多维随机变量及其分布课件

1、第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布3.4 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布 在第二章中，我们讨论了一维在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论步讨论: 当随机变量当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何的联合分布已知时，如何求出它们的函数求出它们的函数Z = g ( X, Y ) 的分布的分布? 例例1 已知已知(X, Y) 的联合分布的联合分布见右表，求见右表，求 （1）Z1 = X+Y 的概率分布的概率分布; （2）Z2 = X- Y 的概率分布的概率分布. 解解 由由(X,Y)的分布可得的分布

2、可得: 1/8 0 3/8 2/8 2/8 0-1 2 0 1 3XYp00(X,Y)(-1,0)(-1,1)(-1,3)(2,0)(2,1)(2,3)X+Y-102235X-Y-1-2-421-181838282 去掉概率为去掉概率为0的值，并将相同函数值对应的概率求和，的值，并将相同函数值对应的概率求和，从而得到：从而得到：一、离散型随机向量函数的分布一、离散型随机向量函数的分布 (1) Z1=X+Y的分布为的分布为 Z1=X+Y-123P81858582Z2=X-Y-4-112P(2) Z2=X-Y的分布为的分布为 83818282 一般地，如果一般地，如果(X, Y)的概率分布为的概率

3、分布为），（，21jipyYxXPijii记记zk(k=1,2,)为为Z=g(X,Y)的所有可能的取值，则的所有可能的取值，则Z的的概率分布为概率分布为 (, )kkP ZzP g X Yz()1 2ijkijg xyzP Xx Yyk，,， 例例2 若若 X、Y 独立，独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求 Z=X+Y 的概率函数的概率函数.解解 )()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由独立性由独立性r=0,1,2, 解解 依题意依题意 riirYiXP

4、rZP0),()( 例例3 若若 X 和和 Y 相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为的泊松分布的泊松分布, 证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为于是于是i = 0 , 1 , 2 , j = 0 , 1 , 2 , !)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 12, 12 的泊松分布的泊松分布.riirYiXPrZP0),()( ri 0i)!-(rei!ei - r2-i1-21 rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rrer = 0 , 1 , 即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.12 i)!-(ri!r!Cirq

5、设设 X B (n1, p), Y B (n2, p), 且独立，且独立，具有可加性的两个离散分布具有可加性的两个离散分布q 设设 X P ( 1), Y P ( 2), 且独立，且独立，则则 X + Y B ( n1+n2, p)则则 X + Y P( 1+ 2) 若若X B(n1,p),则则X 是在是在n1次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A出现出现的次数的次数,每次试验中每次试验中A出现的概率都为出现的概率都为p.同样，同样，Y是在是在n2次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A出现的次数出现的次数,每每次试验中次试验中A出现的概率为出现的概率为p. 故故Z=X+Y 是在是在n1

6、+n2次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A出现的次出现的次数，每次试验中数，每次试验中A出现的概率为出现的概率为p，于是，于是Z是以（是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量，即为参数的二项随机变量，即Z B(n1+n2, p).二、连续型随机变量函数的概率分布二、连续型随机变量函数的概率分布1. 已知已知(X,Y) f(x,y)，求，求Z = (X,Y)的概率分布的概率分布. ),()(zYXPzZPzFZ若若Z为连续型随机变量为连续型随机变量,则在则在f(z)的连续点处的连续点处)( )(zFzfZZ zyxdxdyyxf),(),( .),0(), 0( , 222的概率密度的概

7、率密度求求且均服从且均服从相互独立相互独立已知已知YXZNYX 2222exp21)(), 0( xxfNXX 解解 22222exp21),( yxyxf 2222exp21)(), 0( yyfNYY例例1X,Y相互独立相互独立).(),(zfzFZZ设设Z的分布函数和概率密度分别为的分布函数和概率密度分别为0)(,0 zFzZ时时当当22YXZ )(,0zZPzFzZ 时时当当22zYXP zyxdxdyyxf22),(,0时时当当 z zyxZdxdyyxzF2222222exp21)( sincosryrx zrdrdrr 2exp21222222exp1z 其其它它 , 00,2e

8、xp1)(22zzzFZ 其其它它 , 00,2exp)(222zzzzfZ .)()0(分分布布的的瑞瑞利利服服从从参参数数为为RayleighZ 例例2 已知已知(X,Y) f(x, y)，求求Z=X+Y的概率密度的概率密度., ba 对对任任意意解解1)(bZaP )(bYXaP byxadxdyyxf),(dxdyyxfxbxa),( )(xyz 令令dxdzxzxfba),( dzdxxzxfba ),(xyoayxbyx)(bZaP dzdxxzxfba ),(由概率密度的定义可知，由概率密度的定义可知，Z=X+Y的概率的概率密度为密度为dxxzxfzfZ),()( 例例2 已知已

9、知(X,Y) f(x, y)，求求Z=X+Y的概率密度的概率密度., ba 对对任任意意解解2)(bZaP )(bYXaP byxadxdyyxf),(dydxyxfybya),( )(yxz 令令dydzyyzfba),( dzdyyyzfba ),(xyoayxbyx)(bZaP 由概率密度的定义可知，由概率密度的定义可知，Z=X+Y的概率的概率密度为密度为 dyyyzfzfZ),()(dzdyyyzfba ),(dyyyzfzfZ),()(dxxzxfzfZ),()(推论推论 设设(X,Y)关于关于X,Y的边缘密度分别为的边缘密度分别为fX(x) , fY(y). 若若X和和Y独立独立,

10、 则则 dxxzfxfzfYXZ)()()( dyyfyzfzfYXZ)()()(两个随机变量和的概率密度的一般公式两个随机变量和的概率密度的一般公式卷积公式卷积公式为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为 0 的区域的区域 例例3 若若 X 和和Y 独立独立, 具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度 .其它, 010, 1)(xxfdxxzfxfzfYXZ)()()(解解 由卷积公式由卷积公式1010 xzx也即也即zxzx110zx zxOz1zx211zz1z 暂时固定暂时固定 0.Zfz 故故 当当 或或 时时 ,0z 2z

11、 0zZfzdx 当当 时时 ,01z 12z 当当 时时 ,z 11Zzfzdx 2 z 于是于是 ,01,2,12,0 ,.Zzzfzzz 其其它它dxxzfxfzfYXZ)()()(zxzx110 例例4 若若X和和Y 是两个相互是两个相互独立独立的随机变量的随机变量 , 具具有相同的分布有相同的分布 N(0,1) , 求求 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.dxxzfxfzfYXZ)()()(解解 由卷积公式由卷积公式 222212z xxeedx 22()4212zzxeedx 22()212zxzxeedx 令令,2ztx22412zteedt 2412ze 2222122ze 可

12、见可见 Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2).用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明: ),(222121NYXZ 若若X和和Y 独立独立,),(),(222211NYNX 结论又如何呢结论又如何呢? 此结论此结论可以推广到可以推广到n个独立随机变量之和的情形个独立随机变量之和的情形. 若若X和和Y 独立独立 , 具有相同的分布具有相同的分布 N(0,1) , 则则Z=X+Y 服从正态分布服从正态分布 N(0,2). 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布分布.2iiiNX，相互独立，如果随机变量nXXX21，令：niiiXaZ1n

13、i，21 niiiniiiaaNZ1221 ，则则个实常数，为，又naaan21 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布分布.q 若(X ,Y );,;,(222211N则)2,(22212121NYX 特别特别, 若若X1,X2, .Xn独立同正态分布独立同正态分布N(,2) ,niiXnX1,1)n,(NX2则则记记:相相互互独独立立，且且与与特特殊殊地地：如如果果随随机机变变量量YX ，nYmX22 ，YXZnmZ2则.,), 2 , 1(,12121分布分布的的服从参数为服从参数为则则分布分布的的服从参数为服从参数为且且相互独立相互独立若若

14、 XXXniXXXXniiniin三、三、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 设设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为布函数分别为FX(x) 和和 FY(y),我们来求我们来求 M = max(X,Y) 及及 N = min(X,Y) 的分布函数的分布函数.FM(z)=P(Mz)=P(Xz,Yz)由于由于 X 和和 Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到 M = max(X,Y) 的分的分布函数为布函数为: =P(Xz)P(Yz)FM(z)1. M = max(X,Y) 的分布函数的分布函数即有即有 FM(z)= FX

15、(z)FY(z) Mz XzYz 即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1- -P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1- -P(Nz)2. N = min(X,Y) 的分布函数的分布函数Nz XzYz 由于由于 X 和和 Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到 N = min(X,Y) 的分布的分布函数为函数为: =1- - P(Xz)P(Yz)FN(z).zYzXP 或或 设设 X1,Xn 是是 n 个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们的它们的分布函数分别为分布函数分别为 我们来求我们来求 M=max(X1,Xn) 和和N=min(X1,Xn)的分布函数的

16、分布函数.(i = 1, , n) 用与二维时完全类似的方法，可得用与二维时完全类似的方法，可得 N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为: 12nMXXXFzFz FzFz 121111nNXXXFzFzFzFz iXFz 特别地，当特别地，当X1,Xn相互独立且具有相同分相互独立且具有相同分布函数布函数F(x)时，有时，有 nMFzF z 1 1nNFzF z 例例5 设系统设系统 L 由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统 连接而成连接而成,连接的方式分别为连接的方式分别为 (i) 串联串联, (ii) 并联并联, (iii

17、)备用备用 (当系统当系统 损坏时损坏时, 系统系统 开始工作开始工作) , 如下图如下图所示所示.设设 的寿命分别为的寿命分别为 已知它们的概已知它们的概率密度分别为率密度分别为12,L L12,L L1L2L, ,X Y ,0 ,0 ,0 ,xXexfxx ,0 ,0 ,0 ,yYeyfyy 0,0 其中其中 且且 试分别就以上三种连接方试分别就以上三种连接方式写出式写出 的寿命的寿命 的概率密度的概率密度. LZXY1L2LXY1L2L1LXY2LXY1L2L解解 (i) 串联的情况串联的情况 由于当系统由于当系统 中有一个损坏时中有一个损坏时, 系统系统 L 就停就停止工作止工作,12

18、,L L所以此时所以此时 L 的寿命为的寿命为 min,ZX Y ,0 ,0 ,0 ,xXexfxx 因为因为 X 的概率密度为的概率密度为所以所以 X 的分布函数为的分布函数为 xXXFxft dt xXXFxft dt x0 xx 0 xXFxdt 0 当当 x 0 时时 ,1xe 当当 x 0 时时 , 1,0 ,0 ,0 ,xXexFxx 故故 类似地类似地 , 1,0 ,0 ,0 ,yYeyFyy 可求得可求得 Y 的分布函数为的分布函数为 ,0 ,0 ,0 ,xXexfxx xatXdtaeodtxF00)(于是于是 的分布函数为的分布函数为 min,ZX Y = 1-1-FX(z

19、)1-FY(z) minFz()1,0 ,0 ,0 , zezz 的概率密度为的概率密度为 min,ZX Y (),0 ,0 ,0 , z ezz minminfzFz 1,0 ,0 ,0 ,xXexFxx 1,0 ,0 ,0 ,yYeyFyy XY1L2L(ii) 并联的情况并联的情况 由于当且仅当系统由于当且仅当系统 都损坏时都损坏时, 系统系统 L 才停才停止工作止工作,12,L L所以此时所以此时 L 的寿命为的寿命为 max,ZX Y 故故 的分布函数为的分布函数为 max,ZX Y (1)(1) ,0 ,0 ,0 ,zzeezz 1,0 ,0 ,0 ,xXexFxx 1,0 ,0 ,0 ,yYeyFyy FZ(z)= FX(z)FY(z) 于是于是 的概率密度为的概率密度为 max,ZX Y . 0, 0, 0,e )(ee)()(maxzzzfzzzXY1L2L(iii) 备用的情况备用的情况因此整个系统因此整个系统 L 的寿命为的寿命为 由于当系统由于当系统 损坏时损坏时, 系统系统 才开始工作才开始工作,1L2LZXY ,0 ,0 ,0 ,xXexfxx ,0 ,0 ,0 ,yYeyfyy dyyfyzfzfYXZ)()()(当且仅当当且仅当0,0,yzy 0yz即即 时时,上述积分的