高等数学：第九章重 积 分习题课

1、1典型例题习习 题题 课课教学要求第九章 重 积 分2 1. 理解二重积分、三重积分的概念理解二重积分、三重积分的概念,一、教学要求一、教学要求2. 掌握二重积分的计算法掌握二重积分的计算法(直角坐标、极直角坐标、极 3. 会用重积分求一些几何量与物理量会用重积分求一些几何量与物理量.了解了解重积分的性质重积分的性质.了解三重积分的计算法（了解三重积分的计算法（直角坐标、直角坐标、坐标坐标)，柱面坐标、球面坐标柱面坐标、球面坐标).第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课32xy 解解 先去掉绝对值符号先去掉绝对值符号,如图如图 d)(12 Dxy 12112d)(dxyxyx512 二、典型

2、例题二、典型例题 例例 d2 Dxy 21211d)(dxyyxx d)(22 Dyx先对先对y积分简单积分简单DD1D2xyO11 11 北方交大考试题（北方交大考试题（95级）级）第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课2d .: 11,11.DyxDxy 计算其中或试试或试试112222()d()dDDDyxxy4 练习练习yxyxDdd)cos( 计算计算 20 ,20),( yxyxD其中其中oxy2 2 D2D1解解yxyxDdd)cos( 1dd)cos(Dyxyx xyyxx2020d)cos(d 2220d)cos(d xyyxx2 2dd)cos(Dyxyx2 yx 北方交

3、大考试题（北方交大考试题（94级）级）第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课5)cos1( a解解是由心脏线是由心脏线其中其中计算计算DyxD.d22 d22 Dyx 2233d1)cos1(31 a)2922(3 a例例 )cos1(22ddaaa 取圆外部取圆外部所围的面积所围的面积和圆和圆)()cos1(aa yOaa2第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课6 banxanbayyfybnyyfyxxd)()(11d)()(d12 证证 xanbayyfyxxd)()(d211( )() d1bnbyaf yxyyn banyyfybnd)()(111例例Dxyoxy baab xy

4、fyxynd)()(d2证明证明abyb证毕证毕.第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课7xyzO解解先算前面部分的面积先算前面部分的面积A1由由 zzy222 22zzy ,212zzzyz , 0 xy222211zzyyzx 求交线求交线 求柱面求柱面zzy222 222xzy 222222xzyzzy所截下部分的面积所截下部分的面积.被被锥面锥面 外面部分外面部分 北方交大考试题（北方交大考试题（96级）级）第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课2xz 8xzzzzd21222 20dz8 1621 AAzx22 20 z222211zzyyzx zxzzzxyyAxzxzDDzx

5、dd21dd12221 xzO2第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课91 11 11 11 1 设函数设函数f (u)连续连续,证明证明 111d)(dd)(uufyxyxfyx证证法一法一oxy 1dd)(yxyxyxf xxyyxfx1101d)(d xxyyxfx1110d)(d令令 xuufx21101d)(d 11210d)(dxuufx 112121d)(duuxufu 11d)(uufuydd 12 xuxu21 xou例例 北方交大考试题期中北方交大考试题期中(97级级)第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课xyu101 1 11法二法二 变换变换,2vux ),(),(

6、vuyxJvyuyvxux2121212121 1dd)(yxyxyxf Dvuufdd21)( 1111dd)(21vuuf 11d)(uufvou,uyx vyx 2vuy 第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课 111d)(dd)(uufyxyxfyx11,dd)(122 Dyxyxyfx计算计算 例例,1, 1,3所所围围成成的的区区域域 xyxy解解 由于被积函数含有抽象函数由于被积函数含有抽象函数,因此要采用因此要采用法一法一11 Dyxyxyfxdd)(1 22 Dyxyxxyfdd)(22 Dyxxdd3311112211ddd()dxxx xyx xyf xyy故无法直接积

7、出故无法直接积出.一些技巧一些技巧.是由是由其中其中D.是是连连续续函函数数f3xy 1 xyO第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课12xxxd )1(113 11122d)(213xyxFxx uttfuF0d)()(记记1226121 (1)()d52xF xF xxx 052 52 11622d)()1(21xxxxFxxF52 奇函数奇函数奇函数奇函数3311112222111dd()d()2xxx yxx xf xyxy3311112211ddd()dxxx xyx xyf xyy第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课13法二法二 Dyxyxyfxdd)(1 223xy （画第

8、二象限部分）（画第二象限部分）.,21两两部部分分为为分分区区域域DDD（如图）（如图）则有则有 1dd)(1 22Dyxyxyfx 2dd)(122Dyxyxyfx 1dd)(22Dyxyxxyf 1ddDyxx 2ddDyxx 2dd)(22Dyxyxxyf对称性对称性0 0 0 作曲线作曲线 3001dd2xyxx52 3xy 11 作业作业2D1DxyO第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课14 上海交大考试题（上海交大考试题（88级）级）解解 如图如图, Dyxyxfdd),( 2dd)(Dyxyx yyxyxy210d)(d Dyxyxf,dd),(求求 其它，其它，设设, 02

9、,),(22xyxyxyxf 例例10 , 10),( yxyxD其中其中321DDDD )2821(51 1122xy 2xy 1D2D3DxyO第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课1511 上海交大考试题（上海交大考试题（95级）级）,1 , 0)(上上的的正正值值连连续续函函数数为为设设x )(21dd)()()()(bayxyxybxaD 证明：证明：为为常常数数，其其中中ba,证证yxyxybxaIDdd)()()()( 设设的的对对称称性性得得由由区区域域关关于于直直线线xy yxxyxbyaIDdd)()()()( 所以所以, DyxbaIdd)(2)(21baI 例例xy

10、ba xyO第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课( ,) 0,1.Dx yx y16,d| | vez计计算算 解解的函数，的函数，被积函数仅为被积函数仅为 z vezd| | 102d)1(2zezz 2 例例. 1:222 zyx ,1222zyx 故采用故采用“先二后一先二后一”法法. 1d2 vez )(ddzDyx为圆域为圆域截面截面)(zD2 10dzez若若域域关于关于xOy坐标坐标面对称面对称,d),(2d),(1 vzyxfvzyxf其中其中1为为在在xOy坐标面的上半部区域坐标面的上半部区域.的的偶偶函函数数为为zf则则xyzO111第九章第九章 重积分重积分 习题课习

11、题课17轴旋转一周而成轴旋转一周而成绕绕是由曲线是由曲线设设zzyx 202 围围成成的的空空间间区区域域，的的曲曲面面与与平平面面4 z.d)(22vzyx 求求解解 zyx202由曲线由曲线zyx222 柱面坐标柱面坐标,cos x,sin y, zz zvdddd 1991研究生试题研究生试题,计算计算,5分分例例旋转曲面方程为旋转曲面方程为轴旋转一周而成的轴旋转一周而成的绕绕z第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课18vzyxd)(22 22 480 202428320041dd2zz 3256 4222zzyx由由8:22 yxDzyx222 旋转曲面方程旋转曲面方程第九章第九章

12、重积分重积分 习题课习题课2dd()dzz 19轴旋转一周而成轴旋转一周而成绕绕是由曲线是由曲线设设zxzy 022 .d)(22vyx 求求解解轴旋转一周而成的轴旋转一周而成的绕绕由曲线由曲线zxzy 022旋旋转转曲曲面面方方程程为为：zyx222 1997,研究生试题研究生试题,计算计算(5分分) 8xyzO例例第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课8z 的曲面与平面围成的空间区域，20 8020420d)4(dzz 法一法一 vyxd)(22 yxyxdd)(22 zyx222 先二后一先二后一 80dz dd20220 z 80dz 8xyzO第九章第九章 重积分重积分 习题课习题

13、课282001024(d ) (d )3zz21法二法二vyxd)(22 轴旋转一周而成轴旋转一周而成绕绕是由曲线是由曲线设设zxzy 022 围围成成的的空空间间区区域域，的的曲曲面面与与平平面面8 z旋旋转转曲曲面面方方程程为为：zyx222 zddd82240202 31024 如如此此题题改改为为：.8, 2所所围围区区域域这这个个旋旋转转曲曲面面与与平平面面 zz 8xyzO第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课22 上海交大考试题（上海交大考试题（94级）级）,ddd)(1lim, 0)0(0)(22240zyxzyxftfxxft 求极限求极限处可导，且处可导，且在在设设.:2

14、222tzyx 其中其中解解zyxzyxfddd)(222 球球rrfrd)(dsind2 rrfrtd)(402 0t 00 2xyzOttt例例第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课23zyxzyxfttddd)(1lim22240 4020d)(4limtrrfrtt 3204)(4limttftt tftft)0()(lim0 )0(f 00第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课24111 1 ,2 , 12222yxzyxz 且由且由求密度为求密度为解解 由对称性由对称性0 y zyxMddd zyxddd422yx 222yx 0 x 11031 , 0 xD1 yx 北方交大

15、期中考试题（北方交大期中考试题（98级）级）1, 1, 1, 1 yxyxyxyx所围立体的质心坐标所围立体的质心坐标.,平平面面对对称称、关关于于积积分分区区域域xOzyOz .的偶函数的偶函数、被积函数同为被积函数同为yxMzyxzz ddd31ddd4101022222 xyxyxzzyx207 ).207, 0 , 0(所以所以,质心坐标为质心坐标为yxO例例第九章第九章 重积分重积分 习题课习题课25，计计算算 vzxd)( 解解面为对称，面为对称，关于关于 yOz vzvzxdd)( 1024020dsincosddrrr 8 例例221yxz 与与由由其其中中22yxz ,),(的奇函数的奇函数为为 xxzyxf 所围成的所围成的. .球球xyzO第九