电路分析基础-第四章一阶动态电路

1、第四章第四章 一阶动态电路一阶动态电路下 页4.1 电容元件电容元件4.2 电感元件电感元件4.6 一阶线性动态电路的叠加定理一阶线性动态电路的叠加定理4.4 开关电路的初始条件和直流稳态开关电路的初始条件和直流稳态4.5 一阶电路的求解（三要素法）一阶电路的求解（三要素法）4.3 动态电路方程的建立动态电路方程的建立重点重点初始条件的确定初始条件的确定三要素法三要素法4.1 电容元件电容元件 (Capacitor)电容器电容器_q+q 在外电源作用下，两极板在外电源作用下，两极板上分别带上等量异号电荷上分别带上等量异号电荷，撤去电源，板上电荷仍，撤去电源，板上电荷仍可长久地集聚下去，是一可长

2、久地集聚下去，是一种储存电能的部件。种储存电能的部件。1. 定义定义电容元件电容元件储存电能的元件。其特储存电能的元件。其特性可用性可用uq 平面上的平面上的一条曲线来描述一条曲线来描述0 ),(qufqu库伏库伏特性特性下 页上 页 任何时刻，电容元件极板上的电荷任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压与电压 u 成正比，成正比，q u 特性是过原点的直线。特性是过原点的直线。电路符号电路符号2. 线性电容元件线性电容元件 tan uqCorCuqC 称为电容器的电容称为电容器的电容, 单位：单位：F (法法) (Farad，法拉，法拉), 常用常用 F、p F、n F等表示。等表示。quO

3、单位单位下 页上 页Cudtdqi 线性电容的电压、电流关系线性电容的电压、电流关系电容元件电容元件VCR的微分形式的微分形式表明表明: (1) i 的大小取决于的大小取决于 u 的变化率的变化率, 与与 u 的大小无关，的大小无关， 电容电容是动态元件；是动态元件；(2) 当当 u 为常数为常数(直流直流)时，时，i =0。电容相当于开路，电容。电容相当于开路，电容 有隔断直流作用；有隔断直流作用；(3) 实际电路中通过电容的电流实际电路中通过电容的电流 i 为有限值，则电容电压为有限值，则电容电压u 必定是时间的连续函数。必定是时间的连续函数。下 页上 页Cu+q-qu、i 取关联取关联参

4、考方向参考方向dtduC i电容元件有记忆电流的作用，故称电容为记忆元件电容元件有记忆电流的作用，故称电容为记忆元件（1）当）当 u，i 为非关联方向时，上述微分和积分表为非关联方向时，上述微分和积分表达式前要冠以负号达式前要冠以负号 ;电容元件电容元件VCR的积分形式的积分形式表明表明:注注下 页上 页 tidCtu 1)( 01tidC ttidCtu01)(0 （2）上式中）上式中 u(t0) 称为电容电压的初始值，它反映称为电容电压的初始值，它反映电容初始时刻的储能状况，也称为初始状态。电容初始时刻的储能状况，也称为初始状态。 ttidC01 3. 电容的功率和储能电容的功率和储能dt

5、duCuuip 功率功率u、 i 取关取关联参考方向联参考方向下 页上 页tttCCuddduCuiduW )(212 电容的储能电容的储能)(21)(2122 CutCu0)(2120)( tCuu若若（1）电容的储能只与当时的电压值有关，电容）电容的储能只与当时的电压值有关，电容 电压不能跃变，反映了储能不能跃变；电压不能跃变，反映了储能不能跃变；表表明明（2）电容储存的能量一定大于或等于零。）电容储存的能量一定大于或等于零。下 页上 页从从 t1 时刻到时刻到 t2时刻电容储能的变化量：时刻电容储能的变化量：)(21)(21)(21)(2112221222tqCtqCtCutCuWC 电

6、容能在一段时间内吸收外部供给的能量，转化为电容能在一段时间内吸收外部供给的能量，转化为电场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电电场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电容元件是无源元件、是储能元件，它本身不路，因此电容元件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。消耗能量。)()()()(1212tWtWtutuCC ，故，故充电时，有充电时，有)()()()(1212tWtWtutuCC ，故，故放电时，有放电时，有例例)(tusC0.5Fi求电流求电流i、功率、功率P (t)和储能和储能W (t)21t /s20u/V电源波形电源波形解解uS (t)的函数表示式为的

7、函数表示式为: ststtsttttus20214210200 )( stststtdtduCtis2021110100 )(解得电流解得电流21t /s1i /A-1下 页上 页 ststtsttttitutp2 021 4210 20 0)()()(21t /s20p/W-2 ststtsttttCutWC2 021 )2(10 0 0)(21)(22221t /s10WC /J吸收功率吸收功率释放功率释放功率下 页上 页 stststtti2 021 110 10 0)(若已知电流求电容电压，有若已知电流求电容电压，有 1 0 st 当当 tCtdutu124)1(5 . 01)1()(

8、 st21 当当t 2 当当 tCdutu2005 . 01)2()( 002201101)(ttdCdCtutC下 页上 页21t /s1i /A-1nuuuu 21下 页上 页电容的串联电容的串联-1uu-2unu1C2CnCi-ueqCi ttidCtuu01)(0 ttnnttttidCtuidCtuidCtu0001)(1)(1)(0202101 ttnnidCCCtututu0)111()()()(2100201 tteqidCtu01)(0 neqCCCC111121 niiii 21下 页上 页电容的并联电容的并联-ueqCidtduCi dtduCdtduCdtduCn 21

9、dtduCCCn)(21 neqCCCC 211iu-2ini1C2CnCidtduCeq 4.2 电感元件电感元件 (Inductor)u (t)电感器电感器把金属导线绕在一把金属导线绕在一骨架上构成一实际骨架上构成一实际电感器，当电流通电感器，当电流通过线圈时，将产生过线圈时，将产生磁通，是一种储存磁通，是一种储存磁场能量的部件。磁场能量的部件。 (t)N (t)1.定义定义电感元件电感元件储存磁能的元件。其特储存磁能的元件。其特性可用性可用 i 平面上的一平面上的一条曲线来描述。条曲线来描述。0 ),(if i 韦安韦安特性特性下 页上 页i (t) (t) (t) 任何时刻，通过电感元

10、件的电流任何时刻，通过电感元件的电流i与其磁链与其磁链 成正比。成正比。 i 特性是过原点的直线。特性是过原点的直线。电路符号电路符号2. 线性电感元件线性电感元件 tan )()( iLortLitL 称为电感器的自感系数称为电感器的自感系数, L的单位：的单位：H (亨亨) ( Henry，亨利，亨利)，常用，常用 H，mH表示。表示。 iO 单位单位+u (t)iL下 页上 页tdtdiLtddtu )( )( 线性电感的电压、电流关系线性电感的电压、电流关系u、i 取关取关联参考方向联参考方向表明表明(1) 电感电压电感电压u 的大小取决于的大小取决于i 的变化率的变化率, 与与i 的

11、大小无的大小无关，电感是动态元件；关，电感是动态元件；(2) 当当i为常数为常数(直流直流)时，时，u =0。电感相当于短路；。电感相当于短路；(3) 实际电路中电感的电压实际电路中电感的电压 u为有限值，则电感电流为有限值，则电感电流 i 不不能跃变，必定是时间的连续函数。能跃变，必定是时间的连续函数。根据电磁感应定根据电磁感应定律 与 楞 次 定 律律 与 楞 次 定 律+u (t)iL电感元件电感元件VCR的微分关系的微分关系下 页上 页 电感元件有记忆电压的作用，故称电感为记忆元件。电感元件有记忆电压的作用，故称电感为记忆元件。（1）当）当 u，i 为非关联方向时，上述微分和积分表为非

12、关联方向时，上述微分和积分表达式前要冠以负号达式前要冠以负号 ;表明表明注注下 页上 页电感元件电感元件VCR的积分形式的积分形式 tudLti 1)( tttudLudL0011 ttudLti01)(0 （2）上式中）上式中 i(t0) 称为电感电流的初始值，它反映电称为电感电流的初始值，它反映电感初始时刻的储能状况，也称为初始状态。感初始时刻的储能状况，也称为初始状态。 3. 电感的功率和储能电感的功率和储能idtdiLuip 功率功率u、 i 取关取关联参考方向联参考方向下 页上 页tttLLiiddiLdpW )(21d2 电感的储能电感的储能)(21)(2122 LitLi0)(2

13、120)( tLii若若（1）电感的储能只与当时的电流值有关，电感）电感的储能只与当时的电流值有关，电感 电流不能跃变，反映了储能不能跃变；电流不能跃变，反映了储能不能跃变；表明表明（2）电感储存的能量一定大于或等于零。）电感储存的能量一定大于或等于零。从从t0到到 t 电感储能的变化量：电感储能的变化量：)(21)(21)(21)(21022022tLtLtLitLiWL 下 页上 页 电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为磁场能电感能在一段时间内吸收外部供给的能量转化为磁场能量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电量储存起来，在另一段时间内又把能量释放回电路，因此电感元件是

14、无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。感元件是无源元件、是储能元件，它本身不消耗能量。，元件吸收能量，元件吸收能量增加时，增加时，当电流当电流0)()( tWtiL，元件释放能量，元件释放能量减少时，减少时，当电流当电流0)()( tWtiL电容元件与电感元件的比较电容元件与电感元件的比较电容电容 C电感电感 L变量变量电流电流 i磁链磁链 关系式关系式电压电压 u电荷电荷 q (1) 元件方程的形式是相似的；元件方程的形式是相似的；(2) 若把若把 u i ，q ，C L 互换互换,可由电容元件可由电容元件的方程得到电感元件的方程；的方程得到电感元件的方程；(3) C 和和 L称为对偶元件

15、称为对偶元件, 、q 等称为对偶元素。等称为对偶元素。222121 LLiWtiLuLiL dd结论结论222121ddqCCuWtuCiCuqC 下 页上 页下 页上 页电感的串联电感的串联dtdiLu dtdiLdtdiLdtdiLn 21dtdiLLLn)(21 neqLLLL 21dtdiLeq -1uu-2unu1L2LnLi-eqLuinuuuu 21niiii 21电感的并联电感的并联 ttudLtii01)(0 -eqLui1iu-i2ini ttnnttttudLtiudLtiudLti0001)(1)(1)(0202101 ttnnudLLLtititi0)111()()(

16、)(2100201 ttequdLti01)(0 neqLLLL111121 下 页上 页)(CCtuutdduRCS )(CtuuRiS 应用应用KVL和电容的和电容的VCR得：得：dtduCiC 2. 动态电路的方程动态电路的方程+uCuS(t)RCi (t 0)+下 页上 页)(tuuRiSL )(tutddiLRiS 应用应用KVL和电感的和电感的VCR得：得：tddiLuL +uLuS (t)RLi ( t 0 )+含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。1. 动态电路动态电路4.3 动态电路方程的建立动态电路方程的建立例例1电路如图所示，以电

17、路如图所示，以iL为变量列出电路的微分方程。为变量列出电路的微分方程。解解用网孔法可得方程用网孔法可得方程(2) 0dd(1) )(L2L12SL2121iRtiLiRuiRiRR将（将（2）式变换得到）式变换得到LL21dditiRLi再代入（再代入（1）式，整理得到）式，整理得到SL1L221dd)(uiRtiRLRR例例2电路如图所示，以电路如图所示，以iL为变量列出电路的微分方程。为变量列出电路的微分方程。解解列列KCL方程，并写出方程，并写出各元件的伏安关系：各元件的伏安关系：)()()()(SCLRtititititiLtudd)(LC2L2CLRdddd)( dd)()(tiLC

18、tuCtitiGLtGutiCC化简后可得到微分方程：化简后可得到微分方程：)()(SL22titidtdiGLdtidLCLL二阶电路！二阶电路！含有开关的动态电路。含有开关的动态电路。特点特点1. 开关电路开关电路当开关电路的状态发生改变时（换路）需要经历当开关电路的状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。过程称为电路的过渡过程。例例0ti2/ RUiS )(21RRUiS 过渡期为零过渡期为零电阻电路电阻电路+-usR1R2（t =0）i下 页上 页4.4 开关电路的初始条件和直流稳态开关电

19、路的初始条件和直流稳态K未动作前未动作前，电路处于稳定状态，电路处于稳定状态K 接通电源后很长时间接通电源后很长时间，电容充电，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态完毕，电路达到新的稳定状态+uCUSRCi ( t )前一个稳定状态前一个稳定状态过渡状态过渡状态新的稳定状态新的稳定状态t1USuCt0?iRUS有一过渡期有一过渡期电容电路电容电路K+uCUSRCi ( t = 0 )下 页上 页0, 0 CuiSCUui , 0K 未动作前未动作前，电路处于稳定状态，电路处于稳定状态K 动作动作后很长时间后很长时间，电容放电完，电容放电完毕，电路达到新的稳定状态毕，电路达到新的稳定状态第三个稳定

20、状态第三个稳定状态K+uCUsRCi (t = t2)前一个前一个稳定状态稳定状态过渡过渡状态状态新的稳新的稳定状态定状态t1USuCt0iRUSt2又有一过渡期又有一过渡期下 页上 页0, 0 CuiSCUui , 0过渡过程产生的原因过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。tWp 电路结构、状态发生变化电路结构、状态发生变化换路换路支路接入或断开支路接入或断开电路参数变化电路参数变化 p0 t下 页上 页（2）求解微分方程

21、）求解微分方程动态电路的分析方法动态电路的分析方法（1）根据）根据KVL、KCL和和VCR建立微分方程建立微分方程下 页上 页稳态分析和动态分析的区别稳态分析和动态分析的区别稳态分析稳态分析动态分析动态分析换路发生很长时间后状态换路发生很长时间后状态微分方程的特解微分方程的特解恒定或周期性激励恒定或周期性激励换路发生后的整个过程换路发生后的整个过程微分方程的一般解微分方程的一般解任意激励任意激励 (1) t = 0与与t = 0的概念的概念认为换路在认为换路在 t = 0 时刻进行时刻进行0 换路前一瞬间换路前一瞬间 0 换路后一瞬间换路后一瞬间2. 初始值的求解初始值的求解)(lim)0(0

22、0tfftt )(lim)0(00tfftt 初始条件为初始条件为 t = 0时时u ，i 及其各阶导数的值及其各阶导数的值0tf(t)0()0( ff)0()0( ff下 页上 页00 d)(1)0()(0 tCCiCutut = 0+时刻时刻 d)(1)0()0(00 iCuuCC当当 i( ) 为有限值时为有限值时换路瞬间，若电容电流保持为有限值，换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电则电容电压（电荷）换路前后保持不变。容电压（电荷）换路前后保持不变。 (2) 电容的初始条件电容的初始条件0结结论论下 页上 页iuCC+)0()0( CCuu duLiiLL)(1)0()0(00 当当

23、u ( ) 为有限值时为有限值时 (3) 电感的初始条件电感的初始条件t = 0+时刻时刻0 duLititLL)(1)0()(0 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，电感换路瞬间，若电感电压保持为有限值，电感电流（磁链）换路前后保持不变。电流（磁链）换路前后保持不变。结结论论下 页上 页+uLLi)0()0( LLii（4）换路定律）换路定律（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。注意注意换路瞬间，若电容电流（或换路瞬间，若电容电流（或电感电压）电感电压）保持为保持为有限值，则电容电压（或有限值，则电容电压（或电感电流电感电流）换

24、路前后）换路前后保持不变。保持不变。（2）换路定律反映了能量不能跃变。）换路定律反映了能量不能跃变。下 页上 页)0()0( LLii)0()0( CCuu（5）电路初始值的确定）电路初始值的确定(2) 由换路定律由换路定律 mA2 . 010810)0( Ci(1) 由由0电路求电路求 uC(0)或或iL(0)(3) 由由0等效电路求等效电路求 iC(0)例例1求求 iC(0+)电电容容开开路路下 页上 页+10ViiC+uCk10k40k+10VuC(0)10k40k+电容用电电容用电压源替代压源替代0)0( Ci)0( CiVuC8)0( VuuCC8)0()0( +10ViC (0+)

25、8V10k0等效电路等效电路+)0( i0)0( 0)0( LLuu iL(0)= iL(0) =2AVuL842)0( 例例 2t = 0时闭合开关时闭合开关k , 求求 uL(0)0+电路电路先求先求AiL24110)0( 由换路定律由换路定律:电感用电电感用电流源替代流源替代)0( Li解解电电感感短短路路iL+uLL10VK1 4 下 页上 页10V1 4 )0( Li10V1 4 2A)0( Lu求初始值的步骤求初始值的步骤:1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0)和和iL(0)；2. 由换路定律得由换路定律得 uC(0) 和和 iL(0)。3

26、. 画画0等效电路。等效电路。4. 由由0电路求所需各变量的电路求所需各变量的0值。值。b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。电容（电感）用电压源（电流源）替代。a. 换路后的电路换路后的电路（取（取0时刻值，方向与原假定的电容时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。电压、电感电流方向相同）。下 页上 页VuuCC24122)0()0( AiiLL124/48)0()0( 例例3求求K 闭合瞬间各支路电流和电感电压闭合瞬间各支路电流和电感电压解解由由0电路得：电路得：由由0电路得：电路得：AiC83/ )2448()0( Ai20812)0( VuL2412248)0( iL2

27、 +48V3 2 +uC2 iL+uLLK+48V3 2 C+uCiC下 页上 页12A24V+48V3 2 iiC+uL+0电路电路例例4求求K闭合瞬间流过它的电流值。闭合瞬间流过它的电流值。解解（1）确定）确定0值值AiiLL1200200)0()0( VuuCC100)0()0( （2）给出）给出0等效电路等效电路Aik21100100100200)0( 1A+200V100 +100V100 100 ki+uLiCVuL1001001)0( AuiCC1100/ )0()0( iL+200VLK100 +uC100 100 C下 页上 页3. 稳态值的求解稳态值的求解主要指换路后主要指

28、换路后t =时电路中的电压和电流值时电路中的电压和电流值。特点特点动态电路换路后动态电路换路后t =时，由于激励源是直流源，电时，由于激励源是直流源，电路经过过渡过程后电压和电流值均为常数，此时电路经过过渡过程后电压和电流值均为常数，此时电容元件相当于断路，电感元件相当于短路容元件相当于断路，电感元件相当于短路。例例1t =0时，时，S闭合，求闭合，求t =时的时的i1、iL、uL。解解t =时，电路处于直流稳时，电路处于直流稳态，电感短路，可得：态，电感短路，可得：Ai26666312)(1AiiL1)(21)(1VuL0)(例例2t =0时，时，S闭合，求闭合，求t =时的时的i、uC。解

29、解t =时，电路处于直流稳态，电容断路，可得：时，电路处于直流稳态，电容断路，可得：对左边回路列对左边回路列KVL方程：方程：Aiiii5 . 1)(0)(2)(|)(6ViiiuC5 . 4)(3)(2)(1)(所以所以电路中含有受控源，当控制量变换时，受控量也要做相应变换。电路中含有受控源，当控制量变换时，受控量也要做相应变换。注意注意4.5 一阶电路的求解一阶电路的求解三要素法三要素法 本节专门讨论由本节专门讨论由直流电源驱动的只含一个动态元件的一直流电源驱动的只含一个动态元件的一阶电路全响应的一般表达式，阶电路全响应的一般表达式，并在此基础上推导出三要素法。并在此基础上推导出三要素法。

30、图图4-20 (a)RC一阶电路一阶电路 (b)RL一阶电路一阶电路一、三要素法一、三要素法 仅含一个电感或电容的线性一阶电路，将连接动态元仅含一个电感或电容的线性一阶电路，将连接动态元件的线性电阻单口网络用戴维宁和诺顿等效电路代替后，件的线性电阻单口网络用戴维宁和诺顿等效电路代替后，可以得到图可以得到图4-20(a)和和(b)所示的等效电路。所示的等效电路。下 页上 页电路微分方程和初始条件为：电路微分方程和初始条件为：1. RC电路电路iK(t=0)UOC+uRC+uCRddCCOCuRCuUtuC (0) = U02. RL电路电路iLISCR0L电路微分方程和初始条件为：电路微分方程和

31、初始条件为：iL (0) = I00ddLLSCiG LiIt下 页上 页3. 一般形式一般形式一阶电路的数学模型的一般形式：一阶电路的数学模型的一般形式：)0( )0()(d)(dftAtfttfCR0或或LG0其解答由两部分组成：其解答由两部分组成：)()()(phtftftf通通解解特解特解thKetf)(Atfp)(AKtftftft phe)()()(得到得到由起始值由起始值f (0+)确定确定K，由稳态值，由稳态值f()确定确定AAfAKf)()0(得到得到)()0()(ffKfARC电路和电路和RL电路响应的一般表达式电路响应的一般表达式)0()(e)()0()( tffftft

32、CR0或或LG0下 页上 页 这就是这就是直流激励的直流激励的RC一阶电路和一阶电路和RL中的任一响应的表达中的任一响应的表达式式 (可以用叠加定理证明可以用叠加定理证明) 。其波形曲线如图。其波形曲线如图4-21所示。由此可所示。由此可见，直流激励下一阶电路中见，直流激励下一阶电路中任一响应总是从初始值任一响应总是从初始值f (0+)开始，开始，按照指数规律增长或衰减到稳态值按照指数规律增长或衰减到稳态值f ( )，响应变化的快慢取决响应变化的快慢取决于电路的时间常数于电路的时间常数 。 图图4-21 直流激励下一阶电路全响应的波形曲线直流激励下一阶电路全响应的波形曲线 下 页上 页 由此可

33、见，直流激励下一阶电路的全响应取决于由此可见，直流激励下一阶电路的全响应取决于f (0+)、 f ( )和和 这三个要素。只要分别计算出这三个要素，就能这三个要素。只要分别计算出这三个要素，就能够确定全响应，也就是说，根据式够确定全响应，也就是说，根据式(4-25）可以写出响应的）可以写出响应的表达式以及画出图表达式以及画出图4-21那样的全响应曲线，而不必建立和那样的全响应曲线，而不必建立和求解微分方程。求解微分方程。这种计算直流激励下一阶电路响应的方法这种计算直流激励下一阶电路响应的方法称为三要素法。称为三要素法。图图4-22下 页上 页称称 为一阶电路的时间常数为一阶电路的时间常数 秒秒

34、伏伏安安秒秒欧欧伏伏库库欧欧法法欧欧 RC 时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 = R C下 页上 页 秒秒欧欧安安秒秒伏伏欧欧安安韦韦欧欧亨亨 RL = L/R 用用三要素法三要素法计算含一个电容或一个电感的直流激励一阶电路响计算含一个电容或一个电感的直流激励一阶电路响应的一般步骤是应的一般步骤是: 1. 初始值初始值f (0+)的计算的计算 (1) 根据根据t0t0的电路，将电容用开路代替或电感用短路代替，得的电路，将电容用开路代替或电感用短路代替，得到一个直流电阻电路，再从此电路中计算出稳态值到一个直流电阻电路，再从此电路中计算出稳态值

35、 f (f ( ) )。3、求时间常数求时间常数 首先求出动态元件两端看进去的戴维南等效电阻首先求出动态元件两端看进去的戴维南等效电阻R R0 0求求R R0 0的方法：的方法：独立源置零，用电阻的串并联公式化简；独立源置零，用电阻的串并联公式化简；独立源置零，外加电压源独立源置零，外加电压源U U外，求输入端电流外，求输入端电流I I外，则外，则R R0 0= U= U外外/ I/ I外；外；短路电流法求短路电流法求Isc,Isc,则则R R0 0= Uoc/Isc= Uoc/Isc。时间常数时间常数为：为：RCRC电路电路 = R = R0 0 C C ,RL,RL电路电路=L/ R=L/

36、 R0 0 4. 将将f (0+)，f ( )和和 代入下式得到响应的一般表达式和画代入下式得到响应的一般表达式和画出图出图4-21那样的波形曲线。那样的波形曲线。)0()(e)()0()( tffftftCR0或或LG0下 页上 页 总结总结RLC在不同的时段所处的状态在不同的时段所处的状态元件元件t=0_t=0+t=不变不变不变不变不变不变断路断路+ Uc(0+) - 若若 Uc(0+)=0短路短路断路断路短路短路+ iL(0+) -若若 iL(0+)=0断路断路短路短路下 页上 页例例4-8 图图4-22(a)所示电路原处于稳定状态。所示电路原处于稳定状态。t=0时开关闭时开关闭合，求合

37、，求t 0的电容电压的电容电压uC(t)和电流和电流i(t)，并画波形图。，并画波形图。 图图4-22下 页上 页 由于开关转换时电容电流有界，电容电压不能跃变，故由于开关转换时电容电流有界，电容电压不能跃变，故 V8)0()0(CCuuV8A24)0(Cu解：解：1. 计算初始值计算初始值uC(0+) 开关闭合前，图开关闭合前，图(a)电路已经稳定，电容相当于开路，电路已经稳定，电容相当于开路，电流源电流全部流入电流源电流全部流入4 电阻中，此时电容电压与电阻电压电阻中，此时电容电压与电阻电压相同相同 图图4-22下 页上 页7VV5V2V10444424444V22141411)(Cu图图

38、4-22 2. 计算稳态值计算稳态值uC( ) 开关闭合后，电路如图开关闭合后，电路如图(b)所示，经过一段时间，重新所示，经过一段时间，重新达到稳定状态，电容相当于开路，根据用开路代替电容所达到稳定状态，电容相当于开路，根据用开路代替电容所得到一个电阻电路，运用叠加定理求得得到一个电阻电路，运用叠加定理求得 下 页上 页12141411oR 时间常数为时间常数为 s 1 . 0F1 . 01oCR图图4-22 3.计算时间常数计算时间常数 计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻，它是计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻，它是三个电阻的并联三个电阻的并联 ab下 页上 页 4. 将将uC

39、(0+)=8V, uC( )=7V和和 =0.1s代入式代入式(4-25)得到响得到响应的一般表达式应的一般表达式 )0(Ve17V7e )78()(1010Cttutt 求得电容电压后，电阻电流求得电容电压后，电阻电流i(t)可以利用欧姆定律求得可以利用欧姆定律求得)0(A)0.5e1.5(A 2)e17(102)(V10)(1010cttutitt)(e)()0()( ffftft下 页上 页 也可以用叠加定理分别计算也可以用叠加定理分别计算2A电流源，电流源，10V电压源和电压源和电容电压电容电压uC(t)单独作用引起响应之和单独作用引起响应之和)0(A)0.5e1.5( )Ae5 .

40、05 . 35( 2)(2V100)()()()(1010C ttutitititittVe17)(10Cttu下 页上 页 由于电路中每个响应具有相同的时间常数，不必重新由于电路中每个响应具有相同的时间常数，不必重新计算，用三要素公式得到计算，用三要素公式得到 ) 0( A)e5 . 05 . 1 (A 5 . 1e ) 5 . 11()(1010ttitt 值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了跃变，值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了跃变，i(0+)=1A i(0-)=1.667A，因而在电流表达式中，标明的时，因而在电流表达式中，标明的时间范围是间范围是t t00，而不是，而不是

41、t t 0 0。电阻电流电阻电流i(t)还可以利还可以利用三要素法直接求得用三要素法直接求得 V8)0(CuA5 . 1A27102)(V10)(A1A28102)0(V10)0(CCuiui下 页上 页例例4-9 图图4-23示电路中，开关转换前电路已处于稳态，示电路中，开关转换前电路已处于稳态，t=0时开关时开关S由由1端接至端接至2端，求端，求t0时的电感电流时的电感电流iL(t)，电阻电流电阻电流i2(t)，i3(t)和电感电压和电感电压uL(t)。 图图4-23下 页上 页解：用三要素法计算电感电流。解：用三要素法计算电感电流。 1. 计算电感电流的初始值计算电感电流的初始值iL(0

42、+) 直流稳态电路中，电感相当于短路，此时电感电流为直流稳态电路中，电感相当于短路，此时电感电流为mA102mA20)0(LimA10)0()0(LLii 开关转换时，电感电压有界。电感电流不能跃变，即开关转换时，电感电压有界。电感电流不能跃变，即下 页上 页 2. 计算电感电流的稳态值计算电感电流的稳态值iL( ) 开关转换后，电感与电流源脱离，电感储存的能量释开关转换后，电感与电流源脱离，电感储存的能量释放出来消耗在电阻中，达到新的稳态时，电感电流为零，放出来消耗在电阻中，达到新的稳态时，电感电流为零，即即0)(Li下 页上 页 3. 计算时间常数计算时间常数 与电感连接的电阻单口网络的等

43、效电阻以及时间常数与电感连接的电阻单口网络的等效电阻以及时间常数为为s101s101010 k10k101020)1010(20733oR 4. 计算计算iL(t)， uL(t)， i2(t)和和i3(t)。 将将iL(0+)=10mA,iL( )=0和和 =1 10-7s代入三要素公式得代入三要素公式得到电感电流的表达式到电感电流的表达式) 0(mAe10A 0e ) 01010()(7710103Lttitt下 页上 页 然后根据然后根据KCL，KVL和和VCR求出其它电压电流求出其它电压电流 )0(mAe5 mAe5mAe10)()()()0(mAe5 1020V100ek20)()()

44、0(V100e e10101010dd)(77777771010103L210310L31010733LLttititittutittiLtuttttttt下 页上 页例例4-10 图图4-24(a)所示电路在所示电路在t=0时闭合开关，求电时闭合开关，求电容电压容电压uC(t)和电流和电流i2(t)。 图图4-24 例例4-10下 页上 页解：在开关闭合以后，与电容连接的含有独立电压源和受解：在开关闭合以后，与电容连接的含有独立电压源和受 控源的电阻单口网络用图控源的电阻单口网络用图4-24(c)所示的戴维宁等效电所示的戴维宁等效电 路代替，其中路代替，其中 21S222oc)()(RRUR

45、riRrU 用外加电源法求图用外加电源法求图4-24(b)所示电阻单口网络的输出电所示电阻单口网络的输出电阻阻Ro 2112211222o)()()(RRRRriRRRiRriiRriuR下 页上 页 时间常数为时间常数为2112)RRCRR(r 用三要素公式得到电容电压的表达式用三要素公式得到电容电压的表达式 )0()e1 ()()e1 ()( S212 ocCtURRRrUtutt 从图从图4-24(a)电路中开关闭合后的电路求得电流电路中开关闭合后的电路求得电流 i2(t) ) 0()e1 ()()(21S2C2tRRURrtutit下 页上 页例例4-12 图图4-26(a)所示电路中

46、，开关断开已经很久，所示电路中，开关断开已经很久，t=1s时时 开关开关S闭合，闭合，t=2s时开关时开关S重新断开，试求重新断开，试求t 0电容电电容电 压压uC(t)和电阻电压和电阻电压uo(t)。 图图4-26下 页上 页解：本题要求计算电容电压和解：本题要求计算电容电压和1.6k电阻电压，先将电路电阻电压，先将电路 其余部分用戴维宁等效电路代替，得到开关其余部分用戴维宁等效电路代替，得到开关S断开和断开和 闭合时的等效电路如图闭合时的等效电路如图4-26(b)和和(c)所示，再从时间所示，再从时间 上分段计算。上分段计算。 1. 1s t 2s区间内响应的计算区间内响应的计算 根据根据

47、s9 . 010250103.6V10)(V,6)1 ()1 (63CCCuuu 得到电容电压为得到电容电压为 ) s2s 1 (V 410)(9 . 01 Ctetut下 页上 页 2. t 2s区间内响应的计算区间内响应的计算 s110250104V6)(V,68. 8e410)2()2(63C9 . 0/1CCuuu 得到得到 ) s2(V e68. 26)()2(Cttut 用三要素法也可以求出电压用三要素法也可以求出电压uo(t)，读者可以检验以下，读者可以检验以下计算结果是否正确。计算结果是否正确。 ) s2(V e07. 1) s2s 1 (V e78. 1)()2( 9 . 0

48、1 otttutt下 页上 页 画出画出uC(t)和和uo(t)的波形如图的波形如图4-26(d)和和(e)所示。所示。 图图4-26下 页上 页4.6 一阶线性动态电路的叠加定理一阶线性动态电路的叠加定理4.6.1 零输入响应零输入响应 图图4-3(a)所示电路中的开关原来连接在所示电路中的开关原来连接在1端，电压源端，电压源U0通过电阻通过电阻Ro对电容充电，假设在开关转换以前，电容电压已经达到对电容充电，假设在开关转换以前，电容电压已经达到U0。在。在t=0时开关迅速由时开关迅速由1端转换到端转换到2端。已经充电的电容脱离电压源而与端。已经充电的电容脱离电压源而与电阻电阻R并联，如图并联

49、，如图(b)所示。所示。 图图4-3一、一、RC电路的零输入响应电路的零输入响应下 页上 页 我们先定性分析我们先定性分析t0后电容电压的变化过程。当开关倒向后电容电压的变化过程。当开关倒向2端的瞬间，电容电压不能跃变，即端的瞬间，电容电压不能跃变，即 0CC)0()0(Uuu 由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电容电压相同，即由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电容电压相同，即 0CR)0()0(Uuu 电阻的电流为电阻的电流为 RUi0R)0(下 页上 页 当t= 时，由于电路中没有输入激励源，各响应值时，由于电路中没有输入激励源，各响应值为为0，即，即:0)(Cu0)(Ri而时间常数而

50、时间常数 =RC C0 C0C 0RC( )e (0)(64a)d( )e(0)(64b)d( )( ) e (0)(64c)tRCtRCtRCu tUtuUi tCttRUi ti ttR 由三要素法得到图由三要素法得到图4-3(b)电路的零输入响应为电路的零输入响应为 Ce )0( c)(tUtu下 页上 页 从式从式4-4可见，各电压电流的变化快慢取决于可见，各电压电流的变化快慢取决于R和和C的乘积。的乘积。令令 =RC，由于，由于 具有时间的量纲，故称它为具有时间的量纲，故称它为RC电路的时间常数。电路的时间常数。引入引入 后，式后，式4-4表示为表示为 图图4-4 4-4 RC电路零

51、输入响应的波形曲线电路零输入响应的波形曲线 C0 C0C 0RC( )e (0)(6 5a)d( )e(0)(6 5b)d( )( ) e (0)(6 5c)tttu tUtuUi tCttRUi ti ttR下 页上 页tU0uC0I0ti0 （1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；从以上各式可以得出：从以上各式可以得出：连续连续函数函数跃变跃变 （2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC 有关；有关；下 页上 页时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时

52、间的长短 大大 过渡过程时间长过渡过程时间长 小小 过渡过程时间短过渡过程时间短U0tuC0 小小 大大电压初值一定：电压初值一定：R 大（大（ C一定）一定） i=u/R 放电电流小放电电流小放电时间长放电时间长C 大（大（R一定）一定） W=Cu2/2 储能大储能大物理含义物理含义下 页上 页工程上认为工程上认为, 经过经过 3 5 , 过渡过程结束。过渡过程结束。 ：电容电压衰减到原来电压：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。所需的时间。U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5

53、 t0 2 3 5 tCeUu 0 （3）能量关系）能量关系RdtiWR 02电容不断释放能量被电阻吸收电容不断释放能量被电阻吸收, 直到直到全部消耗完毕。全部消耗完毕。设设uC(0)=U0电容放出能量：电容放出能量： 2021CU电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：RdteRURCt2 00)( 2021CU uCR+CdteRURCt2 020 02 20| )2(RCteRCRU下 页上 页例例4-1 电路如图电路如图4-5(a)所示，已知电容电压所示，已知电容电压uC(0-)=6V。 t=0闭合开关，求闭合开关，求t 0的电容电压和电容电流。的电容电压和电容电流。 图图4-5

54、例例4-1 解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到 V6)0()0(CCuu下 页上 页将连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻，其将连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻，其电阻值为电阻值为 k10k)36368(oR 得到图得到图(b)所示电路，其时间常数为所示电路，其时间常数为 sssRC05. 01051051010263下 页上 页 根据式根据式4-5得到得到 )0(mAe6 . 0mAe10106edd)()0(Ve6e)(20203 0CC20 0CtRUtuCtitUtuttttt 电阻中的电流电阻中的电流iR(t)

55、可以用与可以用与iC(t)同样数值的电流源代替电同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t) mAe2 . 0mAe6 . 031)(633)(2020CRtttiti下 页上 页二、二、RL电路的零输入响应电路的零输入响应 电感电流原来等于电流电感电流原来等于电流I0，电感中储存一定的磁场能量，电感中储存一定的磁场能量，在在t=0时开关由时开关由1端倒向端倒向2端，换路后的电路如图端，换路后的电路如图(b)所示。所示。图图4-6 我们以图我们以图4-6(a)电路为例来说明电路为例来说明RL电路零输入响应的计算电路零输入响应的计算过程。过程。下 页

56、上 页 在开关转换瞬间，由于电感电流不能跃变，即在开关转换瞬间，由于电感电流不能跃变，即iL(0+)= iL(0-)= I0 ，这个电感电流通过电阻，这个电感电流通过电阻R时引起能量的消耗，这就造成电感时引起能量的消耗，这就造成电感电流的不断减少，直到电流变为零为止。电流的不断减少，直到电流变为零为止。 综上所述，图综上所述，图(b)所示所示RL电电路是电感中的初始储能逐渐释路是电感中的初始储能逐渐释放出来消耗在电阻中的过程。放出来消耗在电阻中的过程。与能量变化过程相应的是各电与能量变化过程相应的是各电压电流从初始值，逐渐减小到压电流从初始值，逐渐减小到零的过程。零的过程。下 页上 页 同样根

57、据三要素法：同样根据三要素法：) 0()e(0i)(LLttitLR 最后得到电感电流和电感电压的表达式为最后得到电感电流和电感电压的表达式为 L00 LL00( )ee (0) (6 7a)d( )(0) (6 7b)dtRtLtRtLi tIItiu tLRI eRI ett下 页上 页 其波形如图所示。其波形如图所示。RL电路零输入响应也是按指数规律衰减，电路零输入响应也是按指数规律衰减，衰减的快慢取决于常数衰减的快慢取决于常数 。由于。由于 =L/R具有时间的量纲，称为具有时间的量纲，称为RL电路的时间常数。电路的时间常数。 图图4-7下 页上 页RI0uLttI0iL0从以上式子可以

58、得出：从以上式子可以得出：连续连续函数函数跃变跃变 （1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数； （2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与L / R有关；有关；下 页上 页令令 = L/R , 称为一阶称为一阶RL电路时间常数。电路时间常数。L大大 W =Li 2/ 2 起始能量大起始能量大R小小 P =R i 2 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电慢放电慢 大大 大大 过渡过程时间长过渡过程时间长 小小 过渡过程时间短过渡过程时间短物理含义物理含义时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时

59、间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短电流初值电流初值i(0)一定：一定：（3）能量关系）能量关系RdtiWR 02 电感不断释放能量被电阻吸收电感不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕。直到全部消耗完毕。设设iL(0+)=I0电感放出能量：电感放出能量： 2021LI电阻吸收（消耗）能量：电阻吸收（消耗）能量：RdteIRLt2/ 00)( 2021LI dteRIRLt/2 020 02 20| )2/(RCteRLRIiL+uLR下 页上 页例例4-2 电路如图电路如图4-8(a)所示，开关所示，开关S1连接至连接至1端已经很久，端已经很久， t=0时开时开关关S由由1端倒向端倒

60、向2端。求端。求t 0时的电感电流时的电感电流iL(t)和电感电压和电感电压uL(t)。 图图4-8解：开关转换瞬间，电感电流不能跃变，故解：开关转换瞬间，电感电流不能跃变，故 A1 . 0)0()0(LLii下 页上 页 将连接到电感的电阻单口网络等效为一个的电阻，得将连接到电感的电阻单口网络等效为一个的电阻，得到的电路如图到的电路如图(b)所示。该电路的时间常数为所示。该电路的时间常数为 1mss10200H2 . 03RL 根据式根据式4-7得到电感电流和电感电压为得到电感电流和电感电压为)0( Ve20Ve101 . 02 . 0dd)()0( A e1 . 0e)(33310103L