反常积分的审敛法

1、第五节第五节 反常积分的审敛法反常积分的审敛法 函数函数 一、无穷限反常积分的审敛法一、无穷限反常积分的审敛法收敛收敛上有上界，则反常积分上有上界，则反常积分在在若函数若函数且且上连续，上连续，在区间在区间定理设函数定理设函数 axadxxfadttfxFxfaxf)(),)()(0)(),)( 不通过被积函数的原函数判定反常积分不通过被积函数的原函数判定反常积分收敛性的判定方法收敛性的判定方法.证证), 0)( axxf0)()()( xfdttfdxdxFxa即即.),)(上上是是单单调调增增加加的的在在 axF上有上界上有上界在在),)(axF存存在在)(limxFx 存在存在即即 xa

2、xdttf)(lim收敛收敛 )( adxxf（极限的存在准则）（极限的存在准则）), ax.)()(),(),()()()(),(),()(,), )()() (2也发散也发散发散，则发散，则并且并且也收敛；如果也收敛；如果则则收敛，收敛，并且并且如果如果上连续、非负上连续、非负在区间在区间、设函数设函数比较审敛原理比较审敛原理定理定理 aaaadxxfdxxgxaxgxfdxxfdxxgxaxgxfaxgxf证证 tatadxxgdxxf )()(上上有有上上界界在在),)()( adxxftFtaat 取取),),()(0 axxgxf收敛，收敛，又又 adxxg )(.)( adxxg

3、收收敛敛 adxxf)(.)(,)(),()(0必定发散必定发散则则发散发散且且如果如果 aadxxfdxxgxfxg也也收收敛敛，这这与与已已知知矛矛盾盾收收敛敛，则则由由第第一一部部分分知知假假设设 aadxxgdxxf)()(发散发散 adxxf)(定理定理1)下证：下证：特别地，取特别地，取pxxg1)( ，即得下面的，即得下面的比较审敛法比较审敛法.发散发散，则，则，使得，使得如果存在常数如果存在常数收敛；收敛；则则，使得，使得及及如果存在常数如果存在常数上连续，且上连续，且在区间在区间设函数设函数比较审敛法比较审敛法定理定理 aapdxxfxaxNxfNdxxfxaxMxfpMxf

4、aaxf)( )()(0)( ),( ,)(10. 0)()0(), )()(3例例.1134的收敛性的收敛性判别反常积分判别反常积分 xdx解解, ), 1 时时当当 x, 134 p（比较审敛法）（比较审敛法）.1134收收敛敛反反常常积积分分 xdx ,113/434xx 34110 x发散发散则则或或如果如果收敛；收敛；则则存在，存在，使得，使得如果存在常数如果存在常数上连续，且上连续，且在区间在区间设函数设函数极限审敛法极限审敛法定理定理 axxapxdxxfxxfdxxfdxxfxfxpxfaaxf)(),)(lim(0)(lim)()(lim1. 0)()0(),)()(4例例.

5、112的的收收敛敛性性判判别别反反常常积积分分 xxdx解解, 111lim22 xxxx所给反常积分收敛所给反常积分收敛证明证明12 p（极限审敛法（极限审敛法1）证明证明(1)存存在在)(limxfxpx cxfxpx )(lim,可设可设1|)(| , 01 cxfxXxXp就就有有时时，使使得得当当，按按定定义义，对对1|)(| cxfxppxcxf1)( 即即取取,max1XaX 就就有有时时则则当当,1Xx 0)( xf且且1)( cxfxp即即0)( xf且且0)( xf且且1 p 1 )(Xdxxf收敛收敛（比较审敛法（比较审敛法1） 11)()()(XXaadxxfdxxfd

6、xxf收收敛敛 adxxf)() (1时时当当Xx 0)( 1)( xfxcxfp且且（2）（略）（略）例例.1122/3的的收收敛敛性性判判别别反反常常积积分分dxxx 解解2222/31lim1limxxxxxxxx , 所给反常积分发散所给反常积分发散例例.arctan1的收敛性的收敛性判别反常积分判别反常积分dxxx 解解xxxxxxarctanlimarctanlim 2 所给反常积分发散所给反常积分发散（极限审敛法）（极限审敛法）（极限审敛法）（极限审敛法）0 也收敛也收敛则则收敛收敛如果如果上连续，上连续，在区间在区间设函数设函数定理定理 aadxxfdxxfaxf)(,)(),

7、)(5证证 )()( 21)(xfxfx 令令, )()(0)(xfxx ，且且,)( 收敛收敛又又dxxfa .)(也也收收敛敛dxxa , )()(2)(xfxxf ,)()(2)( tatatadxxfdxxdxxf .)()(2)( aaadxxfdxxdxxf 得得令令, t adxxf收收敛敛)(at 取取. )(,| )(| 为为绝绝对对收收敛敛称称则则收收敛敛若若 aadxxfdxxf必定收敛必定收敛则则绝对收敛绝对收敛若若 aadxxfdxxf)(,)(例例5.)0,(sin0的的收收敛敛性性都都是是常常数数判判别别反反常常积积分分 abadxbxeax解解.,sin0收敛收

8、敛而而 dxeebxeaxaxax.sin0收收敛敛 dxbxeax由定理由定理5得得: 1)1(01 00aaeadxeaxax 定义定义（比较审敛法（比较审敛法1）. sin0 收收敛敛 bxdxeax二、无界函数的反常积分的审敛法二、无界函数的反常积分的审敛法.)(),( )( 0)(),( )()( 10., 0)(,()()2(6发散发散则反常积分则反常积分使得使得，收敛；如果存在常数收敛；如果存在常数则反常积分则反常积分使得使得，及及如果存在常数如果存在常数是瑕点是瑕点上连续，且上连续，且在区间在区间设函数设函数比较审敛法比较审敛法定理定理 babaqdxxfbxaaxNxfNdx

9、xfbxaaxMxfqMaxxfbaxf发散发散则反常积分则反常积分或或收敛；如果收敛；如果则反常积分则反常积分存在存在，使得，使得如果存在常数如果存在常数是瑕点是瑕点上连续，且上连续，且在区间在区间设函数设函数极限审敛法极限审敛法定理定理 baaxaxbaqaxdxxfxfaxdxfaxdxxfxfaxqaxxfbaxf)(),)()(lim( 0)()(lim )(,)()(lim10., 0)(,()()2(例例6.ln31的收敛性的收敛性判别反常积分判别反常积分 xdx解解 xxln1lim1xxxln1)1(lim1 1 是是瑕瑕点点1 x xx1 1 lim1 xxxln1lim1

10、 , 0 型型)00(洛必达法则洛必达法则).ln31发散发散反常积分反常积分 xdx(极限审敛法极限审敛法2)例例7.)1)(1110222的收敛性的收敛性判别椭圆积分判别椭圆积分dxxkx 解解 )1)(11lim2221xkxx是是瑕瑕点点1 x )1)(11)1(lim222211xkxxx )1)(11lim221xkxx )1(212k .)1)(1110222收收敛敛dxxkx (极限审敛法极限审敛法2)1| k这这里里，121 q注：注：对于无界函数的反常积分，当被积函数对于无界函数的反常积分，当被积函数在所讨论的区间上可取正值又可取负值时，在所讨论的区间上可取正值又可取负值时

11、，也有与定理也有与定理5相类似的结论。相类似的结论。例例8.1sin10的收敛性的收敛性判别反常积分判别反常积分dxxx 解解也收敛也收敛dxxx 101sin,11sinxxx 收敛收敛dxxx 101sin(比较审敛法比较审敛法2) 1而而xdx收敛，收敛， 121 q的的右右半半邻邻域域内内无无界界在在01sinxx是是瑕瑕点点0 x)0( ,)(01 sdxxessx定定义义特点特点: 1.积分区间为无穷区间积分区间为无穷区间;.0: .0,01. 2是是瑕瑕点点点点即即右右半半邻邻域域内内无无界界的的被被积积函函数数在在点点时时当当 xxs, 1 121 0 11 dxxeIdxxe

12、Isxsx设设;,1)1(1是是定定积积分分时时当当Is ,10 )2(时时当当 s函函数数三三、 xssxexxe1111 11 s又又)(lim12 sxxxex.112收敛收敛dxxeIsx .0)2(),1(01均均收收敛敛对对知知由由 sdxxesxs)(s o.1101收收敛敛dxxeIsx sx 11xsxex1lim 0 )1(极极限限审审敛敛法法上连续上连续在在的图形，可知：的图形，可知：由由), 0()()( ss （比较审敛法（比较审敛法2） 函数的几个重要性质：函数的几个重要性质：).0()()1( ssss递推公式递推公式.)(0 ss时时，当当).10( sin)1

13、()(3 ssss 余余元元公公式式 )1( , )21(21 . 402 ttduuetu).0()()1( ssss递推公式递推公式证明证明dxxessx 01)1()1(dxxex 0s)(0sxedx )()()(s00sxdeexxx dxsxeexxxx-1s0s)(0)(lim dxxesx-1s000 )(ss （洛必达法则）（洛必达法则）按定义，得按定义，得 )1(dxex 0 0 xe)1(0 1 由由递递推推公公式式得得)11()2( )1(1 111 )12()3( )2(2 ! 212 )13()4( )3(3 ! 3! 23 .一般地一般地,有有)( , !)1(正

14、整数正整数nnn 这表明这表明:.广广函函数数可可以以看看成成阶阶乘乘的的推推 .)(0 ss时时，当当由（由（1）得：）得：).0( ,s)1()( sss取取极极限限，得得令令 0s )1s (1)1( 1)( 连续连续在在 ss)(s )0(时时当当 s证证)10( , sin)1()(3 ssss （余元公式）（余元公式） （不证）（不证）取取代代入入得得,21 s2sin)21()21( )21( 01 )(dxxessx2ux 令令 uduuesu2 )1(220 0122 2duuesu 12 st记记 02 2duuetu函函数数）（将将其其表表示示为为 )1( , )21(2

15、1 . 402 ttduuetu证证 012 2uduuetu 021)( 2uduetu 022)( )( 2udueu)1(21 t 022)( )( 2udueu1)1(21 t )21(t )1( , )21(2102 ttduuetu 0 dxxex1)1(21 t 2ux 令令在式在式中，中，取取0 t得：得：)1( , )21(2102 ttduuetu)21(2102 dueu 2 即即202 dxex这是概率论中常用的泊松积分这是概率论中常用的泊松积分(Poisson)例例9)27( 求求解解)25(25)27( )23(2325 )21(212325 212325 815 :由递推公式得由递推公式得例例10 04dxex函数表示积分函数表