学案6条件概率与事件的独立性

1、二项分布二项分布及其应用及其应用了解条件概率的概念了解条件概率的概念, ,了解两个事件相互独立了解两个事件相互独立的概念的概念; ;理解理解n n次独立重复试验模型及二项分次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题布，并能解决一些简单问题. . 返回目录返回目录 2012年高考年高考,试题难度以中低档题为主试题难度以中低档题为主,很可能与期望、很可能与期望、方差一起在解答题中考查方差一起在解答题中考查.返回目录返回目录 1.条件概率 一般地一般地,设设A，B为两个事件，且为两个事件，且P（A）0，称，称P（B|A）= 为在事件为在事件A发生的条件下，事发生的条件下，事件件B发生的条件概

2、率发生的条件概率.P（B|A）读作）读作“A发生的条件下发生的条件下B的概率的概率” . 古典概型中，若用古典概型中，若用n（A）表示事件）表示事件A中基本事件中基本事件的个数，则的个数，则P(B|A)= .P P( (A A) ) )B BP P( (A A n nP P( (A A) )n nA AB B名师伴你行返回目录返回目录 2.事件的相互独立性 设设A，B为两个事件，如果为两个事件，如果P(B|A)= ，则称事件，则称事件A与事件与事件B相互独立相互独立. 并把并把A，B这两个事件叫作相互独立事件这两个事件叫作相互独立事件. P（B） 3.独立重复试验 一般地一般地,在在 下重复做

3、的下重复做的n次试验称为次试验称为n次独立重复试验次独立重复试验. 相同条件相同条件 名师伴你行返回目录返回目录 4.二项分布 若将事件若将事件A发生的次数设为发生的次数设为X，事件，事件A不发生的概不发生的概率为率为q=1-p,那么在那么在n次独立重复试验中，事件次独立重复试验中，事件A恰好发恰好发生生k次的概率是次的概率是 P（X=k）= ,k=0,1,2,n. k k- -n nk kk kn nq qp pC C 于是得到于是得到X的分布列的分布列:X01knPn n0 00 0n nq qp pC C-1-1n n1 11 1n nq qp pC Ck k- -n nk kk kn

4、nq qp pC C0 0n nn nn nq qp pC C名师伴你行返回目录返回目录 由于表中的第二行恰好是二项式展开式由于表中的第二行恰好是二项式展开式(q+p)n= 各各对应项的值，所以称这样的离散型随机变量对应项的值，所以称这样的离散型随机变量X服从参数服从参数为为n，p的二项分布，记作的二项分布，记作X .-1-1n n1 11 1n nn n0 00 0n nq qp pC C+ +q qp pC C0 0n nn nn nk k- -n nk kk kn nq qp pC C + + + +q qp pC C+ + + +B(n,p) 名师伴你行返回目录返回目录 有一批种子的发

5、芽率为有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为，出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率长为幼苗的概率. 解决好概率问题的关键是分清属于哪种解决好概率问题的关键是分清属于哪种类型的概率，该例中的幼苗成活率是在出芽后这一类型的概率，该例中的幼苗成活率是在出芽后这一条件下的概率，属于条件概率条件下的概率，属于条件概率.返回目录返回目录 设种子发芽为事件设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为，种子成长为幼苗为事件事件AB（发芽，又成活为幼苗），出芽后的幼苗成活（发芽，又成活为幼苗），出芽后的幼苗成活率为率为:

6、P(B|A)=0.8,P(A)=0.9. 根据条件根据条件,概率公式概率公式 P(AB)=P(B|A)P(A)=0.90.8=0.72， 即这粒种子能成长为幼苗的概率为即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.返回目录返回目录 在解决条件概率问题时，要灵活掌握在解决条件概率问题时，要灵活掌握P(AB),P(B|A),P(A|B),P(A),P(B)之间的关系，即之间的关系，即P(B|A)= ,P(A|B)= ,P(AB)=P(A|B)P(B)+P(B|A)P(A). P(A)P(A)P(AB)P(AB) P(B)P(B)P(AB)P(AB)返回目录返回目录 某地区气象台统计，该地区下雨的概率为某

7、地区气象台统计，该地区下雨的概率为 ，刮风，刮风的概率为的概率为 ，既刮风又下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为 ，设，设A为下为下雨，雨，B为刮风，求为刮风，求(1)P(A|B);(2)P(B|A).15154 415152 210101 1返回目录返回目录 根据题意知根据题意知P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= .(1)P(A|B)=(2)P(B|A)=15154 415152 210101 14 43 32 2151510101 115152 210101 1 P(B)P(B)P(AB)P(AB)=8 83 34 4151510101 115154 410101 1 P(A)P(A)

8、P(AB)P(AB)=返回目录返回目录 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为品的概率为 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为的零件不是一等品的概率为 ,甲、丙两台机床加工的零甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为件都是一等品的概率为 .(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品 的概率；的概率；(2)从甲、乙

9、、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有 一个一等品的概率一个一等品的概率.4 41 112121 19 92 2返回目录返回目录 (1)将三种事件设出将三种事件设出,列方程列方程,解方程解方程 即可求出即可求出.(2)用间接法解比较省时用间接法解比较省时,方便方便. (1)设设A，B，C分别为甲、乙、丙三台机分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件床各自加工的零件是一等品的事件. P(AB)= P(BC)= P(AC)= , P(A)1-P(B)= P(B)1-P(C)= P(A)P(C)= 由题设条件有由题设条件有 即即 4 41 1

10、12121 19 92 24 41 112121 19 92 2返回目录返回目录 由由得得P(B)=1- P(C),代入代入得得 27P(C)2-51P(C)+22=0. 解得解得P(C)= 或或 (舍去舍去). 将将P(C)= 分别代入分别代入可得可得P(A)= ,P(B)= . 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是概率分别是 , , .8 89 93 32 29 911113 32 23 31 14 41 13 31 14 41 13 32 2返回目录返回目录 (2)记记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检为从甲、乙、丙加工的

11、零件中各取一个检验验,至少有一个一等品的事件至少有一个一等品的事件. 则则P(D)=1-P(D) =1-1-P(A)1-P(B)1-P(C) =1- = . 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少至少有一个一等品的概率为有一个一等品的概率为 .3 32 23 31 14 43 36 65 56 65 5返回目录返回目录 (1)对照互斥事件、对立事件的定义进行判断，哪些对照互斥事件、对立事件的定义进行判断，哪些是互斥事件，哪些是对立事件，是解好题目的关键是互斥事件，哪些是对立事件，是解好题目的关键.“正正难则反难则反”，一个事件的正面包含基本事件个数较

12、多，而，一个事件的正面包含基本事件个数较多，而它的对立事件包含基本事件个数较少，则用公式它的对立事件包含基本事件个数较少，则用公式P（A）=1-P（A）计算）计算. (2)审题应注意关键的词句，例如审题应注意关键的词句，例如“至少有一个发至少有一个发生生”“”“至多有一个发生至多有一个发生”“”“恰好有一个发生恰好有一个发生”等等. (3)复杂问题可考虑拆分为等价的几个事件的概率问复杂问题可考虑拆分为等价的几个事件的概率问题，同时结合对立事件的概率求法进行求解题，同时结合对立事件的概率求法进行求解. (4)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有: 利用

13、相互独立事件的概率乘法公式利用相互独立事件的概率乘法公式; 正面计算较繁或难以入手时，可以从对立事件入正面计算较繁或难以入手时，可以从对立事件入手计算手计算.返回目录返回目录 2010年高考天津卷年高考天津卷某射手每次射击击中目标的概率某射手每次射击击中目标的概率是是23，且各次射击的结果互不影响，且各次射击的结果互不影响.（1）假设这名射手射击）假设这名射手射击5次，求恰有次，求恰有2次击中目标的概次击中目标的概率；率；（2）假设这名射手射击）假设这名射手射击5次，求有次，求有3次连续击中目标，次连续击中目标，另外另外2次未击中目标的概率；次未击中目标的概率；（3）假设这名射手射击）假设这名

14、射手射击3次，每次射击，击中目标得次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得分，未击中目标得0分分.在在3次射击中，若有次射击中，若有2次连续击中，次连续击中，而另外而另外1次未击中，则额外加次未击中，则额外加1分；若分；若3次全击中，则额次全击中，则额外加外加3分分.记记为射手射击为射手射击3次后的总得分数，求次后的总得分数，求的分布列的分布列.返回目录返回目录 【解析【解析】 (1)设设X为射手在为射手在5次射击中击中目标的次数次射击中击中目标的次数,则则XB（5, ）.在在5次射击中次射击中,恰有恰有2次击中目标的概率为次击中目标的概率为P(X=2)= .(2)设设“第第i次射击击中目标

15、次射击击中目标”为事件为事件Ai(i=1,2,3,4,5);“射手射手在在5次射击中，有次射击中，有3次连续击中目标，另外次连续击中目标，另外2次未击中目标次未击中目标”为事件为事件A，则，则P(A)=P(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)=（ ）3（ ）2+ （ ）3 +（ ）2（ ）3= .3224340)32-(1)32(C3225 32313132313132818返回目录返回目录 （3）设）设“第第i次射击击中目标次射击击中目标”为事件为事件Ai(i=1,2,3).由题意由题意可知，可知，的所有可能取值为的所有可能取值为0，1，2，3，6.

16、P(=0)=P(A1A2A3)=（ ）3= ;P(=1)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)= （ ）2+ +（ ）2 = ;P(=2)=P(A1A2A3)= = ;P(=3)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)= （ ）2 + （ ）2= ;P(=6)=P(A1A2A3)=（ ）3= .所以所以的分布列是：的分布列是：31127132313231313132923232312743231313227832278返回目录返回目录 01236P27127827892274返回目录返回目录 某单位某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的个员工借助互联网开展工作，

17、每个员工上网的概率都是概率都是0.5(相互独立相互独立).(1)求至少求至少3人同时上网的概率人同时上网的概率;(2)至少几人同时上网的概率小于至少几人同时上网的概率小于0.3? 因为因为6个员工上网都是相互独立的，所以个员工上网都是相互独立的，所以该题可归结为该题可归结为n次独立重复试验与二项分布问题次独立重复试验与二项分布问题.返回目录返回目录 （1）解法一：记）解法一：记“有有r人同时上网人同时上网”为为事件事件Ar,则则“至少至少3人同时上网人同时上网”即为事件即为事件A3+A4+A5+A6，因为因为A3,A4,A5,A6为彼此互斥事件，所以可应用概率加为彼此互斥事件，所以可应用概率加

18、法公式，得法公式，得“至少至少3人同时上网人同时上网”的概率为的概率为 P=P(A3+A4+A5+A6) =P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6) = ( ) = (20+15+6+1)= .64641 164641 16 66 65 56 64 46 63 36 6C CC CC CC C+32322121返回目录返回目录 解法二解法二：“至少至少3人同时上网人同时上网”的对立事件是的对立事件是“至多至多2人同时上网人同时上网”，即事件，即事件A0+A1+A2.因为因为A0,A1,A2是彼此互是彼此互斥的事件，所以斥的事件，所以“至少至少3人同时上网人同时上网”的概率为的概率为 P=

19、1-P(A0+A1+A2) =1-P(A0)+P(A1)+P(A2) =1- ( ) =1- (1+6+15)= 64641 164641 1323221212 26 61 16 60 06 6C CC CC C+返回目录返回目录 解法三解法三：至少：至少3人同时上网，这件事包括人同时上网，这件事包括3人，人，4人，人，5人或人或6人同时上网，则记至少人同时上网，则记至少3人同时上网的事件为人同时上网的事件为A,X为上网人数为上网人数,则则 P(A)=P(X3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6) 32322121) )2 21 1( (C C) )2 21 1( (C C

20、) )2 21 1( (C C) )2 21 1( (C C6 66 66 66 65 56 66 64 46 66 63 36 6=+返回目录返回目录 （2）解法一解法一：记：记“至少至少r人同时上网人同时上网”为事件为事件Br, 则则Br的概率的概率P(Br)随随r的增加而减少的增加而减少.依题意是求满足依题意是求满足P(Br)0.3的整数的整数r的最小值的最小值.因为因为 P(B6)=P(A6)= 0.3, P(B5)=P(A5+A6)=P(A5)+P(A6) = ( )= 0.3, P(B4)=P(A4+A5+A6) =P(A4)+P(A5)+P(A6)= ( ) = (15+6+1)

21、= 0.3, 所以至少所以至少4人同时上网的概率大于人同时上网的概率大于0.3,至少至少5人同时人同时上网的概率小于上网的概率小于0.3.64641 164641 164647 764641 164641 16 66 65 56 6C CC C+6 66 65 56 64 46 6C CC CC C+32321 1返回目录返回目录 解法二解法二：由：由(1)知至少知至少3人同时上网的概率大于人同时上网的概率大于0.3,至少至少4人同时上网的概率为人同时上网的概率为 P（X4）= 0.3, 至少至少5人同时上网的概率为人同时上网的概率为 P(X5)= 0.3, 所以至少所以至少5人同时上网的概率

22、小于人同时上网的概率小于0.3.32322121) )2 21 1( (C C) )2 21 1( (C C) )2 21 1( (C C6 66 66 66 65 56 62 24 46 6=+64647 7) )2 21 1( (C C) )2 21 1( (C C6 66 66 66 65 56 6=+（1）独立重复试验是在同样的条件下重复地、各）独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试

23、验中发生的概率都是一样的发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的. (2)在在n次独立重复试验中，设事件次独立重复试验中，设事件A发生的次数发生的次数为为X，在每次试验中事件，在每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p，那么在，那么在n次次独立重复试验中，事件独立重复试验中，事件A恰好发生恰好发生k次的概率为次的概率为P(X=k)= (1-p)k，k=0,1,2,n.此时称随机变量此时称随机变量X服从二项分布，在利用该公式时，一定要搞清是多少服从二项分布，在利用该公式时，一定要搞清是多少次试验中发生次试验中发生k次的事件，如本题中次的事件，如本题中“有有3人上网人上网”可可理解为理解为6

24、次独立重复试验恰有次独立重复试验恰有3次发生，即次发生，即n=6，k=3.k kk kn np pC C返回目录返回目录 2010年高考大纲全国卷年高考大纲全国卷如图，由如图，由M到到N的电路中的电路中有有4个元件，分别标为个元件，分别标为T1,T2,T3,T4,电流能通过电流能通过T1,T2,T3的的概率都是概率都是p,电流能通过电流能通过T4的概率是的概率是0.9，电流能否通过各，电流能否通过各元件相互独立元件相互独立.已知已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的中至少有一个能通过电流的概率为概率为0.999.（1）求）求p;（2）求电流能在）求电流能在M与与N之间通过的概率；之间通过

25、的概率；（3）表示表示T1,T2,T3,T4中能通过电流的元件个数，求中能通过电流的元件个数，求的的期望期望.返回目录返回目录 【解析【解析】记记Ai表示事件：电流能通过表示事件：电流能通过Ti,i=1,2,3,4.A表示事件表示事件:T1,T2,T3中至少有一个能通过电流中至少有一个能通过电流.B表示事件表示事件:电流能在电流能在M与与N之间通过之间通过.(1)A=A1A2A3,A1,A2,A3相互独立相互独立.故故P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=(1-p)3,又又P(A)=1-P(A)=1-0.999=0.001,故故(1-p)3=0.001,得得p=0.9.

26、返回目录返回目录 (2)B=A4+A4A1A3+A4A1A2A3,P(B)=P(A4+A4A1A3+A4A1A2A3)=P(A4)+P(A4A1A3)+P(A4A1A2A3)=P(A4)+P(A4)P(A1)P(A3)+P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)=0.9+0.10.90.9+0.10.10.90.9=0.989 1.(3)由于电流能通过各元件的概率都是由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否，且电流能否通过各元件相互独立通过各元件相互独立,所以所以B(4,0.9),E()=40.9=3.6.返回目录返回目录 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有一名学生每天骑车上学，

27、从他家到学校的途中有6个交个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是立的，并且概率都是 .(1)设设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布的分布 列列;(2)设设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的的 分布列分布列;(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.3 31 1返回目录返回目录 本题主要考查独立重复试验的概率和二项本题主要考查独立重复试验的概率和二项分布等知识分布等知识.（1）将通过每个交

28、通岗看作一次试验，）将通过每个交通岗看作一次试验，则遇到红灯的概率为则遇到红灯的概率为 ，且每次试验结果是相互独立的，且每次试验结果是相互独立的,故故XB(6, )，以此为基础求，以此为基础求X的分布列的分布列. 由由XB(6, )，所以，所以X的分布列为的分布列为 P(X=k)= ，k=0,1,2,3,4,5,6. （2）由于）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然口数，显然Y是随机变量，其取值为是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5.3 31 13 31 13 31 1k k- -6 6k kk k6 6) )3 32 2( () )3 31 1( (C C返回目录返回目录 其中其中:Y=k(k=0,1,2,3,4,5)表示前表示前k个路口没有个路口没有 遇上遇上 红灯，但在第红灯，但在第k+1个路口遇上红灯，故各概率应按独个路口遇上红灯，故各概率应按独立立 事件同时发生计算事件同时发生计算. P(Y=k)=( )k (k=0,1,2,3,4,5), 而而Y=6表示一路没有遇上红灯表示一路没有遇上红灯, 故其概率为故其概率为P(Y=6)= . 因此因此Y的分布列为的分布列为: 3 31 16 6) )3 32 2( (3