxxfdsin)( 正弦级数正弦级数,正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数(一一)它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为,)(2. 1展成傅里叶级数时展成傅里叶级数时的奇函数的奇函数当周期为当周期

2、为xf 3 nb此时称傅里叶级数为此时称傅里叶级数为nxaann 10cos2即即), 2 , 1( n), 2 , 1( n na 0dcos)(2xnxxf xnxxfandcos)(1 xnxxfbndsin)(10注注将函数展为傅里叶级数时将函数展为傅里叶级数时,先要考查函数先要考查函数是非常有用的是非常有用的.是否有奇偶性是否有奇偶性, 0a 0d)(2xxf余余弦级数弦级数,它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为,)(2. 2展成傅里叶级数时展成傅里叶级数时的偶函数的偶函数当周期为当周期为xf 4解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.为为周周期期的的是是以以时时

3、2)()12(xfkx ), 2 , 1 , 0(, 0 nan奇函数奇函数 2 2 3 3xyO设设 f (x)是周期为是周期为 的周期函数的周期函数,它在它在例例1 1 2上上), 上的表达式为上的表达式为,)(xxf 将将 f (x)展开成傅氏级数展开成傅氏级数. f (x)的图形的图形52)0()0( ff收敛于收敛于2)( , 0 ),()12(xfkxx处收敛于处收敛于在连续点在连续点 0dsin)(2xnxxfbn 0dsin2xnxx 02sincos2nnxnnxx nncos2 1)1(2 nn), 2 , 1( n,), 2, 1, 0()12(处不连续处不连续在点在点

4、kkx 6)3sin312sin21(sin2)( xxxxf 11sin)1(2nnnxn),3,;( xxnxbnnsin1 正弦级数正弦级数1)1(2 nnnb), 2 , 1( n7上上的的使使函函数数成成为为,. 1 上上有有上上的的函函数数延延拓拓到到把把, 0 上上的的使使函函数数成成为为,. 2 奇延拓奇延拓 偶延拓偶延拓两种两种:正弦级数正弦级数.偶函数偶函数,奇函数奇函数,余弦级数余弦级数;因而展开成因而展开成因而展开成因而展开成正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数(二二)8上上函数定义在函数定义在, 0 上上函数延拓到一个周期函数延拓到一个周期, 数轴上数轴上函数按周期延

5、拓到整个函数按周期延拓到整个级数级数上的函数展开成傅立叶上的函数展开成傅立叶定义在定义在, 0 9上有定义上有定义., 0 作法作法3. F(x)可展开为傅氏级数可展开为傅氏级数, 这个级数必定是这个级数必定是)()(xfxF 得到得到 f (x)的的正弦级数正弦级数 的展开式的展开式.上，上，在在限制限制, 0(. 4 x,( (偶函数偶函数)的的奇函数奇函数正弦级数正弦级数(余弦级数余弦级数)(余弦级数余弦级数) 满足收敛定理的条件满足收敛定理的条件1. f (x)在在 2. 在开区间在开区间内补充定义内补充定义,得到定义在得到定义在上的函数上的函数F(x),),( 使它成为使它成为 在上

6、在上)0 ,( 10解解(1) 求正弦级数求正弦级数. .进行进行对对)(xf 0dsin)1(2xnxx)coscos1(2 nnn 0 nan22 , 5 , 3 , 1 nn2 , 6 , 4 , 2 n奇延拓奇延拓,分别展开成正弦级数和余弦级数分别展开成正弦级数和余弦级数.)0(1)( xxxf将函数将函数例例21 1 Oxy 0dsin)(2xnxxfbn11(2) 求余弦级数求余弦级数. .0 nb 00d)1(2xxa2 0dcos)1(2xnxxan)1(cos22 nn5cos513cos31(cos412122 xxxx 注注又可展成余弦级数又可展成余弦级数,既可展成正弦级数既可展成正弦级数,其傅氏级