高等数学：11-4 函数展开成幂级数

1、1小结小结 思考题思考题 作业作业函数展开成幂级数函数展开成幂级数第四节第四节 函数展开成幂级数函数展开成幂级数泰勒级数泰勒级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数2 所以有了函数展开成的幂级数所以有了函数展开成的幂级数,那末函数的那末函数的多项式逼近、函数值的近似计算多项式逼近、函数值的近似计算,以及一些积分以及一些积分、微分方程问题就应刃而解了、微分方程问题就应刃而解了. 将函数展开为幂级数的形式将函数展开为幂级数的形式,在理论上和应在理论上和应用中都是十分重要的用中都是十分重要的. 如如,对函数作数值分析时对函数作数值分析时,总离不开多项式逼总离不开多项式逼近给定的函数近给定的函数,而幂

2、级数的部分和恰是多项式而幂级数的部分和恰是多项式. 问问: 哪些函数在怎样的区间上可展开为幂级数哪些函数在怎样的区间上可展开为幂级数?幂级数的系数如何确定幂级数的系数如何确定? 这是本节要讨论的主要问题这是本节要讨论的主要问题.3一、泰勒级数一、泰勒级数nnnxxaxf)()(00 以以f (x)为和函数为和函数1.如果能展开如果能展开, 是什么是什么?na2.展开式是否唯一展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数? 1nnnx上节例题上节例题)11( x存在幂级数在其收敛域存在幂级数在其收敛域内内)1ln(x 函数展开成幂级数函数展开成幂级数4的某邻域内的

3、某邻域内有有n+1阶导数阶导数, 则则 f (x)可表为可表为: 公式公式(1)是函数是函数f(x)在在x0处展开的处展开的泰勒公式泰勒公式, ,)()!1()()(10)1( nnnxxnfxR其中其中 介于介于x与与x0之间之间.回顾回顾Rn(x)是拉格朗日余项是拉格朗日余项.若函数若函数f (x)在在x0第三章第三节泰勒公式第三章第三节泰勒公式:(1)()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 函数展开成幂级数函数展开成幂级数5如函数如函数f (x)在在x0的某邻域内是的某邻域内是(2)称幂级数称幂级数(2)为函数为函数 f

4、(x)在在x0处的处的 f (x)是否可展为如下的幂级数是否可展为如下的幂级数:自然会想到自然会想到: 不管怎样不管怎样泰勒级数泰勒级数. . nnxxnxfxxxfxxxfxf)(!)()(! 2)()(! 1)()(00)(200000无穷次连续无穷次连续可微的可微的, ,函数展开成幂级数函数展开成幂级数6 显然显然,泰勒级数泰勒级数(2)在什么范围上在什么范围上,收敛于函数收敛于函数 f (x),. 0)(xRn特别特别,为函数为函数 f (x)的的)3(!)0(! 2)0(! 1)0()0()(2 nnxnfxfxff麦克劳林级数麦克劳林级数. .取决于取决于在什么范围上有在什么范围上

5、有当当x0 = 0时时,称幂级数称幂级数函数展开成幂级数函数展开成幂级数7证证 必要性必要性)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn ,)(能展开为泰勒级数能展开为泰勒级数设设xf)()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 定理定理1 1内内处处泰泰勒勒级级数数在在在在点点)()(00 xUxxf)(xf收收敛敛于于. 0)(lim)(0 xRxUnn内内在在函数展开成幂级数函数展开成幂级数8充分性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(

6、lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒级数收敛于的泰勒级数收敛于0)(lim xRnn设设函数展开成幂级数函数展开成幂级数9证证 nnxxaxxaaxf)()()(0010由于幂级数在收敛区间内可逐项微分由于幂级数在收敛区间内可逐项微分,定理定理2(2(函数幂级数展开的唯一性函数幂级数展开的唯一性) )内可展为幂级数内可展为幂级数在在如果函数如果函数)()(0 xUxf则则其其系系数数,)()(00nnnxxaxf 于是于是, 1! 0 规规定定：).()(00)0(xfxf ), 2 , 1 , 0( n)(!10)(xfnann 函数展开成幂级数函数展开成幂级数10 )(23)

7、1(!)(01)(xxannanxfnnn,0 xx 令令), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系数是唯一的泰勒系数是唯一的, 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf泰勒系数泰勒系数,)()1()(23! 2)(20032 nnxxannxxaaxf即得即得函数展开成幂级数函数展开成幂级数所以所以, f (x)的展开式是唯一的的展开式是唯一的.11问题问题nnnxxnxfxf)(!)()(000)( 泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f (x)? 不一定不一定. . 0, 00,)(21xxexfx如如), 2 , 1 , 0(0)0()(

8、 nfn且且 00)(nnxxf的麦氏级数为的麦氏级数为. 0)(),( xs内内和和函函数数该该级级数数在在可见可见,0外外除除 x在在x = 0点任意可导点任意可导,函数展开成幂级数函数展开成幂级数 f (x)的麦氏级数处处不收敛于的麦氏级数处处不收敛于f (x).121. 直接展开法直接展开法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤;!)0()1()(nfann 求求.0)(lim)3( xRnn讨论讨论(2) 写出泰勒级数写出泰勒级数,!)0(0)(nnnxnf 并求收敛半径并求收敛半径R.如如,0)(lim xRnn二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数函数展开成幂级数函数展开成幂

9、级数 则级数在收敛区间内收敛于则级数在收敛区间内收敛于f (x).13例例解解.)(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xexfx ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn其收敛半径其收敛半径因因泰勒公式的余项泰勒公式的余项,)!1()(1 nnxnexR (介于介于0, x之间之间)它满足不等式它满足不等式 nxnxx!1! 2112xeR = +.函数展开成幂级数函数展开成幂级数14)(xRn.)!1(1 nxenx对任一确定的对任一确定的,Rx 是处处收敛的幂级数是处处收敛的幂级数 的一般项的一般项. 0!nnnx),(!1! 2112 xxnxxenxxe是

10、确定的数是确定的数,)!1(1 nxn而而所以在所以在 上恒有上恒有),( x.0)(lim xRnn有展开公式有展开公式1)!1( nxne 于是于是,函数展开成幂级数函数展开成幂级数15例例.sin)(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n其收敛半径其收敛半径 )!12()1(! 51! 311253nxxxxnn),( x对对 内任一点内任一点x,有有R = +.函数展开成幂级数函数展开成幂级数16)!1(1 nxn)(xRn于是于是,

11、有展开公式有展开公式 )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x1)!1(2)1(sin nxnn 0)( n函数展开成幂级数函数展开成幂级数17例例.)()1()(的幂级数的幂级数展开成展开成将将xRxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn ), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12 nnnaa1lim lim1nnn1 1 R函数展开成幂级数函数展开成幂级数18所以所以 的泰勒级数的收敛区间是的泰勒级数的收敛区间是 )1(x 对不同的对不同的,1处处在在 x 为了避免讨论余项的极限为

12、了避免讨论余项的极限,设在区间设在区间 )1(x 的泰勒级数和函数的泰勒级数和函数s(x),即设即设 nxnnxxs!)1()1(1)( 下面证明下面证明).1 , 1(,)1()( xxxs由逐项求导得由逐项求导得 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs ).1 , 1( 内内)1 , 1( 函数展开成幂级数函数展开成幂级数, 敛散性不同敛散性不同.11(1)(1)1.1!(1)!nnxxn19两边同乘以两边同乘以(1 + x)后后,注意右边方括号内的注意右边方括号内的 xn 系数为系数为.!)1()1(!)()1()!1()1()1(nnnnnn )()1(xsx 1222!)1(

13、)1(! 2)1(nxnnxx )(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且函数展开成幂级数函数展开成幂级数11(1)(1)( )1.1!(1)!nnS xxxn20两边积分两边积分,d1d)()(00 xxxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式注注.1的取值有关的取值有关处收敛性与处收敛性与在在 x);1 , 1(1 收收敛敛区区间间为为 ;1 , 1(11 收收敛敛区区间间为为 .1 , 11 收收敛敛区区间间为为 函数展开成幂级数函数展开成幂级数21有有时

14、时当当,21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1(!)!2(!)!32() 1(64231421211132nnxnnxxxx 1 , 1(!)!2(!)!12() 1(64253142312111132nnxnnxxxx双阶乘双阶乘函数展开成幂级数函数展开成幂级数22),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 .1的取值有关的取值有关处收敛性与处收敛性与在在 x);1 , 1(, 1 收收敛敛区区间间为为 ;1 , 1(, 11 收收敛敛区

15、区间间为为 .1 , 1, 1 收收敛敛区区间间为为 常见的展开式常见的展开式函数展开成幂级数函数展开成幂级数23 将函数用直接展开法展开为幂级数将函数用直接展开法展开为幂级数,而且对许多函数来说求各阶导而且对许多函数来说求各阶导与讨论拉格朗日型余项与讨论拉格朗日型余项 Rn(x) 趋于零的范围趋于零的范围下面介绍下面介绍计算工作量大计算工作量大.一般一般数数间接展开法间接展开法. .都是困难的都是困难的.函数展开成幂级数函数展开成幂级数242. .间接展开法间接展开法 根据展开的唯一性根据展开的唯一性, 它与直接展开法得到它与直接展开法得到的结果是一致的的结果是一致的.利用常见展开式及等比级

16、数的和等利用常见展开式及等比级数的和等, 通过通过逐项求导逐项求导,逐项积分逐项积分, 变量代换变量代换,四则运算四则运算,恒等恒等变形变形等方法等方法,求展开式求展开式.函数展开成幂级数函数展开成幂级数25例例)(sincos xx1cos x),( x(1) 逐项求导逐项求导, 逐项积分法逐项积分法 展开展开为为x的幂级数的幂级数.解解)!2()1(20nxnnn )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x2! 21x 4! 41x )!2()1(2nxnnxcos)!2()1(20nxnnn ),( x函数展开成幂级数函数展开成幂级数xxfcos)( 将将2

17、6例例展开为展开为x的幂级数的幂级数.解解,11)(arctan2xx 而而,)1(1112422 nnxxxx)1 , 1( x 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 xxarctan 21dxxxarctan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x0 x函数展开成幂级数函数展开成幂级数xxfarctan)( 将将27)1ln(x ,)1(3121132 nxxxxnn1 , 1( x例例 将将 展开为展开为x的幂级数的幂级数.解解,11 )1ln(xx 而而,)1(1112 nnxxxx)1 , 1( x注注利用间接展开法时利用间接展开法时,要注意区间端点的收

18、敛性要注意区间端点的收敛性. xx1d)1ln(x ,)1(3121132 nxxxxnn1 , 1( x0 x)1ln()(xxf 函数展开成幂级数函数展开成幂级数28有有 121)1(513114nn nn1)1(312112ln1 12)1(5131arctan1253nxxxxxnn nxxxxxnn 132)1(3121)1ln(, 2ln)11ln(1 时时，当当x,41arctan1 时，时，当当x有有1 , 1( x 1 , 1 x函数展开成幂级数函数展开成幂级数29 1989年研究生考题年研究生考题,计算计算,6分分.11arctan的幂级数的幂级数展为展为将函数将函数xxx

19、y 解解xxxf 11arctan)(由由41arctan)0( f且且21111)( xxxf2)1()1)(1()1(1xxx 211x xttf0d)(由由)0()(fxf xtf0)( 4)( xfnnnx20)1( )11( x例例 nnxxxx2422)1(111)1 , 1( x函数展开成幂级数函数展开成幂级数304)( xfttnxnnd)1(200 002d)1(4nxnntt 012121)1(4nnnxn )11( x.11arctan的幂级数的幂级数展为展为将函数将函数xxxy 函数展开成幂级数函数展开成幂级数31 1994年研究生考题年研究生考题,计算计算,5分分xx

20、xxxf arctan2111ln41)(将函数将函数.的的幂幂级级数数展展成成x,141)(141 nnxnxf解解 xxxf111141)()1(212x 1 1114 x 14nnx)0()(fxf xxxf0d)(141141 nnxn0)0( f由由)11( x由牛由牛莱公式得莱公式得例例441xx 函数展开成幂级数函数展开成幂级数32(2) 变量代换变量代换法法例例 将将 展开为展开为x的幂级数的幂级数,并指出收敛区间并指出收敛区间.2xe 解解 作作变量代换变量代换2xt ! 2122nttteentx !)1(! 3! 212642nxxxxnn)( x),(!1! 2112

21、xxnxxenx函数展开成幂级数函数展开成幂级数33例例 将将 展开为展开为x的幂级数的幂级数,并指出收敛区间并指出收敛区间.解解x 31将将 作作下述下述变形变形,再利用再利用变量代换变量代换.3xt x 31x 31 31t 1131)1(3112 nttt3331 3112 nxxx311x )1 , 1(11132 nxxxxx)1 , 1(11132 nxxxxx)1 , 1(11132 nxxxxx函数展开成幂级数函数展开成幂级数34 1122333131nnxxx, 131 x11 t. 33 x相当于相当于即即注注 今后为了书写简单起见今后为了书写简单起见,常可以不将新常可以不

22、将新的变量写出的变量写出.函数展开成幂级数函数展开成幂级数35例例.141)(处展开成泰勒级数处展开成泰勒级数在在将将 xxxxf解解)1(的的幂幂级级数数展展开开成成 x x41)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 x1 3)1( x).1()(nf并求并求函数展开成幂级数函数展开成幂级数36xxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x于于是是.3!)1()(nnnf 故故,31n !)1()(nfn), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann函数展开成幂级数函数展开成幂级数.141)(处展开成泰勒级数处展开成

23、泰勒级数在在将将 xxxxf)1(的的幂幂级级数数展展开开成成 x).1()(nf并求并求37解解xln2321212ln222232xxx 2212lnx 221ln2lnx. 222 x得得, 1221 x nnxn221)1(1展开区间展开区间.,ln并并指指出出展展开开区区间间的的幂幂级级数数展展开开为为将将x. 40 x2ln )2( x2 x)1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x函数展开成幂级数函数展开成幂级数38(3) 四则运算四则运算例例)(21chxxeex )!2(! 4! 21232nxxxn ! 4! 3! 21! 4! 3! 2121432

24、432xxxxxxxx)( x),(!1! 2112 xxnxxenx函数展开成幂级数函数展开成幂级数39例例 将将 展为展为x的幂级数的幂级数.xex 1解解. 1,1112 xxxxxn).,(,!1! 2112 xxnxxenx相乘得相乘得 2! 21! 111! 11111xxxex. 1 x,!1! 21! 111 nxn函数展开成幂级数函数展开成幂级数40例例 将将 展为展为x的幂级数的幂级数.ttxfxdsin)(02 解解 xnxxnnn,)!12()1(sin120 2sint逐项积分得逐项积分得ttxfxdsin)(02 tntnxnnd)!12()1()12(200 .

25、x,)34()!12()1(340 nnxnnn.,)!12()1()12(20 tntnnn2t函数展开成幂级数函数展开成幂级数41),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x熟记下面函数的展开式熟记下面函数的展开式函数展开成幂级数函数展开成幂级数42)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x函数展开成幂级数函数展开成幂级数43;11)1(0 xxnn ;11

26、)1()2(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;!)4(0 xnnenx ).1ln(1)1()6(01xnxnnn ;sin)!12()1()5(1121xnxnnn 常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数函数展开成幂级数函数展开成幂级数44例例 求常数项级数求常数项级数 的和的和. 02!)1(nnn解解在在x = 1时对应的级数时对应的级数. nnxnn 02!)1(显然这个幂级数收敛域为显然这个幂级数收敛域为故先求此故先求此幂级数的和函数幂级数的和函数.nnxnnxs 02!)1()( 02!12nnxnnnnnxnn 02!nnxn 1)!1(12nnxnn 1)

27、!1(xe xnnenx 0!).,( nnxnn 0!2nnxn 0!1分析分析这个常数项级数是幂级数这个常数项级数是幂级数函数展开成幂级数函数展开成幂级数45nnxn 1)!1(12nnxnn 1)!1(11xe 2)!2(nnnxnnxn 1)!1(13xe 02!kkkxx 0!3kkkxxxe xexx)13(2 所以所以 02!)1(nnn)1( s e5 nnxn 1)!1(12nnxnn 1)!1(xe xnnenx 0!函数展开成幂级数函数展开成幂级数46 求常数项级数求常数项级数 的和的和. 0!12nnn法一法一解解 0!12nnn )!1(12n 0!13nne3 0!

28、2nnn 0!1nn 0!1nn 0!12nn 0!1nn1 n函数展开成幂级数函数展开成幂级数47法二法二,!12)(02 nnxnnxs令令逐项积分逐项积分 xxxs0d)( 012!1nnxn 0!)(nnnxx故故)()(2 xxexs 当当 x = 1时，时， 0!12)1(nnns. x2222xxexe .)21(22xex 122)21( xxex.3e xxnnnxnd!12002 得得 xe 2xxnnenx 0!分析分析令令 x = 1,得得 0!12)1(nnns 02!1nnxn2x函数展开成幂级数函数展开成幂级数48法三法三令令,!1)(012 nnxnxs上式两边

29、求导得上式两边求导得 02!12)(nnxnnxs.)21(22xex 令令 x=1,得得 0!12)1(nnns的的和和求求 0!12nnn. x 0!12)1(nnns2xxe 02!nnnxx 012!1)(nnxnxs 02!12)(nnxnnxs122)21( xxex分析分析的的和和求求 0!12nnn.3e )(xs2xxe 函数展开成幂级数函数展开成幂级数49 将函数将函数xxxxfarctan2111ln41)( 展开为展开为x的幂级数的幂级数,并指出收敛区间并指出收敛区间.解解21121111141)(xxxxf 22111121xx411x )11()(04 xxxfnn0)0( f xnnxxfxf004d)0()(140141 nnxn端点无定义端点无定义 )(xf)11(141140 xxnnn函数展开成幂级数函数展开成幂级数50泰勒级数收敛于函数的充分必要条件泰勒级数收敛于函数的充分必要条件函数展开成泰勒级数的方法函数展开成泰勒级数的方法:熟记熟记6个基本的展开式个基本的展开式. )1ln(,)1(,cos,sin,11xxxx