高等数学：7-2 数量积 向量积 混合积

1、1数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积两向量的数量积两向量的数量积两向量的向量积两向量的向量积*向量的混合积向量的混合积小结小结 思考题思考题 作业作业第二节第二节第七章第七章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数2 cos|sFW cos|baba 实例实例启示启示两向量作这样的运算两向量作这样的运算,定义定义一、两向量的数量积一、两向量的数量积1. 定义定义数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积一物体在常力一物体在常力作用下沿直线从点作用下沿直线从点表示位移表示位移,F1M,2MsF力力所作的功为所作的功为移动到点移动到点的夹角的夹角与与sF结果是一个结果是一个向

2、量向量的的与与ba数量积数量积ba 为为的夹角的夹角与与ba数量数量. .3ab cos|baba cos|b cos|a结论结论：两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积乘积. babjaaPr| 重要重要|Prababja bjaPrajbPr(两向量的数量积的几何意义两向量的数量积的几何意义)ajbbPr|数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积|Prbbaajb 4数量积也称为数量积也称为有有：、对对非非零零向向量量, ba注注为为锐锐角角 为为钝钝角角 关于数量积的说明关于数

3、量积的说明：.|2aaa , 0 aa证证“点积点积”、“内积内积”.(1)(2); 0 ba. 0 ba cos|aa cos|baba .|2a(1)数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积5)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos ,2 .ba )(,ba ,2 , 0cos . 0cos| baba证证0 ba.ba 此时也称此时也称0,ijkij 、 、 互相正交(2)ab与与正交正交.例例, 0 kj. 0 ik数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积62. 数量积符合下列运算规律数量积符合下列运算规律（1）交换律：）交换律：abba （2）分配律：）分配律

4、：cbcacba )(（3）若）若 为数：为数： ba)( 若若 、 为数：为数： )()(ba (可用定义证可用定义证).|)4(2aaa 为为记记aa 0, aa此此外外0 a.2a )( ba )(ba )(ba 数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积7 向量的数量积不满足消去律向量的数量积不满足消去律, 向量的数量积是否满足消去律？向量的数量积是否满足消去律？, caba 注注. cb 事实上事实上, caba . 0)( cba是说是说,垂垂直直与与即即acb . 0 cb未未必必注注.)()(bacbac ? 平行于平行于 的向量的向量cb平行于平行于 的向量的向量0 a即

5、在一般情况下即在一般情况下,数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积8 解解 , 2| , 5| ba若若,3),( ba.32的的模模求求bau 注注:. |3|2|bau 分配分配律律22|32|bau )32()32(baba bbabbaaa33233222 22|912|4bbaa 76293cos|125422 ba76| u 例例 数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积9 用向量的数量积用向量的数量积,证明恒等式证明恒等式: 即即,平行四边形对角线的平方和等于四边的平方平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和和(如图如图).证证 2222|2|2|bababa 22

6、|baba )()()()(babababa bbbaaabbbaaa 2222|2|2ba 数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积abba ba 10,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx kji 0 ikkjji1| kji1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式3. 用坐标表示式计算数量积用坐标表示式计算数量积分配律分配律数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积11 cos|baba |cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa

7、两向量夹角两向量夹角余弦的坐标余弦的坐标表示式表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为4. 两向量的夹角两向量的夹角 (数量积在几何中的应用数量积在几何中的应用)数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积 数量积的物理意义为数量积的物理意义为F力力 推动质点从点推动质点从点A沿直线运动到点沿直线运动到点B所作的功所作的功 (即实例即实例)WF AB12解解ba )1(2)4()2(111 . 9 cos)2(,21 .43 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积例例),2

8、 , 2, 1(),4, 1 , 1( ba已知已知求求.)3(;)2(;)1(上的投影上的投影在在的夹角的夹角与与bababa 222222zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 13证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacacb 0 cacbbca )()(由分配律由分配律)数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积例例 证明向量证明向量c与向量与向量垂直垂直.acbbca)()( 014下列命题是否正确下列命题是否正确错错,错错.对对.3|)1(aaaa 等式左边没意义等式左边没意义.babaa 2|)()2(222|)( )3(baba 错错.22

9、|)()( )4(bababa 数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积15实例实例1. 定义定义数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积二、两向量的向量积二、两向量的向量积设设O为一根杠杆为一根杠杆L的支点的支点,有一个力有一个力作用于这杠杆上作用于这杠杆上P点处点处., 对支点对支点O的力矩是一的力矩是一向量向量,M它的模为它的模为F力力F力力FM的方向垂直于的方向垂直于OP与与F所决定的平面所决定的平面, 指向符合指向符合右手系右手系.与与OP 的夹角为的夹角为 sin|FOP LQPOF | |MOQF 16定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：0)1( aa)0si

10、n0( ba)2(/0 ba)0, 0( ba向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、 sin|bac 大小大小“外积外积”.数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积向量向量的的与与ba向量积向量积bac 为为的夹角的夹角与与ba的方向既垂直于的方向既垂直于又垂直于又垂直于指向符合右手系指向符合右手系.c,a,b方向方向172. 向量积符合下列运算规律向量积符合下列运算规律(2) 分配律分配律 cba)(3) 若若 为数为数 ba)( )(, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )( 或或0 0sin |ba证证ba/ba/;ab (1) 反交换律反交换律0 ba sin|ba;cb

11、ca )( ba ).(ba 数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积ba)2(/0 ba)0, 0( ba ba. 018向量的向量积是否满足消去律向量的向量积是否满足消去律向量的向量积是否满足交换律？向量的向量积是否满足交换律？向量的向量积不满足消去律向量的向量积不满足消去律, 向量的向量积不满足交换律向量的向量积不满足交换律. 向量积有明显的物理意义向量积有明显的物理意义, P 307 例例6. 注注, caba . cb 注注即在一般情况下即在一般情况下, 0 a数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积19,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kaja

12、iazyx )(kbjbibzyx kji 0 kkjjiijik ikj kij jki ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式3. 用坐标表示式计算向量积用坐标表示式计算向量积分配律分配律数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积20 向量积还可用向量积还可用三阶行列式表示三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出zzyxbaaa 000, 0 yxaa向量积的几何意义向量积的几何意义例例数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积不能同时为零不能

13、同时为零,但允许两个为零但允许两个为零.zyxbbb,|ba 表示以表示以为邻边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积.ba和和ba/0 ba0 |ba sin|ba sin|bab 21下列命题是否正确下列命题是否正确错错对对bbaababa )()()1(0)()()2( baaba数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积22解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kjikj510 55510|22 c|0ccc kj5152数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积,423kjia kjib2 例例 求与求与都垂直的单位向量都垂直的单位向量.23ABC解解D

14、)3, 4 , 0( AC)0 , 5, 4( AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 225 | AC5)3(422 |21BDS | AC|521225BD 5| BD数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积例例 已知三角形的顶点已知三角形的顶点),2 , 6, 5(),2 , 1, 1( BA),1, 3 , 1( C计算从顶点计算从顶点B到边到边AC的高的长度的高的长度BD.24 求同时垂直于向量求同时垂直于向量 和和x轴的轴的 单位向量单位向量.两种方法两种方法:法二法二)8 , 6 , 3( a法一法一解解用用向量积向量积. 设设x轴为

15、轴为 单位向量为单位向量为 n|nn 222)6(80)6, 8 , 0( 53,54, 0用用数量积数量积.即可得即可得. ai . 1| nia )0 , 0 , 1()8 , 6 , 3( )6, 8 , 0( 提示提示用用向量积向量积或或数量积数量积.数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积0n0n0n, 0 , 0 0no(,)xyznn n n设, i25分析分析 即即 A、B 、D三点三点共线共线. 希自己再用法希自己再用法(2) 证证,试比较哪种方法简单试比较哪种方法简单?.三三点点共共线线、试试证证DBA其方法有两种其方法有两种: )5(2ba证证数量积数量积 向量积向

16、量积 * *混合积混合积)(8,186,5baCDbaBCbaAB 设设用向量证三点共线只要证明用向量证三点共线只要证明ABBD(1) 证证BDAB (2) 证证ABBD 0 用法一用法一AB2BD CDBCABBD26 定义定义cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、三、 *向量的混合积向量的混合积设已知三个向量设已知三个向量、 ab, c数量数量cba )(称为这个向量的称为这个向量的记为记为.cba混合积混合积,数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积27

17、向量混合积的几何意义向量混合积的几何意义关于混合积的说明：关于混合积的说明：cbacba )(acb )(bac )(三三向向量量a、b、c共共面面 0 cbaabc(1)(2)(3)数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积abcba 向量的混合积向量的混合积cbacba )(是这样的一个是这样的一个数数,它的绝对值表示它的绝对值表示cba,以向量以向量为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积.28解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0cba )(cba )(2 2cba 4 例例cba )

18、(acb )(数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积00000已知已知, 2 cba计算计算).()()(accbba 29解解61ADACABV AB AC AD数量积数量积 向量积向量积 * *混合积混合积),(121212zzyyxx ),(131313zzyyxx ),(141414zzyyxx 由立体几何知由立体几何知,四面体的体积等于以向量四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体的体积的六分为棱的平行六面体的体积的六分之一之一.ADACAB,已知空间内不在一平面上的四点已知空间内不在一平面上的四点A (x1, y1, z1)B (x2, y2, z2), C (x3, y3, z3), D(x4, y4, z4), 求四面体求四面体例例的体积的体积.3014141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.61A