第二章电磁场中电子的运动

1、电子在电磁场中的运动电子在电磁场中的运动西安交通大学西安交通大学 康永锋康永锋 电子光学 第二章 (Kang) P.2提纲提纲n牛顿运动方程牛顿运动方程n拉格朗日方程拉格朗日方程n最小作用原理最小作用原理n折射率与轨迹方程折射率与轨迹方程n电子运动的波动性质电子运动的波动性质n引言引言 电子光学第二章(Kang) P.3引言引言),(ifrrn运动规律运动规律n电子光学的主要研究对象是带电粒子的运动规律。（电子光学的主要研究对象是带电粒子的运动规律。（质点动力学质点动力学- -轨迹轨迹）n当我们忽略了带电粒子之间相互的电磁作用时，就可以将带电粒子运动看作当我们忽略了带电粒子之间相互的电磁作用时

2、，就可以将带电粒子运动看作为为单个质点单个质点运动。因此可以利用单个粒子的质点运动方程，即运动。因此可以利用单个粒子的质点运动方程，即牛顿型运动牛顿型运动方方程求解带电粒子运动规律。曲坐标系的拉程求解带电粒子运动规律。曲坐标系的拉格朗日方程格朗日方程，以及，以及相对论效应相对论效应。n变分原理（变分原理（哈密顿原理哈密顿原理和和最小作用原理最小作用原理）以及与光线光学的相似性。）以及与光线光学的相似性。n波动性原理；自由空间以及大尺度外电磁场，不考虑量子力学；只考虑波动性原理；自由空间以及大尺度外电磁场，不考虑量子力学；只考虑衍射衍射效应效应。 电子光学 第二章 (Kang) P.4提纲提纲n

3、引言引言n拉格朗日方程拉格朗日方程n最小作用原理最小作用原理n折射率与轨迹方程折射率与轨迹方程n电子运动的波动性质电子运动的波动性质n牛顿运动方程牛顿运动方程 电子光学第二章(Kang) P.5牛顿运动方程牛顿运动方程),(ifrrn洛仑兹力洛仑兹力n牛顿运动方程牛顿运动方程n加速电位和能量守恒定理加速电位和能量守恒定理n直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程 电子光学第二章(Kang) P.6牛顿运动方程牛顿运动方程),(ifrrn洛仑兹力洛仑兹力eEB具有电荷为具有电荷为，运动速度为，运动速度为电场强度和磁感应强度分别为电场强度和磁

4、感应强度分别为和和的电磁场中运动，将受到罗伦兹力的作用，可以表示为的电磁场中运动，将受到罗伦兹力的作用，可以表示为: :的电子在的电子在BeEeF(2-1) 上式有两部分，第一部分为电场力，它对电子做功，即改变电子的能量，产生电上式有两部分，第一部分为电场力，它对电子做功，即改变电子的能量，产生电子的加速和减速运动；子的加速和减速运动； 第二部分为磁场力，对电子不做功，它不能改变电子的能量，只改变运动方向。第二部分为磁场力，对电子不做功，它不能改变电子的能量，只改变运动方向。利用该式可以描述电子的运动。利用该式可以描述电子的运动。 电子光学第二章(Kang) P.7牛顿运动方程牛顿运动方程),

5、(ifrrn牛顿方程牛顿方程电子的动量满足牛顿方程：电子的动量满足牛顿方程：(2-2) 非相对论情形（电子速度远小于光速）非相对论情形（电子速度远小于光速）BeEedtpdBeEedtdmdtpd0高能粒子高能粒子201mpcBeEemdtd)1(20 电子光学第二章(Kang) P.8牛顿运动方程牛顿运动方程),(ifrrn加速电位和能量守恒定理加速电位和能量守恒定理 由于磁力是不做功的，考虑带电粒子能量的变化仅仅由电场决定，用速度点由于磁力是不做功的，考虑带电粒子能量的变化仅仅由电场决定，用速度点乘牛顿方程的两端右端项的第二项磁场项等于零，可以得到方程：乘牛顿方程的两端右端项的第二项磁场项

6、等于零，可以得到方程：(2-3) 等式左边变换为：等式左边变换为：Eemdtd)1(202202200022 3 22 3 22211()(1)()(1)2(1)11dvdvmvmm cdvddtdtmcdtdt等式右边变换为等式右边变换为()dru dxu dyu dzdUeEe Ueedtx dty dtz dtdt 电子光学第二章(Kang) P.9牛顿运动方程牛顿运动方程n加速电位和能量守恒定理加速电位和能量守恒定理 能量守恒能量守恒(2-4) 令粒子速度为零时，电位为零。定义令粒子速度为零时，电位为零。定义加速电位加速电位 U U* *动能、势能和静止能量守恒；粒子在任一点动能完全由

7、加速电位决定。动能、势能和静止能量守恒；粒子在任一点动能完全由加速电位决定。粒子的运动速度粒子的运动速度0)1(220eUcmdtd220*021m ceUm c0202(1) 122eUUmeUm c 电子光学第二章(Kang) P.10牛顿运动方程牛顿运动方程)()21(200eUdtdmdtddtdm左端项右端项n加速电位和能量守恒定理加速电位和能量守恒定理 能量守恒（低速）能量守恒（低速） 同理，用速度点积牛顿方程两端，可得：同理，用速度点积牛顿方程两端，可得：可得可得0)21(20eUmdtd 电子光学第二章(Kang) P.11牛顿运动方程牛顿运动方程n加速电位和能量守恒定理加速电

8、位和能量守恒定理 能量守恒（低速）能量守恒（低速）(2-4) 22000011()()22mme UU 说明，带电粒子的能量为恒定值，即动能与位能的和等于常数。因此可以建说明，带电粒子的能量为恒定值，即动能与位能的和等于常数。因此可以建立电子运动速度与电位之间的关系。立电子运动速度与电位之间的关系。 电子光学第二章(Kang) P.12牛顿运动方程牛顿运动方程n加速电位和能量守恒定理加速电位和能量守恒定理 能量守恒（低速）能量守恒（低速）(2-5) 引入加速电位引入加速电位U U* *上式表示了在低速情况下，加速电位与电子速度之间的关系，其中电位表示上式表示了在低速情况下，加速电位与电子速度之

9、间的关系，其中电位表示的是规范化电位，即考虑电子动能为零作为参考点。的是规范化电位，即考虑电子动能为零作为参考点。用它可以计算电子光学仪器的电子能量。在高速情况下，需考虑相对论。用它可以计算电子光学仪器的电子能量。在高速情况下，需考虑相对论。Ume02 电子光学第二章(Kang) P.13牛顿运动方程牛顿运动方程n直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程动方程运动方程的直角坐标形式的三个分量方程为：运动方程的直角坐标形式的三个分量方程为：)(0yzxBzByeeExm )(0zxyBxBzeeEym )(0 xyzByBxeeEzm 电子光学第

10、二章(Kang) P.14牛顿运动方程牛顿运动方程n直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程动方程运动方程的圆柱坐标形式的三个分量方程可有直角坐标变换而来；运动方程的圆柱坐标形式的三个分量方程可有直角坐标变换而来；利用坐标变换，可建立直角坐标利用坐标变换，可建立直角坐标x和和y与圆柱坐标与圆柱坐标r和和之间的关系为：之间的关系为：cosrx sinry 上面的坐标对时间求微分有：上面的坐标对时间求微分有： cossinsin2cos2 rrrrxsincoscos2sin2 rrrry 电子光学第二章(Kang) P.15牛顿运动方程牛顿运动方

11、程n直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程动方程coscossincos00ymxmFFFyxr cossincossin00ymxmFFFyx zF将而将而r方向的力表示为方向的力表示为x和和y方向的力的投影，可以得到分量形式方向的力的投影，可以得到分量形式：不变 )()cos(sin)cos(sin)sinsincossincos2sin()coscossincossin2cos(2022222022202220 rrmrrmrrrrmrrrrmFr 电子光学第二章(Kang) P.16牛顿运动方程牛顿运动方程n直角坐标系、圆柱坐标系以及

12、一般正交坐标系运直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程动方程将而将而r方向的力表示为方向的力表示为x和和y方向的力的投影，可以得到分量形式方向的力的投影，可以得到分量形式：cossincossin00ymxmFFFyx )()2()sin(cos)sin(cos2)cossincoscos2cossin()sincossinsin2sincos(cos)sincoscos2sin(sin)cossinsin2cos(cossincossin2002222022202220202000 rdtdrmrrmrrmrrrrmrrrrmrrrrmrrrrmymxmFFFyx 电子光学第二章(

13、Kang) P.17牛顿运动方程牛顿运动方程n直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程动方程)(20 rrmFr)()2(200 rdtdrmrrmFzmFz 0将将x和和y的微分形式用的微分形式用r和和 的微分形式代入，上述方程可以得到圆柱的微分形式代入，上述方程可以得到圆柱坐标方程下的牛顿方程：坐标方程下的牛顿方程： 电子光学第二章(Kang) P.18牛顿运动方程牛顿运动方程n直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程动方程)()(20BzBreeErrmzr )()(20zrBrBzeeE

14、rdtdrm)(0rzBrBreeEzm 因此，将方程左端向的洛仑兹力项带入方程中，可得因此，将方程左端向的洛仑兹力项带入方程中，可得 电子光学第二章(Kang) P.19牛顿运动方程牛顿运动方程n直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运直角坐标系、圆柱坐标系以及一般正交坐标系运动方程动方程课本（课本（2.1.15）式给出了任意一般正交曲线坐标系的牛顿运动方程，相当复杂。）式给出了任意一般正交曲线坐标系的牛顿运动方程，相当复杂。 电子光学 第二章 (Kang) P.20提纲提纲n引言引言n牛顿运动方程牛顿运动方程n最小作用原理最小作用原理n折射率与轨迹方程折射率与轨迹方程n电子运动的波动性质

15、电子运动的波动性质n拉格朗日方程拉格朗日方程 电子光学第二章(Kang) P.21拉格朗日方程拉格朗日方程n拉格朗日方程的意义拉格朗日方程的意义n直角坐标系下推演拉格朗日方程直角坐标系下推演拉格朗日方程n磁场存在的情形磁场存在的情形n考虑相对论后的拉格朗日函数考虑相对论后的拉格朗日函数n拉格朗日方程与牛顿运动方程的联系拉格朗日方程与牛顿运动方程的联系 电子光学第二章(Kang) P.22拉格朗日方程拉格朗日方程n拉格朗日方程的意义拉格朗日方程的意义1.牛顿运动方程能够处理给定电磁场中带电粒子运动的质点动力学的全部内容。牛顿运动方程能够处理给定电磁场中带电粒子运动的质点动力学的全部内容。2.但是

16、牛顿运动方程运用到曲线坐标时，表达式比较复杂，而且缺乏直观意义；但是牛顿运动方程运用到曲线坐标时，表达式比较复杂，而且缺乏直观意义；3.而采用分析力学中的拉格朗日方程，利用广义坐标的表达形式更为直观，而采用分析力学中的拉格朗日方程，利用广义坐标的表达形式更为直观，物理意义更为清晰。物理意义更为清晰。4.利用广义坐标，把粒子的速度利用广义坐标，把粒子的速度V和势函数和势函数U和和A用广义坐标用广义坐标q1,q2和和q3及其对及其对时间的时间的导函数导函数表示，则拉格朗日方程将自动产生三个标量的运动方程。表示，则拉格朗日方程将自动产生三个标量的运动方程。 电子光学第二章(Kang) P.23拉格朗

17、日方程拉格朗日方程n直角坐标系下推演拉格朗日方程直角坐标系下推演拉格朗日方程由于静电场为保守场，因此可建立位函数由于静电场为保守场，因此可建立位函数W与场作用力的关系式为：与场作用力的关系式为：xWFxyWFyzWFz可以利用微分的性质，将上式中第一式的左端项写成用动能形式表示为可以利用微分的性质，将上式中第一式的左端项写成用动能形式表示为xTdtdzyxmxdtdxmdtdxmFx )(2()(222000可得可得0 xWxTdtd 电子光学第二章(Kang) P.24拉格朗日方程拉格朗日方程n直角坐标系下推演拉格朗日方程直角坐标系下推演拉格朗日方程由于动能由于动能T只与只与速度速度有关，位

18、能有关，位能W只与只与坐标坐标有关，根据偏微分的性质，动能有关，根据偏微分的性质，动能T对坐标的微分为零，而位能对坐标的微分为零，而位能W对速度的微分为零，因此用函数对速度的微分为零，因此用函数WTL0dLLdtxx带入方程中，可以得到上式的等价方程为：带入方程中，可以得到上式的等价方程为：同理对同理对y和和z分量可得出类似的方程，如果将式中的坐标用广义坐标表示分量可得出类似的方程，如果将式中的坐标用广义坐标表示0dLLdtqq在分析力学中已经证明，在在分析力学中已经证明，在qi为任意广义坐标时上式均成立。为任意广义坐标时上式均成立。 电子光学第二章(Kang) P.25拉格朗日方程拉格朗日方

19、程n直角坐标系下推演拉格朗日方程直角坐标系下推演拉格朗日方程拉格朗日函数拉格朗日函数静电场是位场，因此将位能和动能函数带入到拉格朗日函数后，得到静电静电场是位场，因此将位能和动能函数带入到拉格朗日函数后，得到静电 场中的拉各朗日函数场中的拉各朗日函数eUmL220iq iqLiiqTqLiiLWqq 如果把如果把称为广义速度，可以称称为广义速度，可以称为广义的力，而将为广义的力，而将称为广义动量，那么称为广义动量，那么称为位场决定的力称为位场决定的力 电子光学第二章(Kang) P.26拉格朗日方程拉格朗日方程n磁场存在的情形磁场存在的情形n因为磁场不是位场，磁场作用力不能用上面的位函数微分表

20、示力，因为磁场不是位场，磁场作用力不能用上面的位函数微分表示力，n但可以证明存在一个对应的广义力为：但可以证明存在一个对应的广义力为：BUA在电场强度向量为在电场强度向量为及磁感强度为及磁感强度为E定义的电磁场中，可以用定义的电磁场中，可以用电位电位和磁矢位和磁矢位表示为：表示为：tAUEABiiiqMqMdtdQ)( 电子光学第二章(Kang) P.27拉格朗日方程拉格朗日方程n磁场存在的情形磁场存在的情形)(AtAUeBeEedtPd右端式的前两项表示电位和磁位引起的电场作用，后一项表示磁位引起的右端式的前两项表示电位和磁位引起的电场作用，后一项表示磁位引起的磁场作用。磁场作用。牛顿运动方

21、程可以写为：牛顿运动方程可以写为： 电子光学第二章(Kang) P.28拉格朗日方程拉格朗日方程n磁场存在的情形磁场存在的情形将右端项写成分量式，并化成全微分形式有：将右端项写成分量式，并化成全微分形式有：)()(xAzAz eyAxAyetAexUedtPdzxxyxxdtdAezxAyxAxxAexUexzyx)(其中dtdAtAzzAyyAxxAxxxxx)()(zxAyxAxxAexUezyx)(tAzzAyyAxxAexxxx 电子光学第二章(Kang) P.29拉格朗日方程拉格朗日方程n磁场存在的情形磁场存在的情形n同理，对同理，对y 和和 z分量也存在同样的方程，因此就有分量也存

22、在同样的方程，因此就有)()(AedtdAUedtPdAeM令右端项后面的一项为令右端项后面的一项为202mLTWMeUeA修正的拉格朗日函数为修正的拉格朗日函数为则拉格朗日方程与牛顿方程一致。则拉格朗日方程与牛顿方程一致。 电子光学第二章(Kang) P.30拉格朗日方程拉格朗日方程n考虑相对论后的拉格朗日函数考虑相对论后的拉格朗日函数n静电场静电场考虑磁场考虑磁场22021vLm ceUc 考虑相对论修正后，上式第一项并不代表粒子运动的动能。考虑相对论修正后，上式第一项并不代表粒子运动的动能。22021vLm ceUeAc 电子光学第二章(Kang) P.31拉格朗日方程拉格朗日方程n拉格

23、朗日方程与牛顿运动方程的联系拉格朗日方程与牛顿运动方程的联系n从拉格朗日方程出发，能直接导出第一节给出的正交曲线坐标系的运动方从拉格朗日方程出发，能直接导出第一节给出的正交曲线坐标系的运动方程。举个例子，在球坐标系中，静电场情形拉格朗日函数程。举个例子，在球坐标系中，静电场情形拉格朗日函数从拉格朗日方程就可以直接写出球坐标系中牛顿运动方程，见课本（从拉格朗日方程就可以直接写出球坐标系中牛顿运动方程，见课本（2.2.14）2222220(sin)2mLrrreUeA 电子光学 第二章 (Kang) P.32提纲提纲n引言引言n牛顿运动方程牛顿运动方程n拉格朗日方程拉格朗日方程n折射率与轨迹方程折

24、射率与轨迹方程n电子运动的波动性质电子运动的波动性质n最小作用原理最小作用原理 电子光学第二章(Kang) P.33最小作用原理最小作用原理n变分原理简述变分原理简述n泛函泛函n欧拉方程欧拉方程n哈密顿原理哈密顿原理n最小作用原理最小作用原理n轨迹相似性原理轨迹相似性原理 电子光学第二章(Kang) P.34最小作用原理最小作用原理n变分原理简述变分原理简述1. 经典力学的质点动力学问题，除了用上面介绍的牛顿方程、拉格朗日方程经典力学的质点动力学问题，除了用上面介绍的牛顿方程、拉格朗日方程表示外，还可以采用变分原理描述表示外，还可以采用变分原理描述;2. 描述简洁，具有高度概括性；描述简洁，具

25、有高度概括性；3. 变分原理的应用揭示了带电粒子运动的规律与光线光学的运动类似性，在变分原理的应用揭示了带电粒子运动的规律与光线光学的运动类似性，在此基础上建立和发展了电子光学。此基础上建立和发展了电子光学。 4.所谓变分原理的数学问题是泛函求极值问题。所谓变分原理的数学问题是泛函求极值问题。 电子光学第二章(Kang) P.35最小作用原理最小作用原理n泛函泛函)(xfy 我们知道函数的定义，即，假如一个连续变化的函数表示为：我们知道函数的定义，即，假如一个连续变化的函数表示为：xyxx)(,(xfxyyx那么那么称为自变量称为自变量是自变量是自变量的函数，如果一个的函数，如果一个和和 f(

26、x) 的关系为，的关系为，成立，则称成立，则称为泛函，为泛函，与与的关系类似于的关系类似于与与的关系，因此也的关系，因此也函数函数v与与称为函数的函数。称为函数的函数。 电子光学第二章(Kang) P.36最小作用原理最小作用原理)()(xxfyn泛函泛函泛函求极值泛函求极值同函数一样，泛函的稳定值可以用极值描述，即微分等于同函数一样，泛函的稳定值可以用极值描述，即微分等于0时的值。时的值。发生一微小变化，即扰动时，发生一微小变化，即扰动时，如果函数如果函数可以表示为可以表示为其中其中 (x) 为任意给定函数，为任意给定函数，为数值参数。参量为数值参数。参量的变换意味着的变换意味着函数函数y的

27、连续变化。当的连续变化。当=0时，函数时，函数y y值为值为f(x)即即y0。)(xf 电子光学第二章(Kang) P.37最小作用原理最小作用原理n泛函泛函泛函求极值泛函求极值212( ,)( ,)2x fx f 当当变化时，显然泛函变化时，显然泛函v也随着变化。也随着变化。01dd2220 dd 11222式中式中因此因此为为的一阶微分形式，用的一阶微分形式，用表示，称为泛函表示，称为泛函的一阶变分，称为泛函的极值，的一阶变分，称为泛函的极值，称为二阶变分，如此类推称为二阶变分，如此类推。 电子光学第二章(Kang) P.38最小作用原理最小作用原理n泛函泛函 在物理问题中一个常用的泛函表

28、示形式是下面的定积分形式的泛函，这个在物理问题中一个常用的泛函表示形式是下面的定积分形式的泛函，这个积分形式的泛函极值问题，既变分问题所描述的是能量问题。假设一个积分积分形式的泛函极值问题，既变分问题所描述的是能量问题。假设一个积分形式的泛函表示为：形式的泛函表示为：式中式中y是是x的连续函数，且在该区间具有一阶、二阶导数存在。的连续函数，且在该区间具有一阶、二阶导数存在。dxyyxFxx10),()(x现在研究泛函现在研究泛函的极值问题，由于当存在函数的极值问题，由于当存在函数时，时，函数函数y和一阶微分可以分别表示为：和一阶微分可以分别表示为：)()(xxfy)()(xxfy 电子光学第二

29、章(Kang) P.39最小作用原理最小作用原理n泛函泛函因此，泛函因此，泛函v也是也是的函数，泛函取极值可以表示为的函数，泛函取极值可以表示为0)(0dd0，即即y0 xx 0yy 1xx 1yy 0)()(10 xx函数函数的两个端点值分别为的两个端点值分别为处，处，处，处，应有应有 电子光学第二章(Kang) P.40最小作用原理最小作用原理n泛函泛函这时泛函这时泛函V的极值可以表示为的极值可以表示为dxyyxFddddxx0100),(0)(010dxdydyFddyyFxx)(0 xddy)(0 xdyd0)(0100dxyFyFddxx根据端点的初始条件，上式中根据端点的初始条件，

30、上式中代入方程中，可得：代入方程中，可得： 电子光学第二章(Kang) P.41最小作用原理最小作用原理n泛函泛函将上式第二项做分部积分将上式第二项做分部积分101010)(xxxxxxdxyFdxdyFdxyF0)()(01xx0)(10dxyFdxdyFxx将两个端点值带入，由于将两个端点值带入，由于因此上式的第一项为零，极值可以表示为：因此上式的第一项为零，极值可以表示为： 电子光学第二章(Kang) P.42最小作用原理最小作用原理n欧拉方程欧拉方程0yFdxdyF对于任意函数对于任意函数 ，上式成立的必要条件是，上式成立的必要条件是该式称为欧拉方程，变分学的一个基本方程。泛函极值的必

31、要条件该式称为欧拉方程，变分学的一个基本方程。泛函极值的必要条件是积分函数要满足欧拉方程，即欧拉方程成立，也就是说，上述是积分函数要满足欧拉方程，即欧拉方程成立，也就是说，上述定积分泛函的极值问题等价于欧拉方程。定积分泛函的极值问题等价于欧拉方程。对于一个多变量泛函，可以用多个欧拉方程分量表示，而欧拉方程对于一个多变量泛函，可以用多个欧拉方程分量表示，而欧拉方程等价于牛顿运动方程，即变分问题与牛顿运动方程是等价的。等价于牛顿运动方程，即变分问题与牛顿运动方程是等价的。)(x 电子光学第二章(Kang) P.43最小作用原理最小作用原理n哈密顿原理哈密顿原理将积分函数将积分函数F换成拉格朗日函数

32、，对应的变分问题为：换成拉格朗日函数，对应的变分问题为：1012312301123( , , , , , , )0, , ,ttL t q q q q q q dttt ttq q q 当时取固定值对应的欧拉方程为：对应的欧拉方程为：112233000dFFdtqqdFFdtqqdFFdtqq 电子光学第二章(Kang) P.44最小作用原理最小作用原理n哈密顿原理哈密顿原理n将拉格朗日函数带入到变分式中，即得到电磁场中粒子运动的哈密顿原理：将拉格朗日函数带入到变分式中，即得到电磁场中粒子运动的哈密顿原理：0)2(1020dtAeeUmttn显然哈密顿原理中的积分函数是显然哈密顿原理中的积分函

33、数是能量能量形式，满足哈密顿原理，表示在各种运动形式，满足哈密顿原理，表示在各种运动形式中，应满足能量最小。形式中，应满足能量最小。n哈密顿原理中的积分变量为哈密顿原理中的积分变量为时间函数时间函数，它表示粒子运动与时间坐标的关系，因，它表示粒子运动与时间坐标的关系，因此它对应的是运动方程，而对电子运动的规律研究，我们更感兴趣的是粒子运此它对应的是运动方程，而对电子运动的规律研究，我们更感兴趣的是粒子运动的轨迹，因此希望泛函积分中的时间坐标换为空间的坐标。动的轨迹，因此希望泛函积分中的时间坐标换为空间的坐标。 电子光学第二章(Kang) P.45最小作用原理最小作用原理n最小作用原理最小作用原

34、理n根据哈密顿原理，带电粒子在电磁场中的运动可以用下式表示：根据哈密顿原理，带电粒子在电磁场中的运动可以用下式表示：21ttLdt式中式中LTUM为拉格朗日函数为拉格朗日函数 iiLpqiiieApP可以定义广义动量可以定义广义动量P为为(分量分量pi,i=1,2,3)因此，广义动量因此，广义动量P也可以表示为也可以表示为 电子光学第二章(Kang) P.46最小作用原理最小作用原理n最小作用原理最小作用原理r20prmeAeUrmLrpW2210)(10dtLrptt用速度矢量用速度矢量总能量为总能量为点乘上式两边，可以得到点乘上式两边，可以得到常数常数因此，由于上式等于常数，满足变分为零的

35、条件，即可以表示为：因此，由于上式等于常数，满足变分为零的条件，即可以表示为： 电子光学第二章(Kang) P.47最小作用原理最小作用原理n最小作用原理最小作用原理01010ttttLdtdtrp010ttLdtrdtds010010ppttdsspdtrp10000()0 p=m v= -2em U*pppeA sds而第一式而第一式此式表示此式表示最小作用原理最小作用原理。可以写成两个变分的和可以写成两个变分的和而第二式由哈密顿原理可知，为零而第二式由哈密顿原理可知，为零，因此，上式可以写为，因此，上式可以写为将广义动量带入将广义动量带入 电子光学第二章(Kang) P.48最小作用原理

36、最小作用原理n最小作用原理最小作用原理最小作用原理中的被积函数为动量，积分元是弧长。即，最小作用原理是将哈密顿最小作用原理中的被积函数为动量，积分元是弧长。即，最小作用原理是将哈密顿原理的一个能量对时间的积分求极值问题，变换成一个动量对弧长积分的求极值原理的一个能量对时间的积分求极值问题，变换成一个动量对弧长积分的求极值问题，是完全等价的。问题，是完全等价的。 电子光学第二章(Kang) P.49最小作用原理最小作用原理n轨迹的相似性原理轨迹的相似性原理已知带电粒子在电磁场中运动，可以用最小作用原理表示，将被积函数用已知带电粒子在电磁场中运动，可以用最小作用原理表示，将被积函数用广义动量表示，

37、最小作用原理可以表示为：广义动量表示，最小作用原理可以表示为：0)2(1000ppdsseAUem100ppU ds当只有电场时，上式可以简化为当只有电场时，上式可以简化为由于最小作用原理与带电粒子的运动方程是等价的，因此，可以利用由于最小作用原理与带电粒子的运动方程是等价的，因此，可以利用最小作用原理的形式讨论带电粒子运动的规律和具有的性质：最小作用原理的形式讨论带电粒子运动的规律和具有的性质： 电子光学第二章(Kang) P.50最小作用原理最小作用原理n轨迹的相似性原理轨迹的相似性原理0(10ppdsUme0)2(1000ppdsseAUemme1.轨迹与荷质比的关系轨迹与荷质比的关系在

38、不存在磁场的电场中，被积函数不含粒子质量和电荷，即在不存在磁场的电场中，被积函数不含粒子质量和电荷，即可以看出，对于不同类型的带电粒子，上式不变，即轨迹相同，也就是说，可以看出，对于不同类型的带电粒子，上式不变，即轨迹相同，也就是说，不管粒子的质量和电荷的大小，轨迹是一样的，即，带电粒子在静电场中不管粒子的质量和电荷的大小，轨迹是一样的，即，带电粒子在静电场中运动轨迹与粒子的荷质比运动轨迹与粒子的荷质比 无关。无关。但有磁场时，最小作用原理表示为：但有磁场时，最小作用原理表示为：可以看出轨迹与荷质比可以看出轨迹与荷质比有关，荷质比越大，磁场的作用越强。有关，荷质比越大，磁场的作用越强。 电子光

39、学第二章(Kang) P.51最小作用原理最小作用原理n轨迹的相似性原理轨迹的相似性原理2.轨迹与电磁场大小成比例变化无关轨迹与电磁场大小成比例变化无关 当仅存在当仅存在电场电场时，将最小作用原理的被积函数乘以一个常数，不影响变分时，将最小作用原理的被积函数乘以一个常数，不影响变分为为0条件的成立，说明，当电场增大或减小条件的成立，说明，当电场增大或减小K倍时，被积函数不变，即轨迹不变。倍时，被积函数不变，即轨迹不变。 当有当有磁场磁场时，将式写成如下形式：时，将式写成如下形式： 0)21 (1000ppdssAUmeK可以看出，电场变化可以看出，电场变化K倍，磁场需要变化倍，磁场需要变化倍，

40、可以使轨迹保持不变倍，可以使轨迹保持不变。 电子光学第二章(Kang) P.52最小作用原理最小作用原理n轨迹的相似性原理轨迹的相似性原理3.几何尺寸变化，轨迹形状不变，几何尺寸变化，轨迹形状不变，当电场和磁场的相对分布不变，只是几何尺寸变化时，可以表示为：当电场和磁场的相对分布不变，只是几何尺寸变化时，可以表示为：轨迹与电磁场大小成比例变化无关轨迹与电磁场大小成比例变化无关),(zyxU),(zyxA),(KzKyKxU),(KzKyKxA xKx yKy zKz dsKds0)2(1000ppdsseAUem，变换为变换为如果令坐标变量为如果令坐标变量为，那么，微分弧元那么，微分弧元，代入

41、变分中，有，代入变分中，有成立，可以说明尺寸变化同样倍数，但分布不变时，轨迹形状不变。成立，可以说明尺寸变化同样倍数，但分布不变时，轨迹形状不变。 电子光学 第二章 (Kang) P.53提纲提纲n引言引言n牛顿运动方程牛顿运动方程n拉格朗日方程拉格朗日方程n最小作用原理最小作用原理n电子运动的波动性质电子运动的波动性质n折射率与轨迹方程折射率与轨迹方程 电子光学第二章(Kang) P.54折射率与轨迹方程折射率与轨迹方程n折射率折射率上节证明了最小作用原理与运动方程的等价性，即可以采用最小作用原理描述上节证明了最小作用原理与运动方程的等价性，即可以采用最小作用原理描述一个带电粒子的运动轨迹。

42、一个带电粒子的运动轨迹。本节证明，描述力学问题中带电粒子运动问题最小作用原理形式相似于光线光学本节证明，描述力学问题中带电粒子运动问题最小作用原理形式相似于光线光学中的费马原理，从而将带电粒子运动轨迹表现形式与光线光学轨迹的表现形式中的费马原理，从而将带电粒子运动轨迹表现形式与光线光学轨迹的表现形式统一起来。统一起来。 电子光学第二章(Kang) P.55折射率与轨迹方程折射率与轨迹方程n折射率折射率12211sinsinnn121n2n和和分别为入射角和反射角，分别为入射角和反射角，为折射角，为折射角，和和已知光线光学的基础是折射和反射定律：已知光线光学的基础是折射和反射定律：其中其中分别为

43、两个介质的折射率，可以证明沿折射分别为两个介质的折射率，可以证明沿折射-反射定律的实际光线反射定律的实际光线路程，光的传播时间最短；路程，光的传播时间最短； 电子光学第二章(Kang) P.56折射率与轨迹方程折射率与轨迹方程n折射率折射率)(2011210OPOPcnOPOP12ncOPcnOPcnOPOP12012110和和为两种媒质中传播的相速度，为两种媒质中传播的相速度，光反射情况下：光反射情况下：折射光程所需时间：折射光程所需时间： 电子光学第二章(Kang) P.57折射率与轨迹方程折射率与轨迹方程n折射率折射率n可以说明，入射光程和反射光程为最短直线距离，所需时间最短，即光的可以

44、说明，入射光程和反射光程为最短直线距离，所需时间最短，即光的传播时间为最短距离所需时间，右边等于最短距离比相速，既时间；左边传播时间为最短距离所需时间，右边等于最短距离比相速，既时间；左边为每段光线的时间为每段光线的时间n一般情况下由下式表示：一般情况下由下式表示：iiilcn最小 电子光学第二章(Kang) P.58折射率与轨迹方程折射率与轨迹方程n折射率折射率10PPnds100PPnds用积分表示为用积分表示为最小，即最小，即此式为费马原理，此式中的折射率表示为连续变化的函数。此式为费马原理，此式中的折射率表示为连续变化的函数。该式与电子光学中最小作用原理一致，因此可以用光学传播的概该式

45、与电子光学中最小作用原理一致，因此可以用光学传播的概念来描述带电粒子的运动规律念来描述带电粒子的运动规律这是电子光学建立的理论基础。这是电子光学建立的理论基础。 电子光学第二章(Kang) P.59折射率与轨迹方程折射率与轨迹方程n折射率折射率002seAUemnr20*(1*)2reUUUm cUn 2211sinsin2211sinsinUU通过类比的方法得到电子光学的折射率为通过类比的方法得到电子光学的折射率为其中其中低速静电场中运动时，折射率表示可以简化为低速静电场中运动时，折射率表示可以简化为电子光学折射定律为电子光学折射定律为 电子光学第二章(Kang) P.60折射率与轨迹方程折

46、射率与轨迹方程n折射率折射率但电子光学中建立类似的棱镜是困难的，因为，棱镜需要电子透明且电位要有但电子光学中建立类似的棱镜是困难的，因为，棱镜需要电子透明且电位要有突变界面，而制作突变界面工艺上是困难的，因此建立对电子透明的、电位突突变界面，而制作突变界面工艺上是困难的，因此建立对电子透明的、电位突变的电子棱镜将是非常有意义的研究方向。变的电子棱镜将是非常有意义的研究方向。 电子光学第二章(Kang) P.61折射率与轨迹方程折射率与轨迹方程n轨迹方程轨迹方程利用折射率，从最小作用原理可以直接得到粒子轨迹方程利用折射率，从最小作用原理可以直接得到粒子轨迹方程0),( dsqqnii0iiqnq

47、ndsdi从最小作用原理或费马原理得到从最小作用原理或费马原理得到等价的欧拉方程为：等价的欧拉方程为：1，2，3 电子光学第二章(Kang) P.62折射率与轨迹方程折射率与轨迹方程n轨迹方程轨迹方程其中其中iqdzyxds2211010221zzzzdzdzyxndsn0 xxdzd0yydzd表示对弧长求导函数，如果将表示对弧长求导函数，如果将z坐标作为自变量，将坐标作为自变量，将代入方程中可得到代入方程中可得到对应的欧拉方程为对应的欧拉方程为 电子光学第二章(Kang) P.63折射率与轨迹方程折射率与轨迹方程n轨迹方程轨迹方程折射率为折射率为2201)2(yxsAUdsdzAdsdyA

48、dsdxAsAzyx0221yxdzds其中，其中， 电子光学第二章(Kang) P.64折射率与轨迹方程折射率与轨迹方程n轨迹方程轨迹方程22( 2(1)()xyzdxdydz dsUxyAAAdsdsds dz)()1 (222zyxAyAxAyxU1222xAxyxUdzdxdzd)()1 (222xAxAyxAxxUyxUxzyx展开后折射率展开后折射率带入欧拉方程得到轨迹方程为：带入欧拉方程得到轨迹方程为： 电子光学第二章(Kang) P.64折射率与轨迹方程折射率与轨迹方程n轨迹方程轨迹方程)()1 (222xAxAyxAxxUyxUzyx222=1xdUxAdzxy)()1 (2

49、22yAyAyyAxyUyxUzyx222=1ydUyAdzxy另一个分量方程为： 电子光学 第二章 (Kang) P.65提纲提纲n引言引言n牛顿运动方程牛顿运动方程n拉格朗日方程拉格朗日方程n最小作用原理最小作用原理n折射率与轨迹方程折射率与轨迹方程n电子运动的波动性质电子运动的波动性质 电子光学第二章(Kang) P.67电子运动的波动性质电子运动的波动性质n带电粒子的波动性带电粒子的波动性n圆孔夫琅和费衍射圆孔夫琅和费衍射 电子光学第二章(Kang) P.68电子运动的波动性质电子运动的波动性质n带电粒子的波动性带电粒子的波动性n前面讨论的电子光学原理，基于带电粒子的粒子性，采用的质点

50、动力学方法前面讨论的电子光学原理，基于带电粒子的粒子性，采用的质点动力学方法描述带电粒子在电磁场中的运动规律。描述带电粒子在电磁场中的运动规律。n如同几何光学一样，在电子光学中存在着几何像差，但几何像差不能解释电如同几何光学一样，在电子光学中存在着几何像差，但几何像差不能解释电子光学仪器的局限分辨率，这是由于电子除了与线形光学一样的折射、反射子光学仪器的局限分辨率，这是由于电子除了与线形光学一样的折射、反射规律外，它同样具备干涉、衍射、偏正等现象，即具有另一个重要的性质规律外，它同样具备干涉、衍射、偏正等现象，即具有另一个重要的性质波动波动现象。现象。 电子光学第二章(Kang) P.69电子

51、运动的波动性质电子运动的波动性质n带电粒子的波动性带电粒子的波动性n目前，高分辨电子光学系统分辨率已经达到原子尺度，但是由于电子透镜的球目前，高分辨电子光学系统分辨率已经达到原子尺度，但是由于电子透镜的球差不能克服，使用的光阑孔径非常小，所以衍射效应是影响系统分辨率的首要因素差不能克服，使用的光阑孔径非常小，所以衍射效应是影响系统分辨率的首要因素之一。之一。n研究高分辨电子像的形成和电子光学系统传递函数问题、电子离子与物质的研究高分辨电子像的形成和电子光学系统传递函数问题、电子离子与物质的散射作用及其与物质微观结构的问题，利用衍射图样研究物质结构以及电子全息散射作用及其与物质微观结构的问题，利

52、用衍射图样研究物质结构以及电子全息 技术等问题，都要把电子离子运动作为波动过程处理。技术等问题，都要把电子离子运动作为波动过程处理。 电子光学第二章(Kang) P.70电子运动的波动性质电子运动的波动性质n带电粒子的波动性带电粒子的波动性研究带电粒子的波动性，基础自然是量子力学。但是对于粒子在自由空间的运动研究带电粒子的波动性，基础自然是量子力学。但是对于粒子在自由空间的运动可以类似与波动光学，用惠根斯可以类似与波动光学，用惠根斯-菲涅尔原理处理。菲涅尔原理处理。自由电子和离子运动，可以视为德布罗意波，其动量、能量和波动参量的关系为：自由电子和离子运动，可以视为德布罗意波，其动量、能量和波动

53、参量的关系为：Eh hpk式中式中 h为普朗克常量，为普朗克常量，。为波动频率。为波动频率。=2为角频率。为角频率。2h为波长，为波长，k =2/,波数。波数。 电子光学第二章(Kang) P.71电子运动的波动性质电子运动的波动性质n带电粒子的波动性带电粒子的波动性带电粒子的波长为：带电粒子的波长为：0hm低速运动粒子低速运动粒子2201hvmc相对论速度运动粒子相对论速度运动粒子考虑到带电粒子的能量和速度完全由加速电位决定，上式可写为：考虑到带电粒子的能量和速度完全由加速电位决定，上式可写为：02*hem U低速运动粒子低速运动粒子020*/2*(1)2eUhem Um c相对论速度运动粒

54、子相对论速度运动粒子 电子光学第二章(Kang) P.72电子运动的波动性质电子运动的波动性质n带电粒子的波动性带电粒子的波动性对于电子，代入各个常数，可得对于电子，代入各个常数，可得6r1.225/ nm U(1 0.983*10*)rUU5*10U 0.0037nm伏特时，波长伏特时，波长由此可见，电子波长比可见光短几个数量级，具有更高的分辨率。对于离子，由此可见，电子波长比可见光短几个数量级，具有更高的分辨率。对于离子，其质量比电子重得多，其波长还要短很多。其质量比电子重得多，其波长还要短很多。举例：当举例：当 电子光学第二章(Kang) P.73电子运动的波动性质电子运动的波动性质n圆

55、孔夫琅和费衍射圆孔夫琅和费衍射当平行电子束通过一个圆孔光阑时，在光阑后面的屏幕上，出现明暗交替当平行电子束通过一个圆孔光阑时，在光阑后面的屏幕上，出现明暗交替的圆环条纹，这就是圆孔光阑的夫琅和费衍射现象。的圆环条纹，这就是圆孔光阑的夫琅和费衍射现象。图图 2.2 2.2 圆孔衍射圆孔衍射 电子光学第二章(Kang) P.74电子运动的波动性质电子运动的波动性质n圆孔夫琅和费衍射圆孔夫琅和费衍射在自由空间，可不用解薛定谔方程，而近似的利用惠根斯在自由空间，可不用解薛定谔方程，而近似的利用惠根斯-菲涅尔原理。菲涅尔原理。 根据惠更斯假说，波阵面上的每一个点均可看成产生球面子波的次级根据惠更斯假说，波阵面上的每一个点均可看成产生球面子波的次级波源，以后任何时刻的波阵面都是由这些子波所形成的包络。波源，以后任何时刻的波阵面都是由这些子波所形成的包络。 菲涅尔补充道：假定这些次级波相互干涉，说明了衍射现象。菲涅尔补充道：假定这些