经典力学课件：第7章波动

1、力学力学第七章第七章波动波动7.1 机械波的产生与传播一一波的基本概念波的基本概念波动波动振动在空间的传播振动在空间的传播机械波机械波在弹性介质中质元振动而传播的波在弹性介质中质元振动而传播的波电磁波电磁波通过电场与磁场相互作用而传播的波通过电场与磁场相互作用而传播的波波动是振动的传播过程振动是激发波动的波源n波动波动机械波机械波：机械振动在机械振动在弹性弹性介质中的传播介质中的传播电磁波电磁波：交变电磁场在空间的传播交变电磁场在空间的传播n两类波的不同之处两类波的不同之处机械波的传播需有传播振动的介质机械波的传播需有传播振动的介质; ;电磁波的传播可不需介质。电磁波的传播可不需介质。n两类波

2、的共同特征能量传播两类波的共同特征能量传播反射，折射，干涉，衍射反射，折射，干涉，衍射一一波的基本概念波的基本概念二二机械波的产生和传播机械波的产生和传播1.1. 机械波的形成机械波的形成n由连续不断的、无穷个质点构成的系统，若其各部分有相互作用由连续不断的、无穷个质点构成的系统，若其各部分有相互作用力而且可以有相互运动，称为力而且可以有相互运动，称为连续媒质连续媒质。若连续媒质之间的相互。若连续媒质之间的相互作用力是弹性力，则称为作用力是弹性力，则称为弹性媒质弹性媒质。n在弹性介质中，当某质元发生相对形变时，该质元在邻近质元的在弹性介质中，当某质元发生相对形变时，该质元在邻近质元的弹性力作用

3、下，会在平衡位置附近振动同时，该质元也给相邻质弹性力作用下，会在平衡位置附近振动同时，该质元也给相邻质元作用力，使得相邻质元在它的平衡位置附近作振动，从而它又元作用力，使得相邻质元在它的平衡位置附近作振动，从而它又给其相邻的质元弹性力，导致下一个质元产生了振动。这样依靠给其相邻的质元弹性力，导致下一个质元产生了振动。这样依靠弹性力在介质内的相互作用，振动从一处逐渐传播开去，形成了弹性力在介质内的相互作用，振动从一处逐渐传播开去，形成了机械波。机械波。二二机械波的产生和传播机械波的产生和传播2.2. 机械波形成条件机械波形成条件 波源波源：产生振动的物体（质元）产生振动的物体（质元） 波场波场：

4、传播振动状态的弹性介质传播振动状态的弹性介质3.3. 机械波的特点机械波的特点机械波机械波：机械振动在弹性介质中的传播。机械振动在弹性介质中的传播。波的传播是质点振动状态的传播过程，亦即振动位相的传播波的传播是质点振动状态的传播过程，亦即振动位相的传播过程，而所有的质点都仍在各自的平衡位置附近振动。过程，而所有的质点都仍在各自的平衡位置附近振动。波源波源介质介质+弹性作用弹性作用机械波机械波机械波传播的不是介质本身，而是振动状态机械波传播的不是介质本身，而是振动状态 ( (或位相或位相) )3.3. 波的分类波的分类I. I. 按传播方式划分按传播方式划分n横波：横波：振动方向与传播方向垂直的

5、波；如电磁波振动方向与传播方向垂直的波；如电磁波n横波传播条件横波传播条件：媒质具有切变弹性：媒质具有切变弹性n横波横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波。（仅在固质点振动方向与波的传播方向相垂直的波。（仅在固体中传播）体中传播）n特征特征：具有交替出现的波峰和波谷。具有交替出现的波峰和波谷。3.3. 波的分类波的分类n纵波纵波振动方向与传播方向平行的波，如声波。振动方向与传播方向平行的波，如声波。I. I. 按传播方式按传播方式 n纵波：纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波。（可质点振动方向与波的传播方向互相平行的波。（可在固体、液体和气体中传播）在固体、液体和气体中传播）n特征

6、：特征：具有交替出现的密部和疏部。具有交替出现的密部和疏部。3.3. 波的分类波的分类 II.II. 按空间形状按空间形状如果波在各向同性的均匀无限介质中传播，从一个点波源发如果波在各向同性的均匀无限介质中传播，从一个点波源发出的扰动，经过一定时间后，扰动将到达一个球面上，若扰出的扰动，经过一定时间后，扰动将到达一个球面上，若扰动是周期性的，介质中各处也相继发生同频率的周期性扰动。动是周期性的，介质中各处也相继发生同频率的周期性扰动。介质中振动位相相同的点的轨迹称为介质中振动位相相同的点的轨迹称为波阵面波阵面，简称，简称波面波面。最。最前面的波阵面称为前面的波阵面称为波前波前。波阵面是球面的波

7、称为波阵面是球面的波称为球面波球面波，在离波源足够远处，在观察，在离波源足够远处，在观察的不大范围内，球面可看成平面，这种波就称为的不大范围内，球面可看成平面，这种波就称为平面波平面波，自，自波源出发且沿着波的传播方向所画的线叫波源出发且沿着波的传播方向所画的线叫波线波线，在各向同性，在各向同性介质中，波线与波面互相垂直。介质中，波线与波面互相垂直。3.3. 波的分类波的分类 II.II. 按空间形状按空间形状 3.3. 波的分类波的分类 III.III.按波源振动方式按波源振动方式 n波源作周期振动形成的波称为波源作周期振动形成的波称为周期波周期波n波源作间歇振动形成的波称为波源作间歇振动形

8、成的波称为脉冲波脉冲波n波源作简谐振动形成的波称为波源作简谐振动形成的波称为简谐波简谐波4.4. 波动的特点波动的特点具有时间周期性和空间周期性具有时间周期性和空间周期性u时间周期性：时间周期性：用时间频率用时间频率，或圆（角）频率，或圆（角）频率和时间周期和时间周期 T T 描述描述 u空间周期性：空间周期性：用波数用波数 k k （空间频率）和波长（空间频率）和波长（空间周期）描述（空间周期）描述 122,T 2k 简谐波的简谐波的波长，周期与波速的关系图示波长，周期与波速的关系图示u波长波长：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为2 2的振动的振动质点之

9、间的距离，即一个完整波形的长度质点之间的距离，即一个完整波形的长度p 波长波长（也称空间周期）（也称空间周期）：沿波传播方向上，两个相邻，相沿波传播方向上，两个相邻，相位相差位相差 2 2的质点间的距离，及一个完整波形的长度。的质点间的距离，及一个完整波形的长度。p （时间）周期（时间）周期 T T ：波前进一个波长空间距离所历经的时间；：波前进一个波长空间距离所历经的时间；p （时间）频率（时间）频率 ：= 1/T= 1/T，周期的倒数。单位时间内波动，周期的倒数。单位时间内波动传播的完整波形的数目。传播的完整波形的数目。p 波速波速 u u（也称为相速度）（也称为相速度）：波动过程，某一振

10、动相位在单位：波动过程，某一振动相位在单位时间内所传播的距离。时间内所传播的距离。p 波长、时间频率（周期）与波速的关系：波长、时间频率（周期）与波速的关系：周期或频率只决定于波源的振动；波速只决定于媒质的性质！n 波长波长、时间周期（频率）与、时间周期（频率）与波速的关系波速的关系uT uu T 5.5. 惠更斯原理与波在空间中的传播惠更斯原理与波在空间中的传播惠更斯（惠更斯（Huygens, 16291695, Huygens, 16291695, 荷荷兰物理学家、天文学家、数学家）兰物理学家、天文学家、数学家）惠更斯原理：惠更斯原理：介质中波传播到的空介质中波传播到的空间各点都可以看作是

11、发射子波的波间各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这些子源，而在其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前。波的包络就是新的波前。惠更斯原理惠更斯原理对解释当波在行进过程对解释当波在行进过程中遇到小孔、障碍物或两种介质的中遇到小孔、障碍物或两种介质的交界面时，会发生衍射、反射、折交界面时，会发生衍射、反射、折射等各中情况比较成功射等各中情况比较成功n惠更斯原理惠更斯原理在波传播过程中，波前上的每一点均可看成一个子波源，在在波传播过程中，波前上的每一点均可看成一个子波源，在 t t 时刻波前上时刻波前上的这些子波源发出的子波，经的这些子波源发出的子波，经t t 时间后形成半径为时

12、间后形成半径为 utut（ u u为波速）的为波速）的球面，在波的前进方向上，这些子波的包络就成为时刻球面，在波的前进方向上，这些子波的包络就成为时刻 t +t t +t 的新波前。的新波前。5.5. 惠更斯原理与波在空间中的传播惠更斯原理与波在空间中的传播波面、波前、波线波面、波前、波线：介质介质中振动位相相同的点的轨迹称为波阵面，简称波面。最前中振动位相相同的点的轨迹称为波阵面，简称波面。最前面的波阵面称为波前。自波源出发且沿着波的传播方向所画的面的波阵面称为波前。自波源出发且沿着波的传播方向所画的线叫波线，在各向同性介质中，波线与波面互相垂直。线叫波线，在各向同性介质中，波线与波面互相垂

13、直。 波的衍射波的衍射 水波通过狭缝后的衍射水波通过狭缝后的衍射波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播。内继续传播。n波的衍射波的衍射p用惠更斯原理证明。用惠更斯原理证明。 n波的波的反射定律反射定律t t时刻时刻t+t+t t时刻时刻p用惠更斯原理证明用惠更斯原理证明n波的波的折射折射定律定律时刻时刻 t时刻时刻 t+t331A But2ABut33A ABi3BB Ar3312sinsiniA BurABu所以所以例例1 1： 在室温下，已知空气中的声速在室温下，已知空气中的声速 u1 u1

14、 为为340 m/s340 m/s，水中的声，水中的声速速 u2 u2 为为1450 m/s 1450 m/s ，求频率为，求频率为200 Hz200 Hz和和2000 Hz 2000 Hz 的声波在空气的声波在空气中和水中的波长各为多少？中和水中的波长各为多少？【解解】1111340m s1.7 m200Hzu 1220 .1 7 mu 12111450m s7.25 m200Hzu 2220.725 mu 在水中的波长在水中的波长x1.1. 波动方程及解（以波为例）波动方程及解（以波为例）7.2 简谐波考虑体积元考虑体积元 （s s为截面积）为截面积）两端坐标为两端坐标为 vsy ,y y

15、y xdxxdxdydy在在t t时刻，该质元形变：时刻，该质元形变：在在 y y 处的位移为：处的位移为：x x ；在；在 y+y+y y 处的位移为：处的位移为：x+x+x x相对形变为相对形变为t 时刻时刻t t 时刻时刻ss左端受弹性力力：左端受弹性力力： bydyfs ayfs 右端受弹性力力：右端受弹性力力：（ 是单位面积的作用力）是单位面积的作用力）0dxdyn 表示介质被伸长表示介质被伸长0dxdyn 表示介质被压缩表示介质被压缩dxdyn 是是 y 的函数，称为相对形变或正应变的函数，称为相对形变或正应变根据根据 Hooke Hooke 定律：正应力与正应变成正比定律：正应力

16、与正应变成正比ayayyfsdxdxYfYsssdydy ，Y 称作杨氏模量，单位：牛顿/米 2 ，它由介质的性质所决定。by dyby dyyfsdxdxYfYsssdydy ，小段所受合力：小段所受合力：22()ydbaydyyyyydxdxd xfffYsYsdydydydydxdxddxdydydydydy 2222222222dxfm xY sdymsdydydxdxdxY dxsdyY sdyordtdydtdy ， 由于由于 x x ， y y 均是均是 t t 的函数，上式应取偏微分的函数，上式应取偏微分2222xYx=ty 令令2Yu 22222xxuty222222222u

17、txyz这是以波速 u 向 y 方向传播的波动方程三维形式：三维形式：则有则有任何一个宗量为任何一个宗量为 的函数均为其解。的函数均为其解。yxF tun G G， Y Y 分别为弹性介质的切变模量和杨氏模量；分别为弹性介质的切变模量和杨氏模量；n 为质量密度为质量密度n 如果弹性介质中的波速只与介质的参量有关，而与所传播的如果弹性介质中的波速只与介质的参量有关，而与所传播的简谐波的频率无关。这样的波为简谐波的频率无关。这样的波为无色散波无色散波。 Yu 纵波纵波Gu 横波横波cosyxAtu 是一个解（行波解）是一个解（行波解）波速波速 u u 与介质的性质有关，与介质的性质有关， 为介质的

18、密度。为介质的密度。如声音的传播速度如声音的传播速度343 m s4000 m s空气，常温空气，常温左右，混凝土左右，混凝土Ku纵波纵波液、气体液、气体体积模量体积模量Gu Yu 横波横波固体固体切变模量切变模量杨氏模量杨氏模量【解解】气体中纵波的速度气体中纵波的速度uK dpKVdV pV 常量10p Vd VVd p dppdVV Kp up M pR T 由理想气体状态方程由理想气体状态方程uRT M 例例2 2 假如声波在空气中传播时，空气的压缩与膨胀过程进行得非假如声波在空气中传播时，空气的压缩与膨胀过程进行得非常迅速，以致来不及与周围交换热量，声波的传播可视为绝热过常迅速，以致来

19、不及与周围交换热量，声波的传播可视为绝热过程。（程。（1 1） 视空气为理想气体，试证声速视空气为理想气体，试证声速 u u 与压强与压强 p p 的关系为的关系为 ；与温度；与温度 T T 的关系为：的关系为： 。式中。式中是气体是气体的摩尔热容比，的摩尔热容比，是密度，是密度，R R 为摩尔气体常数，为摩尔气体常数，M M 是摩尔质量。是摩尔质量。pu R TuM 【解解】 （2 2）由（）由（1 1）uR T 111211.4(8.31)(273)3312.8910JmolKKum skg mol111211.4(8.31)(293)3432.8910JmolKKumskg mol（2

20、2）求）求 0 0o o C C和和 2020o o C C时，空气中的声速。（空气的时，空气中的声速。（空气的 = 1.4= 1.4， M = 2.89M = 2.891010-2-2 kgmol kgmol-1-1。2.2. 简谐波的表达式（运动学方程）简谐波的表达式（运动学方程）n简谐波表达式的不同形式简谐波表达式的不同形式cosyxAtu cosxAtky cos 2tyxAT 22costyxATTu n简谐波表达式讨论简谐波表达式讨论 当当 y y0 ， x 仅为仅为 t 的函数的函数01coscosxAtkyAt表示在表示在 y y0 0 处的振动，空间各点的时间周期相同，体现了

21、时处的振动，空间各点的时间周期相同，体现了时间周期性间周期性 与与 y0 0 处的相位差处的相位差1010kyky y 越大，相位越落后n简谐波表达式简谐波表达式讨论讨论022coscoscos2xAtkyAkyyA 表示在表示在 t t0 0 时刻，空间各点的振动状况时刻，空间各点的振动状况y y 与与 y+y+处的振动状态相同，相位相差处的振动状态相同，相位相差 22，体现了空间，体现了空间周期性，波长周期性，波长即是空间周期即是空间周期 t = t0，x仅为仅为 y的函数的函数tkyc位相对时间求导位相对时间求导0ddykdtdt 即有即有22dyudtkTT 波速 u 即为相位传播速度

22、 位相速度位相速度n简谐波表达式简谐波表达式讨论讨论n简谐波表达式简谐波表达式讨论讨论cosxAtky 三维简谐波的描述三维简谐波的描述cosEAtk r( , )it k rit k rit k riE t rAeAe eAe 三维简谐波的复数形式三维简谐波的复数形式 负向传播的波描述负向传播的波描述7.3 平面简谐波的能量1.1. 在传播介质中单位体积的能量在传播介质中单位体积的能量在介质中取小体积元在介质中取小体积元V V，其质量为，其质量为mm V V，切变摸量，切变摸量为为 G G，波速为，波速为 u u2 2= G /= G /。222211sin22kxyEmVAttu动能：势能

23、：222211sin22pxyEGVVAtyu222sinkpyEEEAtVu 机械能：n说明说明 E E 是时间是时间 t t 的函数，它不是恒量；的函数，它不是恒量； E E 、EEP P 、EEk k随时间和空间作周期性变化；随时间和空间作周期性变化；时间周期时间周期T=T/2T=T/2，空间周期空间周期=/2=/2 波动中动能和势能同相，即任意时刻势能与动能相等，波动中动能和势能同相，即任意时刻势能与动能相等，EEp p=E=Ek k；而振动中动能与势能相位差为；而振动中动能与势能相位差为 /2/2, , EEP P 、EEk k 同时达到极小，然后从上游吸收能量，逐渐增同时达到极小，

24、然后从上游吸收能量，逐渐增大，达到极大，然后又减小，往下游输出能量，并达到极小，大，达到极大，然后又减小，往下游输出能量，并达到极小，完成能量以完成能量以 u u 的速度传播，所以波动是能量传播的一种形的速度传播，所以波动是能量传播的一种形式。式。tyEX=0X=0，形，形变最小变最小.X X极大，极大，形变最大形变最大.n说明说明2.2. 能量密度能量密度n能量密度（单位体积介质中的波动能量密度（单位体积介质中的波动能量）能量）222sinkPdEdEdEyAtdVdVu 不是常量，它随时间不是常量，它随时间 t t 和空间和空间 y y 作周期性变化作周期性变化; ;n平均能量密度平均能量

25、密度2222200111sin2TTydtAtdtATTu 是恒量，它与时间是恒量，它与时间 t t 和空间和空间 y y 无关。无关。与振幅的平方成正比与振幅的平方成正比, ,与频率的平方成正比。与频率的平方成正比。n能流能流在单位时间内，波通过某一截面的能量。在单位时间内，波通过某一截面的能量。n平均能流平均能流3.3. 能流密度与波强能流密度与波强单位：瓦特单位：瓦特222sin()xws usu Atu 222sin()xws usu Atu n能流密度能流密度在单位时间内，波通过与传播方向垂直的单位截面积的能量在单位时间内，波通过与传播方向垂直的单位截面积的能量称为波的瞬时称为波的瞬

26、时能流密度能流密度2212IuAu n平均能流密度平均能流密度波印廷矢量矢量式矢量式iu 3.3. 能流密度（波的强度）能流密度（波的强度）单位：瓦特单位：瓦特/ /米米 2 22222221221421421r ru uA Ar ru uA A 1. 12 2A rA rAcosArtrurAArn声波：声波：频率在频率在 20Hz 220Hz 210104 4 HzHz 之间的弹性波能使人产生声音之间的弹性波能使人产生声音的感觉，称为的感觉，称为声波声波4.4. 声波的强度声波的强度 ( (Hz)Hz)10001000o o20202000020000I I (W / m (W / m2

27、2) ) I I上上=1=1I I下下=10=10-12-12n声波的传播声波的传播RTu n 正常人听声范围正常人听声范围20 20 20000 Hz 20000 HzI I下下 I I Z Z2 2， 1 R 01 R 0， A Ar r = R A= R Aininp在界面处，反射波相对入射波的相位差在界面处，反射波相对入射波的相位差0000000()0(2riritkytkyky 波从波密介质向波疏介质传播，在界面处，反射波与入射波的相位相同。（3 3）Z Z1 1 Z Z2 2 ， R 0R ZZ2 2 ， R 1R 1（ 4 4 ）全反射，驻波的形成）全反射，驻波的形成5.5. 全

28、波反射和半波反射全波反射和半波反射cosixAtky 0cos2rxAtkyky u反射波反射波u入射波入射波u合成波：合成波：002coscosirxxxAk yytky 在界面在界面 y y y y0 0 处：处： 其振幅其振幅A= 2A A= 2A 。振幅达到最大，该位置为。振幅达到最大，该位置为波腹。波腹。（ 4 4 ）全反射，驻波的形成）全反射，驻波的形成u合成波：合成波：002coscosirxxxAyytky 002coscosxAtkyAtky在其它在其它 y yy y0 0 处：处：02cos2AAk yyA（4 4） 全波反射和半波反射全波反射和半波反射cosixAtky

29、0cos2rxAtkyky u反射波反射波u入射波入射波u合成波：合成波：002sincosirxxxAk yytky Z Z1 1 Z 0 01 12 23 34 41.1. 波源静止，观察者相对于介质波源静止，观察者相对于介质运动运动V Vo o00V Vs s0 0u u观察者向波源运动使接收频率增加此时，此时，v vo o 0 0，v vs s 0 0则则2.2. 观察者静止，波源相对于介质运动观察者静止，波源相对于介质运动ssuuuuv Tuv 符号约定：波源向着观察者运动，取“”号波源背向观察者运动，取“”号n设观察者静止于设观察者静止于 O O 点，若波源点，若波源 S S 不动，则单位时间内波源不动，则单位时间内波源发出发出个波，分布在个波，分布在O Ou u之内；之内；n当波源运动，经单位时间后波源到达当波源运动，经单位时间后波源到达ss点，则点，则个波分布在个波分布在OSOSu uv vs s 之间，这相当于波长缩短为之间，这相当于波长缩短为 v vs sT T2.2. 观察者静止，波源相对于介质运动观察者静止，波源相对于介质运动V Vo o=0=0V Vs s 0 0s su u波源向