高等数学：12-2 一阶微分方程

1、1可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程小结小结 思考题思考题 作业作业一阶线性微分方程一阶线性微分方程利用变量代换求解利用变量代换求解方程方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程全微分方程全微分方程伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程第十二章第十二章 微分方程微分方程2xxyyd)(d)( 如果一阶微分方程如果一阶微分方程等式的每一边仅是一个变量的函数与这个等式的每一边仅是一个变量的函数与这个 可分离变量的方程可分离变量的方程)()(ygxfy 0d)()(d)()(2121 yyNxNxyMxM或或可以写成可以写成0),( yyxF的形式的形式,易于化为形式易于化为形式特点特点变

2、量的微分之积变量的微分之积.两端积分可得通解两端积分可得通解.一阶微分方程一阶微分方程一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程3可分离变量的方程求通解的步骤是可分离变量的方程求通解的步骤是: :分离变量分离变量,两边积分两边积分其中其中C为任意常数为任意常数.),(Cxyy 就是方程的通解就是方程的通解分离变量法分离变量法. .的形式；的形式；把方程化为把方程化为xxyyd)(d)( 1.2.由上式确定的函数由上式确定的函数(隐式通解隐式通解).这种解方程的方法称为这种解方程的方法称为将上式将上式一阶微分方程一阶微分方程( )d( )d;yyxxC4一阶微分方程一阶微分方程例例 求方程

3、求方程 的通解的通解.0d)1(d)1(22 yxyxyx解解 分离变量分离变量xxxyyyd1d122 两端积分两端积分 yyyd12)1ln(21)1ln(2122xy )1(ln)1ln(22xCy )1(122xCy 为方程的通解为方程的通解.Cln21 隐式通解隐式通解 xxxd125一阶微分方程一阶微分方程解解xxyyyd1dln1 xxyyd1lndln1Cxylnlnlnln Cxln Cxy lnCxey 通解为通解为ln.xyyy 求方程的通解6注注 应用问题建立微分方程的方法应用问题建立微分方程的方法:方法大体有两种方法大体有两种第一种方法第一种方法常见的物理定律有力学、

4、热学、光学、电学常见的物理定律有力学、热学、光学、电学直接利用物理定律或几何条件列出方程直接利用物理定律或几何条件列出方程,的定律的定律;第二种方法第二种方法取小元素分析取小元素分析,然后利用物理定律列出然后利用物理定律列出方程方程(类似于定积分应用中的元素法类似于定积分应用中的元素法).一阶微分方程一阶微分方程7两端积分两端积分解解,ddtM由题设条件由题设条件)0(dd衰变系数衰变系数 MtMtMMdd ,dd tMM ,00MMt 代代入入,lnlnCtM 即即00CeM 得得C teMM 0分离变量分离变量负号是由于当负号是由于当 t 增加时增加时M单调减少单调减少,tCeM 通解通解

5、特解特解例例 衰变问题衰变问题. .衰变速度与未衰变原子含量衰变速度与未衰变原子含量M成成正比正比,00MMt 已知已知求衰变过程中铀含量求衰变过程中铀含量 M (t)随时间随时间 t 变化的规律变化的规律.一阶微分方程一阶微分方程衰变规律衰变规律衰变速度衰变速度8一阶微分方程一阶微分方程例例 求游船上的传染病人数求游船上的传染病人数.一只游船上有一只游船上有800人人,12小时后有小时后有3人发病人发病.故感染者不能被及时隔离故感染者不能被及时隔离. 设传染病的传播速度与受感染的人数及未受感染的设传染病的传播速度与受感染的人数及未受感染的人数之积成正比人数之积成正比.一名游客患了某种传染病一

6、名游客患了某种传染病,由于这种传染病没有早期症状由于这种传染病没有早期症状,直升机将在直升机将在60至至72小时小时将疫苗运到将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数试估算疫苗运到时患此传染病的人数.解解用用 y ( t )表示发现首例病人后表示发现首例病人后 t 小时时的小时时的感染人感染人数数,)(800ty 表示表示 t 刻刻未受感染的人数未受感染的人数,由题意由题意,得得d(800),dtykyy其中其中k 0为比例常数为比例常数.可分离变量微分方程可分离变量微分方程分离变量分离变量,d)800(dtkyyy , 1)0( y初始条件初始条件:3)12( y9一阶微分方程一阶微分方

7、程,d)800(dtkyyy 即即,dd800118001tkyyy 两边积分两边积分,得得,)800ln(ln80011Cktyy 通解通解ktCey8001800 ).(1800CeC , 1)0( y初始条件初始条件3)12( y由由初始条件初始条件, 1)0( y得得.799 C再由再由, 3)12( y便可确定出便可确定出 k800所以所以.7991800)(09176. 0tety 1797ln122397.09176. 0 10一阶微分方程一阶微分方程.7991800)(09176. 0tety 直升机将在直升机将在60至至72小时将疫苗运到小时将疫苗运到,试估算疫苗运试估算疫苗

8、运到时患此传染病的人数到时患此传染病的人数.下面计算下面计算72,60 t小时时的小时时的感染者人数感染者人数 )60(y )72(y从上面数字可看出从上面数字可看出,在在72小时疫苗运到时小时疫苗运到时, 感感染的人数将是染的人数将是60小时感染人数的小时感染人数的2倍倍.病流行时及时采取措施是至关重要的病流行时及时采取措施是至关重要的.可见在传染可见在传染,18879918006009176. 0 e.38579918007209176. 0 e11有高为有高为1米的半球形容器米的半球形容器, 解解 由由力学知识力学知识 得得,水从孔口水从孔口流出的流量为流出的流量为流量系数流量系数孔口截

9、面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度ghStVQ262. 0dd 一阶微分方程一阶微分方程水面的高度水面的高度h(水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离)随时间随时间t的变化规律的变化规律.开始时开始时容器内盛满了水容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里求水从小孔流出过程中容器里流出流出, 例例小孔横截面积为小孔横截面积为1平方厘米平方厘米 (如图如图). 水从它的底部小孔水从它的底部小孔 3221(100),(200)d3VhhdVhhh 12hhhd)200(2 ,d262. 0tgh ,d)200(262. 0d3hhhgt ,)523400(262. 053Chhgt ,1

10、00|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求规律为所求规律为一阶微分方程一阶微分方程可分离变量方程可分离变量方程13一阶微分方程一阶微分方程 2001年北方交大期末考题年北方交大期末考题(8分分)推进器停止工作推进器停止工作,已知船受水的阻力与船速的平方成正比已知船受水的阻力与船速的平方成正比 (比例系比例系问经过问经过多少时间多少时间,船的速度减为原速度的一半船的速度减为原速度的一半?解解 由题意由题意2ddmkvtvm 0)0(vv Cktv 1初始条件初始条件011vktv 01vC ,20时时当当vv 01kvt 即得即得.解得解

11、得当轮船的前进速度为当轮船的前进速度为v0时时,数为数为mk,其中其中k 0为常数为常数,而而m为船的质量为船的质量).14, 2lnd2)()(20 ttfxfxfx满足关系式满足关系式设设).()( xf则则; 2ln.xeA; 2ln.2xeB; 2ln. xeC2ln.2 xeD分析分析 有两种方法有两种方法其一，其一， 将所给选项代入关系式直接验算，将所给选项代入关系式直接验算，B(B)正确正确.其二，其二， 对积分关系式两边求导化为微分方程对积分关系式两边求导化为微分方程,并注并注意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程所应满足的初始条件所应

12、满足的初始条件.一阶微分方程一阶微分方程 1991年考研数学一年考研数学一, 3分分15一般一般,未知函数含于未知函数含于变上限的积分变上限的积分中时中时,常可常可通过对关系式两边求导而化为微分方程再找出通过对关系式两边求导而化为微分方程再找出初始条件而解之初始条件而解之.解解 )(xf)(2)(xfxf fx222 可分离变量方程可分离变量方程xxfxfd2)()(d 两边积分两边积分Cxxfln2)(ln xCexf2)( 由原关系式由原关系式2ln)0( f, 2ln C得得得得. 2ln)(2xexf 分离变量分离变量一阶微分方程一阶微分方程20( )dln2,2xtf xft将关系式

13、两边求导16二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程)()(ddxQyxPxy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式, 0)( xQ当当上面方程称为上面方程称为上面方程称为上面方程称为, 0)( xQ当当如如,dd2xyxy ,sindd2ttxtx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.齐次的齐次的; ;非齐次的非齐次的.线性线性一阶一阶 自由项自由项一阶微分方程一阶微分方程17. 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy齐次方程齐次方程的通解为的通解为 xxPCeyd)(1. 线性线性齐次齐次方程方程一阶线性一阶线性微

14、分方程的微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)(C1为任意常数为任意常数)(1CeC 一阶微分方程一阶微分方程1ln |( )dln,yP xxC 182. 线性线性非齐次非齐次方程方程 yxPxy)(dd线性线性齐次齐次方程是线性方程是线性非齐次非齐次方程的特殊情况方程的特殊情况.,d)( xxPCe显然线性显然线性非齐次非齐次方程的解不会是如此方程的解不会是如此,之间应存在某种共性之间应存在某种共性.设想设想)()(ddxQyxPxy 非齐次非齐次方程方程 待定函数待定函数线性线性齐次齐次方程的通解是方程的通解是但它们但它们)(xQ一阶微分方程一阶微分方程 xxPeyd)()(

15、xC的解是的解是19 xxPexCyd)()(,代代入入原原方方程程和和将将yy )(xQ xxPxxPexPxCexCd)(d)()()()( xxPexCxPd)()()(从而从而C(x)满足方程满足方程,)(d)(求导求导对对 xxPexCy得得)(xC)(xP xxPed)(得得)()(ddxQyxPxy )()(d)(xQexCxxP 一阶微分方程一阶微分方程)()(ddxQyxPxy 20即即 xxPexQxCd)()()(xexQxCxxPd)()(d)( C 一阶线性非齐次一阶线性非齐次微分方程的通解为微分方程的通解为d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP xxPexCy

16、d)()(设设常数变易法常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法待定函数的方法. .一阶微分方程一阶微分方程 xd xdd( )( ).dyP x yQ xx是的解21 xxPCed)(非齐次方程的一个特解非齐次方程的一个特解对应齐次对应齐次方程通解方程通解d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 一阶线性方程解的结构一阶线性方程解的结构xexQexxPxxPd)(d)(d)( 注注 一阶线性方程解的结构及解非齐次方程一阶线性方程解的结构及解非齐次方程的常数变易法对高阶线性方程也适用的常数变易法对高阶线性方程也适用.一阶微分方程一阶微分方程)()(

17、ddxQyxPxy 22.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ xxeyd1 Cxxxdsin1 Cxx cos1解解例例一阶线性非一阶线性非齐次方程齐次方程 xxsin xxed1xdC 一阶微分方程一阶微分方程d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 23 23)(yx xyxxy03d23xyy 解解 xxxf0d)( 积分方程积分方程一阶微分方程一阶微分方程例例 如图所示如图所示,平行于平行于y 轴的动直线被曲线轴的动直线被曲线 y = f (x)阴影部分的面积阴影部分的面积,一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程 yyx 23即即xyO3

18、xy )(xfy xPQ截下的线段截下的线段PQ之长之长数值上等于数值上等于求曲线求曲线 y = f (x).3(0)yxx与240000 Cxexeyxxd3d2d6632 xxCex 0|xy6 C得得所求曲线为所求曲线为)222(32 xxeyx23xyy , 1)( xP23)(xxQ 一阶微分方程一阶微分方程 xyxxy03d00025一阶微分方程一阶微分方程例例静脉输液问题静脉输液问题. .静脉输入葡萄糖是一种重要的医疗技术静脉输入葡萄糖是一种重要的医疗技术. .研究这一过程研究这一过程, ,设设G(t)为为时刻时刻 t 血液中血液中葡萄糖含量葡萄糖含量, ,min)(gk与此与此

19、血液中的血液中的葡萄糖还会转化为其他物质或转移葡萄糖还会转化为其他物质或转移其速率与其速率与血液中的血液中的葡萄糖含量成正比葡萄糖含量成正比. .试列出描述这一现象的微分方程试列出描述这一现象的微分方程, ,为了为了到其他地方到其他地方, ,含量含量. .糖以常数糖以常数同时同时,解解 因为因为血液中的血液中的葡萄糖含量的变化率葡萄糖含量的变化率tGdd加速率与减少速率之差加速率与减少速率之差, ,等于增等于增而增加速率为而增加速率为减少减少速率为速率为,G 其中其中 为正的比例常数为正的比例常数, ,所以所以需要知道需要知道t 时刻中血液中的时刻中血液中的葡萄糖葡萄糖且设葡萄且设葡萄的固定速

20、率输入到的固定速率输入到血液中血液中,并解之并解之. .常数常数k,ddGktG 26一阶微分方程一阶微分方程,ddGktG 即即.ddkGtG 关于关于G的一阶线性非齐次方程的一阶线性非齐次方程由通解公式由通解公式, ,得得 d)(ddCteketGtt 设设G(0)表示最初血液中表示最初血液中葡萄糖含量葡萄糖含量, ,)0( kGC 于是于是.)0()(tekGktG 定出定出则可确则可确.tCek 27解初值问题解初值问题: 10cos2)1(02xyxxyyx解解 将方程写为将方程写为1cos1222 xxyxxy)(xP)sin(112xCx 由初始条件由初始条件10 xy特解特解2

21、1sin1xxy )(xQ, 1 C一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程一阶微分方程一阶微分方程d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 2222dd112cosd1xxxxxxxyeexCx28例例 解方程解方程0d)ln(dln yyxxyy若将方程写成若将方程写成yxyyxylnlndd 则它既不是线性方程则它既不是线性方程,又不能分离变量又不能分离变量.若将方程写成若将方程写成yyyxyxlnlndd yxyy1ln1 以以x为为未知函数未知函数, 即即yxyyyx1ln1dd 一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程.分析分析y 为为自变量自变量的的一阶微分方程一阶微分方程29 Cy

22、eyexyyyyyyd1dln1dln1 Cyyyydln1ln1yCylnln21 此外此外, y = 1也是原方程的解也是原方程的解.解解yxyyyx1ln1dd 一阶微分方程一阶微分方程)(yP)(yQd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP ln d(ln )d0yy xxyy30注注参数形式的参数形式的.解方程时解方程时, 通常不计较哪个是自变量哪个是通常不计较哪个是自变量哪个是因变量因变量,视方便而定视方便而定,关系关系.关键在于找到两个变量间的关键在于找到两个变量间的解可以是显函数解可以是显函数, 也可以是隐函数也可以是隐函数,甚至是甚至是一阶微分方程一阶微分方程31)(xQ

23、)(xP的的通通解解为为微微分分方方程程xxyycostan 解解 y 这是典型的一阶线性方程这是典型的一阶线性方程.分析分析 由通解公式有由通解公式有 Cxexeyxxxxdcosdtandtan一阶微分方程一阶微分方程 1992年考研数学一年考研数学一, 3分分()cosxCx()cosxCx32 2002年考研数学二年考研数学二, 7分分 求微分方程求微分方程0d)2(d xyxyx 的一个解的一个解),(xyy 与直线与直线2, 1 xx 以及以及x轴所围成的平面图形绕轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的所围轴旋转一周的所围成的旋转体体积最小成的旋转体体积最小. 使得由曲线使得由曲线)(

24、xyy 12dd yxxy解解212475xxy 一阶微分方程一阶微分方程原方程可化为原方程可化为则则 Cxeeyxxxxd1d2d2.2Cxx 一阶线性方程一阶线性方程)(CV).37215531(2 CC 0)215562()( CCV .12475 C 2122d)(xCxx 33形如形如的方程的方程,)()(ddxQyxPxy 方程为方程为线性线性微分方程微分方程. 方程为方程为非线性非线性微分方程微分方程.,1 , 0时时当当 n,1 , 0时时当当 n需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.解法解法)1 , 0( n称为称为ny 一阶微分方程一阶微分方程伯努利

25、伯努利( (Bernoulli)方程方程. 事实上事实上, ny用用除方程的两边除方程的两边,得得 雅个布雅个布 伯努利伯努利 (瑞士瑞士) 1654-1705)()(dd1xQyxPxyynn 三、伯努利三、伯努利(Bernoulli)方程方程34即即)()(dd1111xQyxPxynnn 可见只要作可见只要作变换变换,)()(dd1xQyxPxyynn nyz 1方程就可化为方程就可化为z 的一阶线性方程的一阶线性方程)1)()()1(ddnxQzxPnxz ny1伯努利方程伯努利方程的通解的通解 )d)1)(d)()1(d)()1(CxenxQezxxPnxxPn 令令ny 一阶微分方

26、程一阶微分方程35.4dd的通解的通解求方程求方程yxyxxy 解解例例伯努利方程伯努利方程21 n作变换作变换.21211yyz 则方程化为则方程化为 xzdd即即22ddxzxxz 它的通解为它的通解为22dd2xxxxxzeedxC xCxln212故原方程的通解为故原方程的通解为24ln21 xCxy)1)()()1(ddnxQzxPnxz 一阶微分方程一阶微分方程zx 4211x 21136 熟悉求解方法后熟悉求解方法后,也可以不引入新变量也可以不引入新变量,注注例例 解方程解方程321ddyxxyxy 解解 这不是线性方程这不是线性方程,但若把但若把y视为自变量视为自变量,23dd

27、xyyxyx 两边除以两边除以,dd312yyxyxx 311ddyyxyx 一阶微分方程一阶微分方程n=2的伯努利方程的伯努利方程.也不是也不是伯努利方程伯努利方程.方程写为方程写为:2x而直接按上述方法求解而直接按上述方法求解.即即,dd311yyxyx ,)(yyP 3)(yyQ 37即即,dd311yyxyx ,)(yyP Cyeyexyyyyd)(d3d1 Cyeyeyyd232222222yCey 3)(yyQ 1 x1 x一阶微分方程一阶微分方程38的的通通解解求求yexy 1分析分析这不是前面的典型类型中的任何一种这不是前面的典型类型中的任何一种,可仿照可仿照伯努利方程的解法伯

28、努利方程的解法,通乘等式通乘等式以以ye 11dd yyexxye可化为可化为线性方程线性方程解解yeu 令令xyexuydddd 则则上式成为上式成为11dd uxxu即即11dd uxxu线性方程线性方程一阶微分方程一阶微分方程例例两边两边, 得得39 Cxeeuxxxxdd1d1从而从而xCx 2于是得于是得ye xCx 2即即 xCxy2ln一阶微分方程一阶微分方程40四、利用变量代换求解四、利用变量代换求解方程方程 下面用变量代换的方法来简化求解微分方程下面用变量代换的方法来简化求解微分方程.如果一阶微分方程可以写成如果一阶微分方程可以写成 xygxydd齐次齐次型型方程方程. .即

29、即,uxy 得到得到 u 满足的方程满足的方程).(dduguxux 即即的形式的形式,xyu 作变量代换作变量代换 xydd 代入代入变量代换在数学的各个方面都是极重要的变量代换在数学的各个方面都是极重要的,极限运算和积分运算中已看到了变换的作用极限运算和积分运算中已看到了变换的作用.则称之为则称之为 uxxudd 一阶微分方程一阶微分方程1. 齐次型方程齐次型方程41可分离变量的方程可分离变量的方程,)(ddxuugxu xxuugud)(d 分离变量分离变量两边积分两边积分,求出通解后求出通解后, .uxy代代替替用用就得到原方程的通解就得到原方程的通解.一阶微分方程一阶微分方程42例例

30、 解方程解方程解解 将方程写为将方程写为22ddyxxyxy 齐次型方程齐次型方程,xyu 令令,uxy 则则xuxuxydddd 方程变为方程变为21dduuxuxu 即即xxuuud1d132 积分得积分得Cxuu lnln21221 xyxy可分离变量方程可分离变量方程uuxyu 一阶微分方程一阶微分方程 xygxydd22d()d0 xy xxyy43例例 探照灯反射镜的设计探照灯反射镜的设计. .一阶微分方程一阶微分方程在在xOy平面上有一曲线平面上有一曲线L,曲线曲线L绕绕x轴旋转一周轴旋转一周,形成一形成一旋转曲面旋转曲面. 假设由假设由O点发出的光线经此点发出的光线经此旋转旋转

31、曲面形状的凹曲面形状的凹镜反射后都与镜反射后都与x轴平行轴平行(探照灯内的探照灯内的凹凹镜就是这样的镜就是这样的), ,求求曲线曲线L的方程的方程.解解 如图如图,设设 O点点发出的某条发出的某条 ML光线经光线经L上一点上一点M (x, y)反射反射后是一条与后是一条与x轴平行的直线轴平行的直线MS.又设过点又设过点M的切线的切线AT与与x轴的倾角是轴的倾角是. 由题意由题意,. SMTxyO TAS 44一阶微分方程一阶微分方程另一方面另一方面,OMA 是是入射角入射角的余角的余角,SMT 是是反射角反射角的余角的余角,于是由光学中的于是由光学中的反射定律反射定律, SMTOMA有有从而从

32、而,OMAO 但但OPAPAO OPPM cot而而.22yxOM 于是得微分方程于是得微分方程,22yxxyy 即即.d)(d22yyxxxy MLxyO TAS PN,xyy 入射角入射角 = 反射角反射角齐次型方程齐次型方程45一阶微分方程一阶微分方程为方便求解为方便求解,yyxxxyd)(d22 视视y为自变量为自变量, x为未知函数为未知函数,yxv 令令则则,yvx 有有,dddvyyvx 代入上式得代入上式得.d)1|()dd(2yvyyvvyyvy 由曲线由曲线L的对称性的对称性, 不妨设不妨设y 0, ,上式上式为为,d)1()dd(2yvvyvyyvy 化简得化简得,d1d

33、2yvvy .d1d2yyvv 分离变量分离变量可分离变量的方程可分离变量的方程46.d1d2yyvv 两边积分两边积分一阶微分方程一阶微分方程得得,lnln)1ln(2Cyvv 即即.12Cyvv 由上式可得由上式可得, 122 vvCy即即, 1222 CyvCy以以yxv 代入上式代入上式,得得.222 CxCy这就是这就是曲线曲线L的方程的方程,它是以它是以x轴为对称轴轴为对称轴,焦点焦点在原点的在原点的抛物线抛物线.47分析分析.,求求解解比比较较方方便便的的函函数数看看作作把把yx解解 yxdd,yxu 令令,uyx 则则,ddddyuyuyx 方程变为方程变为 yuyudd)1(

34、11 ueu 齐次齐次型型方程方程可分离变量方程可分离变量方程 yxfyxdd一阶微分方程一阶微分方程)1(11 yxeyx(1) d()d.xyey xxyy求方程的通解48两边积分两边积分Cyeuulnln)ln( 即即Ceuyu )(得通解得通解Cyexyx 分离变量分离变量yyueueuud1d1 yuyudd)1(11 ueu一阶微分方程一阶微分方程49uuux 11)1(2解解令令则则 y代入方程代入方程, ,1dd112 xxuuu积分得积分得uarctan)1(ln212u )1(ln xC分离变量分离变量, ,得得因方程可变形为因方程可变形为uxy)1(5 得得例例 求解求解

35、一阶微分方程一阶微分方程,)1(uux 2. 可化为齐次型的方程可化为齐次型的方程15 xyud4d6yxyxxy25xy d(5)(1)d(5)(1)yyxxyx50求解求解一阶微分方程一阶微分方程通解通解15arctan xy 2151ln21xy)1(ln xC得得 C = 1,故所求特解为故所求特解为15arctan xyd4d6yxyxxy25xy 221ln (1)(5)2xy51为齐次型方程为齐次型方程. .,01时时当当 cc，令令kYyhXx ,(其中其中h和和k是待定的常数是待定的常数)YyXxdd,dd 否则为否则为非齐次型方程非齐次型方程. . XYdd解法解法一阶微分

36、方程一阶微分方程形如形如的微分方程的微分方程111cybxacbyax )(ddfxy cbkahbYaX )(f11111ckbhaYbXa , 0, 0111ckbhacbkah11)1(baba 有唯一一组解有唯一一组解., 0 52 , 0, 0111ckbhacbkah, 0)1(11 baba有唯一一组解有唯一一组解.)(dd11YbXabYaXfXY 得通解代回得通解代回 ，kyYhxX, 0)2( 未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.,01时时当当 bba 与与1一阶微分方程一阶微分方程中必至少有一个为零中必至少有一个为零., 0 b若若可分离变量的微分方程可分离

37、变量的微分方程.)(dd111cybxacbyaxfxy ,byaxz 令令, 0, 01 ab若若),dd(1ddaxzbxy )()dd(11cczfaxzb 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.53,11 bbaa令令),)(dd1cbyaxcbyaxfxy ，则则xybaxzdddd ).()dd(11czczfaxzb ,01时时当当 b,byaxz 令令可分离变量可分离变量.)(dd111cybxacbyaxfxy 一阶微分方程一阶微分方程 , 0, 0111ckbhacbkah, 0)2( 未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.方程可化为方程可化为54.31dd

38、的通解的通解求求 yxyxxy解解, 021111 0301khkh2, 1 kh. 2, 1 YyXx令令,ddYXYXXY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu 一阶微分方程一阶微分方程例例 )(dd111cybxacbyaxfxy , hXx 令令 . 0, 0111ckbhacbkah，kYy 是是非齐次型方程非齐次型方程. .方程组方程组是是齐次型方程齐次型方程. . XuXudd分离变量法得分离变量法得方程变为方程变为,11uu 55,11dduuXuXu 分离变量法得分离变量法得,)12(22CuuX ,222CXXYY 代回，代回，将将2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的

39、通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 方程变为方程变为一阶微分方程一阶微分方程XYu 即即或或56求解下列微分方程求解下列微分方程一阶微分方程一阶微分方程例例0d)(d)()1( yxxygxyxyfxyxyxxy )(sin1dd)2(2xxyxeyyxyx22)4(2222 解题提示解题提示方程中出现方程中出现),(),(yxfxyf )(),(22xyfyxf 等形式的项时等形式的项时,通常要做相应通常要做相应的的变量代换变量代换,22xyyxyxxyu yxxy 1dd)3(57一阶微分方程一阶微分方程0d)(d)()1( yxxygxyxyf解

40、解,xyu 令令求微分得求微分得,dddxyyxu 代入方程代入方程0d)(d)()( uugxxuuguf0d)()()(d uugufuugxx xln uugufuugd)()()(C 可分离变量方程可分离变量方程58xyxyxxy )(sin1dd)2(2解解,xyu 令令 xudd则则 xuddCxuu 42sin2分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyu 所求通解为所求通解为Cxxyxy 4)2sin(2)(sin1(2xyxyxxy u2sin1 xuddu2sin1 可分离变量方程可分离变量方程一阶微分方程一阶微分方程xyxydd 59yxxy 1dd)3(解解uyx 令令

41、, 1dddd xuxy则则代入原式代入原式,11dduxu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代代回回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解另解yxyx dd一阶线性方程一阶线性方程. 可分离变量方程可分离变量方程一阶微分方程一阶微分方程方程变形为方程变形为60 xxyxeyyxyx22)4(2222 一阶微分方程一阶微分方程解解,22uyx 令令uyyx 22则则原方程原方程xuexuu ,xuv 再令再令,xvu 而而vxvu vevvxv xxvevd1d Cxev lnCxexyx ln22齐次齐次型型方程方程61一阶微分方程一阶

42、微分方程解微分方程解微分方程例例0cossin xyxyy解解 原方程变形原方程变形 y yy2cos21202tan2tan xyyuy 2tan0 xuu一阶线性方程一阶线性方程原方程的解原方程的解)1(2tanxCeyx 2cos2sin2yyxy 2cos220 2tany0 x62例例 求解求解 有的微分方程可以由多元函数全微分的有的微分方程可以由多元函数全微分的xyy (是可分离是可分离、解解 将方程写成将方程写成因为左端是全微分式因为左端是全微分式ddx yy x所以方程变成所以方程变成得通解得通解Cxy 五、全微分方程五、全微分方程又是齐次方程又是齐次方程 )(d xy一阶微分

43、方程一阶微分方程逆运算解出逆运算解出.dd0 x yy xd()0 xy 631.1.定义定义0d),(d),( yyxQxyxP则则若有全微分形式若有全微分形式如如0dd yyxx)(21),(22yxyxu 全微分方程全微分方程或恰当方程或恰当方程yyxxddd 是全微分方程是全微分方程.全全微微分分方方程程xQyP 所以所以0dd yyxx),(yxu一阶微分方程一阶微分方程d ( , )( , )d( , )du x yP x yxQ x yy642. .解法解法0d),(d),( yyxQxyxP应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.xQyP 通解为通解为 yyxxyyxQx

44、yxPyxu00d),(d),(),(0,d),(d),(000 xyxPyyxQxxyy ;),(Cyxu (1) 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.全微分方程全微分方程一阶微分方程一阶微分方程65.0d)4(d)2(的通解的通解求方程求方程 yxyxyx解解1 yP是是全微分方程全微分方程.Cyxyxyx d)4(d)2(.222Cxyyx 原方程的通解为原方程的通解为例例)0 , 0(),(00 yx取取通解为通解为 xxx0d2),(yxP),(yxQ,xQ 应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关xyo)0 , 0(),(yx yyxy0d)4(C ),(yx.)0 ,(

45、x.一阶微分方程一阶微分方程 ),(yxu66 xxd2)(d0)2(d22 yxyx得通解得通解Cyxyx 222也可用也可用分组凑全微分分组凑全微分的方法解出的方法解出这个方程这个方程x2)(d)(d0 y4xd yyd40 )dd(yxxy yd 2x22yxy一阶微分方程一阶微分方程(2)d(4)d0 xyxyxy67.0d3d24223的通解的通解求方程求方程 yyxyxyx解解46yxyP 是是全微分方程全微分方程将左端重新组合将左端重新组合 yyd12 Cyxy 321原方程的通解为原方程的通解为)1(d32yxy 例例)d3d2(423yyxxyx xQ d d y1 32yx

46、一阶微分方程一阶微分方程68定义定义如何求方程的积分因子如何求方程的积分因子?积分因子法积分因子法,0),(连续可微函数连续可微函数 yx 使方程使方程0d),(),(d),(),( yyxQyxxyxPyx 则称则称),(yx 为方程的为方程的成为全微分方程成为全微分方程.一阶微分方程一阶微分方程积分因子积分因子. .69 观察法观察法凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到),(yx 常见的全微分表达式常见的全微分表达式 2ddd22yxyyxx xyxxyyxddd2 xyyxxyyxarctanddd22 xyxyxyyxlnddd 一阶微分方程一阶微分方程70 )ln(21ddd2222yx

47、yxyyxx yxyxyxxyyxln21ddd22可选用积分因子可选用积分因子.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 一阶微分方程一阶微分方程71一阶微分方程一阶微分方程.0d)1(d2223的通解的通解 yyxxxy例例 求方程求方程解解 不是全微分方程不是全微分方程. 将方程两端重新组合将方程两端重新组合,有有0d)dd2(223 yyyxxxy21),(yyx 用简单的观察法看出积分因子为用简单的观察法看出积分因子为于是于是, 原方程原方程0ddd222223 yyyyyxxxyyxxxydd22 0d2 yy)(d2yxCyyx 120)1(d2 yyx)1(dy 0 72.0d)1(dln2222的通解的通解 yyyxxyxy解解将方程两端重新组合将方程两端重新组合,yyyd122 例例 求方程求方程不是全微分方程不是全微分方程.0d1)ddln2(22 yyyyyxxyx有有,1),(