高等数学：8-1 多元函数的基本概念

1、1第八章第八章 多元函数微分法及其多元函数微分法及其应用应用DxyzOM xyP),(yxfz 2第一节第一节 多元函数多元函数的基本概念的基本概念预备知识预备知识多元函数的概念多元函数的概念多元函数的极限多元函数的极限多元函数的连续性多元函数的连续性小结小结 思考题思考题 作业作业 function of many variables第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用3一、预备知识一、预备知识1. 平面点集平面点集 n 维空间维空间一元函数一元函数1R平面点集平面点集2R n 维空间维空间nR实数组实数组(x, y)的全体的全体,即即,),( 2RyxyxRRR 建立

2、了坐标系的平面称为坐标面建立了坐标系的平面称为坐标面.坐标面坐标面坐标平面上具有某种性质坐标平面上具有某种性质P的点的集合的点的集合,称为称为平面点集平面点集, 记作记作.),(),( PyxyxE具有性质具有性质 (1) 平面点集平面点集 二元有序二元有序多元函数的基本概念多元函数的基本概念 4邻域邻域 (Neighborhood) 设设P0(x0, y0)是是 xOy 平面上的一个点平面上的一个点,几何表示：几何表示：Oxy. P0)()(),( ),(20200 yyxxyxPU,0邻域邻域的的点点 P多元函数的基本概念多元函数的基本概念 令令, 0 ).(0PU有时简记为有时简记为2R

3、称之为称之为 将邻域去掉中心将邻域去掉中心, 也可将以也可将以P0为中心的为中心的某个矩形内某个矩形内(不算周界不算周界)注注称之为称之为的全体点称之为点的全体点称之为点P0邻域邻域.去心邻域去心邻域.),(0 PU 5 (1) 内点内点显然显然, E的内点属于的内点属于E.,EP 点点,)(EPU 使使多元函数的基本概念多元函数的基本概念 E (2) 外点外点 如果存在点如果存在点P的某个邻域的某个邻域),(PU则称则称P为为E的的外点外点.(3) 边界点边界点 如点如点P的的任一任一邻域内既有属于邻域内既有属于E的点的点,也有不属于也有不属于E的点的点,称称P为为E的的边界点边界点.任意一

4、点任意一点2RP 2RE 与任意一点集与任意一点集之间之间必有以下三种关系中的一种必有以下三种关系中的一种:设设E为一平面点集为一平面点集, 0 若存在若存在称称P为为E的的内点内点.1P )(1P)(2P2P 3P )(3PE的边界点的全体称为的边界点的全体称为E的的边界边界,记作记作.E 使使U(P) E = ,6聚点聚点多元函数的基本概念多元函数的基本概念 如果对于任意给定的如果对于任意给定的, 0 点点P的去心邻域的去心邻域),( PU内总有内总有E中的点中的点则称则称P是是E的的聚点聚点.例如例如, 设点集设点集(P本身可属于本身可属于E,也可不也可不属于属于E ),21),( 22

5、 yxyxE,),(200RyxP 点点, 212020 yx若若则则P为为E的的内点内点;12020 yx若若, 22020 yx或或则则P为为E的的边界点边界点,也是也是E的聚的聚点点.E的边界的边界E 为集合为集合.2),( 1),( 2222 yxyxyxyx7平面区域平面区域(重要重要)设设D是是开集开集. 连通的开集称连通的开集称多元函数的基本概念多元函数的基本概念 连通的连通的.如对如对D内任何两点内任何两点,都可用折线连都可用折线连且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于D,称开集称开集D是是 开区域开区域.如如都是区域都是区域.,41),( 22 yxyx0),( yxyx

6、开集开集 若若E的任意一点的任意一点都是内点都是内点,例例41),( 221 yxyxE称称E为为开集开集.E1为为开集开集.0 yx0 yxOxy结起来结起来, 8 开区域连同其边界开区域连同其边界,称为称为开区域、闭区域与半开半闭区域统称为区域。开区域、闭区域与半开半闭区域统称为区域。但注意：当教材规定了区域为开区域时，但注意：当教材规定了区域为开区域时， 一般的区域要称一般区域。一般的区域要称一般区域。否则称为否则称为多元函数的基本概念多元函数的基本概念 都是闭区域都是闭区域 .,41),( 22 yxyx0),( yxyx如如总可以被包围在一个以原点为中心、总可以被包围在一个以原点为中

7、心、适当大的圆内的区域适当大的圆内的区域,称此区域为称此区域为半径半径 (可伸展到无限远处的区域可伸展到无限远处的区域 ).闭区域闭区域.有界区域有界区域.无界区域无界区域有界区域有界区域9OxyOxyOxy Oxy有界开区域有界开区域有界半开半闭区域有界半开半闭区域有界闭区域有界闭区域无界闭区域无界闭区域多元函数的基本概念多元函数的基本概念 10n 元有序数组元有序数组),(21nxxx),(21nxxx的全体的全体;nR n 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为空间中称为空间中 kx数数称为该点的第称为该点的第k个个坐标坐标. .n维空间中两点维空间中两点),(21nxxxP的的距

8、离距离定义为定义为2222211)()()(nnyxyxyxPQ n 维空间中点维空间中点0P记作记作及及),(21nyyyQ.,),(00nRPPPPPU 的的 邻域邻域为为(2) n 维空间维空间多元函数的基本概念多元函数的基本概念 n 维空间维空间.称为称为即即., 2 , 1,),( 21 iRxxxxin的一个的一个点点, , RRRRn11二、多元函数的概念二、多元函数的概念1. 二元函数的定义二元函数的定义例例 理想气体的状态方程是理想气体的状态方程是 VTRp 称称 p为两个变量为两个变量T,V 的函数的函数,其中其中(1) 定义定义 如温度如温度T、体积、体积V都在变化都在变

9、化, 则压强则压强 p依赖依赖多元函数的基本概念多元函数的基本概念 (R为常数为常数)RTpV 其中其中p为压强为压强, V为体积为体积, T为绝对温度为绝对温度.于于T,V 的关系是的关系是,0 T.0 V12按着这个关系有确定的按着这个关系有确定的点集点集D称为该函数称为该函数),(yxfz ) )(Pfz 或或称为该函数的称为该函数的 Dyxyxfzz ),(),(则称则称z是是x, y的的定义定义1 1若变量若变量z与与D中的变量中的变量x, y之间有一个依赖关系之间有一个依赖关系,设设D是是xOy平面上的点集平面上的点集,使得在使得在D内内每取定一个点每取定一个点P(x, y)时时,

10、z值与之对应值与之对应,多元函数的基本概念多元函数的基本概念 记为记为称称x, y为为的的数集数集二元二元( (点点) )函数函数. .称称z为为自变量自变量, ,因变量因变量, ,定义域定义域, ,值域值域. .13二元及二元以上的函二元及二元以上的函数统称为数统称为(2) 多元函数定义域多元函数定义域定义域为定义域为符合实际意义符合实际意义的的自变量取值的全体自变量取值的全体.记为记为 函数函数 在点在点 处的函数值处的函数值),(yxfz ),(00yxP),(00yxf多元函数的基本概念多元函数的基本概念 ).(0Pf或或类似类似, 可定义可定义n元函数元函数.多元函数多元函数. .实

11、际问题中的函数实际问题中的函数:自变量取值的全体自变量取值的全体.纯数学问题的函数纯数学问题的函数: 定义域为使定义域为使运算有意义运算有意义的的14例例 求下面函数的定义域求下面函数的定义域解解Oxy无界闭区域无界闭区域xyz . 1和和 00yx 00yx多元函数的基本概念多元函数的基本概念 即定义域为即定义域为, 0 xy15 1解解Oxy12. 22222 yxyxxz1)1(22 yx定义域是定义域是122 yx且且有界半开半闭区域有界半开半闭区域多元函数的基本概念多元函数的基本概念 16 用联立不等式表示下列平面闭区域用联立不等式表示下列平面闭区域 D .圆弧圆弧直线直线:有有下下

12、列列三三种种表表示示法法域域D解解01 x10 x多元函数的基本概念多元函数的基本概念 xOy11 1 )2(01 y112 yxy )3(012 yx及及 01 yxD(1)221xy0y 1xy172. 二元函数的几何意义二元函数的几何意义 研究单值函数研究单值函数二元函数的图形通常是一张二元函数的图形通常是一张多元函数的基本概念多元函数的基本概念 曲面曲面.),(yxfz DxyzOM xyP18222yxRz 的图形是双曲抛物面的图形是双曲抛物面.多元函数的基本概念多元函数的基本概念 如如, , 由空间解析几何知由空间解析几何知, 函数函数的图形是以原点为中心的图形是以原点为中心, R

13、为半径的上半球面为半径的上半球面.又如又如, ,xyz 最后指出最后指出,从一元函数到二元函数从一元函数到二元函数,在内容在内容和方法上都会出现一些实质性的差别和方法上都会出现一些实质性的差别, 而多元而多元函数之间差异不大函数之间差异不大.因此研究多元函数时因此研究多元函数时, 将以将以二元函数为主二元函数为主.19三、多元函数的极限三、多元函数的极限 讨论二元函数讨论二元函数 怎样描述呢怎样描述呢? Oxy (1) P(x, y)趋向于趋向于P0(x0, y0)的的),(yxfz .),(),(000时的极限时的极限即即yxPyxP回忆回忆: 一元函数的极限一元函数的极限 路径又是多种多样

14、的路径又是多种多样的.注注,00yyxx当当多元函数的基本概念多元函数的基本概念 方向有任意多个方向有任意多个, ),(00yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx),(yx ),(00yx),(yx),(yx),(yxOxy20(2) 变点变点P(x,y) 这样这样,可以在一元函数的基础上得出可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义二元函数极限的一般定义. 2020)()(yyxx ),(),(000yxPyxP 0 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 0PP总可以用总可以用来表示极限过程来表示极限过程:与定点与定点P0(x0,y0)之间的距离记为之间的距离记为不论不

15、论的过程多复杂的过程多复杂,),(),(00yxPyxP趋向于趋向于21, 0 ,)()(02020 yyxx当当, 0 ),(yxfzA 为为则则称称Ayxfyxyx ),(lim),(),(00记作记作)0(),( Ayxf或或多元函数的基本概念多元函数的基本概念 )( 定义定义2 2在在D内有内有成立成立.的极限的极限.时时当当),(),(00yxyx 设二元函数设二元函数 P0(x0, y0)是是D的聚点的聚点. 的定义的定义 ),()(yxfPf 义域为义域为D, 如果存在常数如果存在常数 A, AyxfAPf),()(APfPP )(lim0也记作也记作).()(0PPAPf或或2

16、2 说明说明(1) 定义中定义中0PP (2) 二元函数的极限也叫二元函数的极限也叫),(lim00yxfyyxx多元函数的基本概念多元函数的基本概念 (double limit)的方式是任意的；的方式是任意的；二重极限二重极限.23则当则当 22)0()0(0yx, 0 01sin)(lim),(lim22220000 yxyxyxfyxyx试证试证例例证证 01sin)(2222yxyx22yx 22)0()0( yx2 取取 01sin)(2222yxyx有有证毕证毕.多元函数的基本概念多元函数的基本概念 )0(22 yx22221sinyxyx 24 相同点相同点 多元函数的极限与一元

17、函数的极限的多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数一元函数在某点的极限存在的充要在某点的极限存在的充要定义相同定义相同.差异为差异为必需是点必需是点P在定义域内以在定义域内以任何方式和途径任何方式和途径趋趋而而多元函数多元函数于于P0时时,多元函数的基本概念多元函数的基本概念 相同点相同点和和差异差异是什么是什么条件是条件是左右极限都左右极限都存在且相等存在且相等;都有极限都有极限,且相等且相等.)(Pf25确定极限确定极限 关于二元函数的极限概念可相应地推广关于二元函数的极限概念可相应地推广到到n元函数上去元函数上去.多元函数的基本概念多元函数的基本概念 不存在不存在的方法的方法则可断言极

18、限不存在则可断言极限不存在;),(yxP令令若极限值与若极限值与 k 有关有关,(1)(2)此时也可断言此时也可断言找两种不同趋近方式找两种不同趋近方式,但两者不相等但两者不相等,),(lim00yxfyyxx使使处极限不存在处极限不存在.存在存在,在点在点),(yxf),(000yxP00()yyk xx),(000yxP趋向于趋向于沿直线沿直线26设函数设函数证明证明: :当当P(x, y)沿沿x轴轴的方向的方向当当P(x, y)沿沿y轴轴的方向的方向)0 ,(lim0 xfx), 0(lim0yfy也有也有 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf证证22000lim xxx

19、00lim0 x22000limyyy 00lim0 y多元函数的基本概念多元函数的基本概念 函数的极限不存在函数的极限不存在.,0, 0时时当当yx无限接近点无限接近点(0,0)时时,同样同样,无限接近点无限接近点(0,0)时时,例例27函数的极限存在且相等函数的极限存在且相等.当当P(x, y) 沿直线沿直线 y = kx 的方向的方向2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化的不同而变化. 所以所以,极限不存在极限不存在多元函数的基本概念多元函数的基本概念 说明函数取上面两个说明函数取上面两个无限接近无限接近于点于点(0,0)时时

20、,另一方面另一方面,无限接近点无限接近点(0,0)时时,设函数设函数证明证明: 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf函数的极限不存在函数的极限不存在.,0, 0时时当当yx特殊方向特殊方向28极限极限 是否存在？是否存在？24200limyxyxyx 取取,kxy 解解242yxyx ),(lim0yxfkxyx当当P(x,y)沿沿x轴的方向无限接近点轴的方向无限接近点(0,0)时时, 当当P(x,y)沿沿y轴的方向无限接近点轴的方向无限接近点(0,0)时时,)0 ,(lim0 xfx0 222243kxkxxkxkx ), 0(lim0yfy0 多元函数的基本概念多元函数的基

21、本概念 0lim220 kxkxkxyx29多元函数的基本概念多元函数的基本概念 极限不存在极限不存在.取取,2xy 242yxyx 444xxx极限极限 是否存在？是否存在？24200limyxyxyx 2130四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性 设二元函数设二元函数 则称函数则称函数定义定义3 3),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 P0(x0, y0)为为D的定义区域的内点或边界点的定义区域的内点或边界点, P0D.如果如果连续连续.),(),(000yxPyxf在点在点如果函数如果函数 f (x, y) 在开区域在开区域

22、(闭区域闭区域)D内的内的每一点连续每一点连续, 则称函数则称函数在在D内连续内连续,),(yxf或称函数或称函数),(yxf是是 D内的连续函数内的连续函数. 的定义域为的定义域为D, ),()(yxfPf 31的的不连续点不连续点,多元函数的基本概念多元函数的基本概念 若若函数函数 在在点点 P0(x0, y0)不连续不连续,称称P0为函数为函数 间断点间断点.若在若在D内某些孤立点内某些孤立点,没有定义没有定义,或沿或沿D内某些曲线内某些曲线,但在但在D内其余部分内其余部分,),(yxf都有定义都有定义, 则在这些孤立点或这些曲线则在这些孤立点或这些曲线上上,即间断点即间断点.函数函数)

23、,(yxf都是函数都是函数),(yxf),(yxf则则的的),(yxf32在单位圆在单位圆122 yx处处是处处是间断点间断点.2211sin),(yxyxf 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 函数函数 (0,0)点是该函数的点是该函数的间断点间断点. 函数函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf),0, 0(前前面面已已证证函函数数的的极极限限不不存存在在时时yx 不同在哪不同在哪?想一想想一想 二元函数的间断性与一元函数的间断性二元函数的间断性与一元函数的间断性33称为多元初等函数称为多元初等函数,多元函数的基本概念多元函数的基本概念 积、商（分母不为零）及复合仍是连

24、续的积、商（分母不为零）及复合仍是连续的.同一元函数一样同一元函数一样, 多元函数的和、差、多元函数的和、差、每个自变量的基本初等函数经有限次四则每个自变量的基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合运算和有限次复合,由一个式子表达的函数由一个式子表达的函数处均连续处均连续.在它们的定义域的内点在它们的定义域的内点34有界闭区域有界闭区域上上连续连续的多元函数的性质的多元函数的性质至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次介于这两值之间的任何值至少一次介于这两值之间的任何值至少一次(1) 最大值和最小值定理最大值和最小值定理(2) 介值定理介值定理多元函数的基本概念多元函数

25、的基本概念 在在有界闭区域有界闭区域D上的上的多元连续函数多元连续函数, ,在在D上上在在有界闭区域有界闭区域D上的上的多元连续函数多元连续函数, ,如果如果在在D上取得两个不同的函数值上取得两个不同的函数值, , 则它在则它在D上取得上取得35多元函数的极限的基本问题有三类多元函数的极限的基本问题有三类(1) 研究二元函数极限的存在性研究二元函数极限的存在性.常研究常研究若其依赖于若其依赖于k, 则则欲证明极限存在欲证明极限存在,*特别对于特别对于*),(lim00yxfyx),(lim00yxfyx不存在不存在.多元函数的基本概念多元函数的基本概念 常用定义或夹逼定理常用定义或夹逼定理.欲

26、证明极限不存在欲证明极限不存在(通过观察、猜测通过观察、猜测),常选择两条不同路径常选择两条不同路径, 求出不同的极限值求出不同的极限值.(2) 求极限值求极限值. 常按一元函数极限的求法求之常按一元函数极限的求法求之.(3) 研究二重极限与累次极限研究二重极限与累次极限(二次极限二次极限)间的关系间的关系.(罗必达法则除外罗必达法则除外),(limyxf0 x0 kxy36例例 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解 22200)sin(limyxyxyx其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx , 00 x. 0)sin(

27、lim22200 yxyxyxyxu2 2|22xxyyx 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 yxyxyx2200)sin(lim,222yxyx 思考：如何改进？思考：如何改进？37多元函数的基本概念多元函数的基本概念 例例 求极限求极限 .42lim00 xyxyyx解解 将将分母有理化分母有理化, ,得得 42lim00 xyxyyxxyxyxyyx )42(lim00)42(lim00 xyyx4 38提示提示2222),(yxyxyxf ),(lim00yxfyyxx解解22220limyxyxy 0limx122 xx多元函数的基本概念多元函数的基本概念 是否把极限是否把极限理

28、解为理解为:先求先求0 xx 的极的极限限,再求再求0yy 的极的极限限;或者或者先求先求0yy 的极的极限限, 再求再求0 xx 的极的极限限研究研究二次极限二次极限对任意的对任意的)1(有有1 有有 22220limyxyxy, 0 x39 (2) 同理同理: (3)再来分析当点再来分析当点(x, y)沿过原点的直线沿过原点的直线 因此因此 1limlim222200 yxyxxy222200limyxyxyx 2222220limxkxxkxkxy 2211kk ),(lim00yxfyx不存在不存在.多元函数的基本概念多元函数的基本概念 对任意的对任意的有有2222),(yxyxyxf

29、 趋向于趋向于kxy , 0 y有有)0 , 0(时时,40可证明当可证明当 f( x, y)在在P0(x0, y0)的一个邻域上的一个邻域上),(lim00yxfyyxx ),(limlim00yxfyyxx;),(limlim00 yxfxxyy与与 ),(limlim00yxfyyxx第二第二,一般也是不相同的一般也是不相同的; ),(limlim00yxfxxyy第三第三,由此看出由此看出: 第一第一,不能理解为不能理解为多元函数的基本概念多元函数的基本概念 连续时连续时,上述三个极限均相等上述三个极限均相等.或或41求求答答: 0答答:不存在不存在.答答:不存在不存在. 二次极限都不存在时二次极限都不存在时,但二重极限也可能但二重极限也可能 0001sin1sin),(xyxyxyyxyxf),(lim00yxfyx),(lim(lim00yxfyx),(lim(lim00yxfxy注注多元函数的基本概念多元函数的基本概念 存在存在.二次极限与二重极限有本质的区别二次极限与二重极限有本质的区别.| ),(|yxyxf 42想一想想一