2020届江西省赣州市高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 2323 页2020 届江西省赣州市高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1.已知集合A x|x22x 3 0, B xA A.x| 1 x 2N | 2 x 2，则ERA I B()B B.x | 2 x 3C C.1,0,1【答案】A AD D.0,1【解析】由题可知，解一元二次方程x22x 30可求出集合A，然后可求出ERA,再与B取交集即可因为：x22x30 所以：x 1或x3所以：A xx1 或 x 3，得ERAx1 x 3又因为 : :B x2x2. .所以：ERABx1x 2. .【详解】故选 A A【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算，还结合解一元二次不等

2、式求解集2 2 .在复平面中，复数z的共轭复数z所对应的点位于（3 4i)A A .第一象限B B.第二象限C C.第三象限D D .第四象限【答案】C C【解析】由复数代数形式的除法运算化简复数z z，求出Z，得到对应点坐标，即可得所在象限 【详解】因为复数zii匕上一3 4i 3 4i 3 4i4 3i25第2 2页共 2323 页第3 3页共 2323 页故选: :C.C.【点睛】J J 几何意义，运用复数除法运算，以及共轭复数和复平面中对应的 坐标所在象限. .3 3 .下图是相关变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据可比较出【详解】由散点图分布图可知，变量x

3、和y成正相关，所以0 r11,0 r21, 在剔除点(10,32)之后， 且可看出回归直线? dx a2的线性相关程度更强，G G 更接近 1.1.所以0” r21. .故选: :A.A.【点睛】本题主要考查散点图的正负相关以及变量的相关性，相关系数r的意义：当散点分布得z253 .25i所以z43 .i 25 25z的对应点为425325,位于第三象限. .本题主要考查复数的图中所有数据，得到线性回归方程:? bixai，相关系数为ri；方案二：剔除点(10,32)，根据剩下数据，得到线性回归方程:b?x a2,相关系数为5；则(4020【答【解riAr20:x15 STr11由散点图可判断

4、正负相关，得出ri,r2为正，再结合剔除点前后的回归直线，即第4 4页共 2323 页呈正相关，r 0；负相关，r 0:0 |r| 1,|r|越接近 1 1,说明两个变量越具有线性相关关系，即线性关系越强 4 4.若a2log30.2,b30.2,clog30.2，则下列结论正确的是（）A A.c b aB B.b a cC C. a a b b c cD D.b c a【答案】B B【解析】根据指对数函数的单调性化简， 与中间值 0 0 和 1 1 比较，即可比较出a,b,c的大小. .【详解】因为a 2log30.2，而log30.2 logsl 0. .所以a 2log30.2201，即

5、0 a 1, ,b 302301, ,即b 1. .c logs。2 log31 0. .综上得: :b a c. .故选: :B.B.【点睛】本题主要考查指对数函数比较大小，结合函数单调性和取中间值来比较大小2 .y 2x 4y 40的圆心，贝U C的离心率为（C C.10【答案】A A2 2【解析】由题可知，先求出双曲线的标准形式-y7 1，进而得出渐近线方程，带25 5.已知双曲线C：ax24（a 0）的一条渐近线经过圆第5 5页共 2323 页4a 4入圆心（1,2），求出a,b,c，带入离心率公式即可得结果【详解】2 2 2因为双曲线C:x24(a0)，所以 出 1,a4a 4第6

6、6页共 2323 页a即焦点在y轴上的双曲线，a 2a,b 2，则渐近线方程yx ax,b圆P :x2y22x 4y 4 0,得(x 1)2(y 2)21，圆心为(1,2)，半径为 1 1,由于渐近线经过圆的圆心(1,2)，圆心在第一象限，带入y ax得a 2, a 4，又因为：c2a2b2，得c 2一5，离心率e e 乙5 5 5. .a42故选: :A.A.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及渐近线方程，离心率等，运用双曲线的相关性质特点,同时还考查圆的一般方程化为标准方程，圆的圆心和半径6 6.函数f(x) 2x2xsin x的图像可能是()【答案】C C【解析】观察四个图像，找出图像

7、间的区别，根据判断奇偶性和零点，即可排除得出答【详解】因为f (x)2x2xsinx所以f x2xx2 sin xxx2 2sin x即fx f x,所以f x是偶函数排除A A 和 D D 选项. .令fx 0. .即2xx2 sin x0. .则2xx20 x0或sin x0,x k,当k 0时，x 0,即fx图像过原点,排除 B B故选: :c.c.A A.C C.D D.第7 7页共 2323 页【点睛】本题考查了函数的性质与图像的识别，一般可根据奇偶性，单调性，零点等即采取性质 法和特殊值法，利用数形结合思想解题. .7 7.函数f（x） 2sin（ x ）0,|的图像如图所示，为了

8、得到函数2y 2cos（ x）的图像，只需将函数f f（x x）的图像（）5【解析】由函数图像可看出点（0,1）和点,0在图像上，分别代入求得和，可12得函数的解析式，再利用三角函数图像变换规律和诱导公式，求得结论【详解】根据函数f (x)2si n( x )0,| |2的部分图像可看出：点（0,1）在图像上，代入得2si n1，得n6故f（X）2si nx ，又因为点,0也在图像上，有2si n-06121265所以5k ,kZ,126T5T612因为0,_ 当i k 1时，解得2,412 255所以f(x) 2sin 2x 6将f（x）2sin 2x6图像向左平移 6 6 个单位，A A

9、向右平移3个单位C C.向左平移一个单位3【答案】D DB B .向右平移訂单位D D .向左平移 6 6 个单位第8 8页共 2323 页可得y sin 2sin x sin 2x cos2x，即得到函数y 2cos2x6 6 2故选: :D.D.【点睛】本题考查由图像求三角函数解析式，以及y y AsinAsin（ x x）的图像变换规律和诱导公式相结合. .8 8 我国古代数学著作九章算术有如下问题：今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米三升 问米几何？ ”如图是解决问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S 3（单位：升），则输入的k的值为（）A A. 9 9

10、B B. 1212C C. 1515D D. 1818【答案】B B模拟程序的运行，可得 n n 1,S1,Sk k满足条件n4，执行循环体，n 2,Skk k22，k满足条件n4，执行循环体，n 3, Sk2k,233k满足条件n4，执行循环体，n 4,Sk3k,【详解】344丁/7【解析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到n,S的值，当n 4时，不满足条件n 4，退出循环，输出S的值为即可解得k的值. .2第9 9页共 2323 页k此时，不满足条件n 4，退出循环，输出S的值为，4k由题意可得：3解得：k 12. .4故选: :B.B.【点睛】本题考查程序框图，结合数学文化去理解分析，

11、属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.9 9 在VABC中，角A, B,C的对边分别是a,b,c,VABC的面积为S, b b 2 2 3 3 且S诗a2c2b2，则VABC的面积S的最大值为()A A 33C C 6 3込【答案】C C【解析】由已知及余弦定理可得tan B ，解得 B B ,再利用基本不等式可求得36ac 12(2 . 3)，根据三角形的面积公式即可求解 【详解】因为 b b 2 2 3 3,S a2c2b2，得：Sa2c21212 12又由余弦定理：b2a2c22accosB，即a2c22accosB 12则a2c22ac cos B 12，所以又因为a2c22a

12、ccos B 12，即a2c2- 3ac 12解得：-cos B sin B，得tan B-，所以B-336因为Sacsin B(2accosB 12 12)accosBacsin B2acsinB - ac,24S12又因为三角形面积公式6第1010页共 2323 页又由基本不等式：a c 2ac,a2c2, 3ac (2、3)ac，即12 (2、3)ac,12 _得ac.12(2.3). .2罷11所以S ac 12(2 X 3)6 3 3,44当且仅当a c时，S的最大值为63., 3. .故选: :C.C.【点睛】本题考查余弦运用余弦定理和基本不等式，求得三角形面积的最值，同时还考查学

13、生的数据处理和综合分析能力1210-已知点P1,訂抛物线C:x 2y，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,卄uuu右PAPB，则直线斜率A A . 4 4B B.3 3【答案】D D【解析】由题可先求出焦点坐标为0,2程组得：2x22kx 10，可得韦达定理,率k. .【详解】k为（ ）C C. 2 2D D . 1 1,可得直线AB的方程，直线与抛物线联立方再根据UPA结合韦达定理，计算出斜21因为抛物线C：x2y，焦点坐标为0,11则过焦点的直线AB的方程为：y kx -,2x22y设A x,% ,B X2y联立1消去y得：x22kx 1 0,y kx 2所以：捲X22k,

14、X1X21mauuuuuu uuu又因为PAPB，贝V PA PB 0得:【答案】4545第 9 9 页共 2323 页化简得x-!1 x21kx-!1 kx210得：1 k2x1x2k 1 x1x22 0代入X1X22k“X21，得：k22k 1 0解得：k 1. .故选：D.D.【点睛】本题考查抛物线与直线的综合运用，涉及抛物线的焦点坐标，点斜式方程，联立方程组，向量垂直，结合韦达定理化简运算. .1111.已知定义在R上的函数 f(x)f(x)的导函数为f (x)，且f(x) f (x)1,f(1)2,则不等式f (x)1 ex 1的解集为( )A A .,1B B.,2C C.1,1,

15、D D.2,【答案】C C【解析】根据条件构造函数g(x)，利用导数求函数的单调性，即可解不等式【详解】解：构造函数g(x)“巳1，贝U g (x)f(X)xJx)10,ee函数g(x)在R上单调递增. .又Tf(x) 1 ex 1,g(1) 1，原不等式等价于g x g 1,原不等式的解集为1,. .故选: :C.C.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，还运用构造新函数和通过单调性解不等式. .二、填空题x 1,y12 x 1,y220,即为1,kx11X21,kx210第1212页共 2323 页21212 .已知正项数列an的前n项和为Sn,且4Sn8n1，则玄3玄5的值为2【解析

16、】由题可知：4& an1可证出an为等差数列，当n 1代入求出印便可得出通项公式，即可求得a3a5的值. .【详解】22因为4Snan1所以4Sn 1an 11. .22则4Sn+14Snan 11an1化简得：4an 1an 11an1 an 11 an14an 1an 1an+2an 1an简化得：an 1anan 1an2 0又因为a.n0，所以an+1an2 0得：an 1an2. .当n 1z2时，43a114a得a11. .所以an为等差数列，首项 印1，公差d 2,an2n 1. .所以a3a55 945【点睛】本题考查等差数列的通项公式，利用数列的递推公式，以及定义法证

17、明等差数列 21313函数f(x) 3lnx在x 1处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为 _x1【答案】丄2【解析】依题意得，先求导，代数得f (1)2, f (1) 1，通过点斜式从而得出切线方程，求出直线与坐标轴的交点，即可得出三角形面积【详解】23x2因为f (x) 3ln x，则f (x),xx因此x 1时f (1)2, f (1)1，则切点为(1,2)，斜率k 1,【答案】4545第 9 9 页共 2323 页故切线方程为：y2x 1，即 y y x x1 1 ,令x 0,可得y 1，令y 0时，x 1,第1414页共 2323 页11所以切线与坐标轴所围成的三角形面积为：一1 1

18、-.221故答案为：丄.2【点睛】【详解】则：UJUBE1 uuu-(BA2uuuBC)1 uuu-BC21 uuu AB, ,2uuuruuuuuuuuu 1 UJUuuuuuurADABBDABBC, 且| AB|2,| BC|32, ,所以:本题考查通过导数法求某点处的切线方程,运用切线斜率，直线的点斜式方程以及三角形面积 uuu1414 在边长为 2 2 的等边三角形ABC中，BCumr3BD，E为线段AC中点，则ULU ULLTBE AD _【答案】2uuu uuur【解析】根据题意，|AB| 2,| BC| 2，根据向量的线性加减法可求得用uuu uuurAB,BC表示出BE和AD

19、，再进行计算即可由题可知,uurBCuur3BD，E为线段AC中点第1515页共 2323 页uuuuuur BEAD1 UUU 1 uuuBC AB22uiur 1 uuurAB -BC31 uiur uuu-BC AB 31 uuur21 uuu2BC AB6 21= =2 2 cos1203故答案为:-2.:-2.【点睛】渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养 采取几何法，即向量的线性运算，利用数形结合和方程思想解题1515 .已知实数x, y满足约束条件x y 0,x y 2,则z |3x 4y 12啲最小值等于y 0-【答案】6 6【解析】由题可知，画出可行域，结合目标函数z |3x

20、 4y 12 |的几何意义，找出最优解，结合点到直线距离，即可得出- -【详第1616页共 2323 页设可行域三个顶点分别为：0 0,0 , A 1,1 , B 2,0,目标函数z |3x 4y 12 |的几何意义为可行域内动点M(x, y)到定直线故答案为:6.:6.【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及点到直线的距离公式的计算，利用z z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.1616 在三棱锥P ABC中，AB PC x 5, AC PB 3,BC 2，当三棱锥P ABC的体积取最大值时，其外接球的表面积为 _ . .【答案】14【解析】法一：根据已知线段长满足勾股定理，得出PCP

21、C BCBC 和AB BC，当三棱锥P ABC的体积取最大值时，可求出PA.14，即可得出外接球的半径，带入球的表面积公式从而得出外接球表面积法二：运用补形法，将三棱锥补形成长方体，即可求出求半径，因而得出球的表面积【详解】(解法一)：因为PC . 5, BC 2, PB 3，所以 PCPC BCBC ,同理AB BC当平面PCB平面 ACBACB 时，三棱锥P ABC的体积取最大值 3x 4y120的距离的 5 5 倍,由图可知，当点M位于点B 2,0时，到直线3x 4y120的距离d最小,则此时z最小，即:z 5d，所以点B2,0到直线3x 4y120的距离为：d3 2 4 0 12则z

22、5d6，为 z z 的最小值. .第1717页共 2323 页知PCA, PBA是以PA为公共斜边的直角三角形，PA、14,取PA的中点0,得OA OB OC 0P土，知点0即为三棱锥P ABC外接2球的球心，此时三棱锥P ABC的外接球直径2R PA , 14，则外接球的表面积为14. .(解法二)：结合常见几何体鳖臑，将三棱锥补形成长方体，则PA恰为长方体体对角线即外接球直径 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球的表面积，通过证明垂直，结合三棱锥的条件求出球的半径，以及通过补形法，利用长方体的外接球，从而有长方体的体对角线等于球的直径来求解 三、解答题3. 51717 已知an是公比大于 1

23、 1 的等比数列，42，且2ai, a2l.ag成等差数列. .(1) 求数列an的通项公式；1(2) 设bnlog281log2a2log2agLlogza.，记Cn，求数列c.的前nbn项和为Tn. .【答案】(1 1)an2n(2 2) Qn 1【解析】(1 1)由于an为等比数列，根据已知条件算出公比q，即可得出n的通项公式；(2 2)利用对数函数的运算化简并求出bn，即可得出Cn，利用裂项相消法求数列Cn的前n项和. .【详解】35(J设数列an公比为q，因为2a1,-a21,4 as成等差数列，52第1818页共 2323 页所以2a1as3a22，即5q 12q 4 04第191

24、9页共 2323 页2得q=2或q5(1)若该校高三某男生的跳远距离为187cm，试判断该男生是否属于体能不达标” 的学生?(2)该校利用分层抽样的方法从样本区间160,180),180,200),200,220)中共抽出 5 5人，再从中选出两人进行某体能训练，求选出的两人中恰有一人跳远距离在200,220)的概率. .【答案】(1 1)该生属于 体能不达标”的学生(2 2)35【解析】(1 1)由题可知，根据频率= =纵坐标X组距，分别求出各组频率= =各组小矩形面积，因为q 1，所以q = 2所以n 1 nan222(2)因为bnlog2aia2a3Lan，得bnn(n 1)2Cnn(n

25、2 _1)- Tn22nn 1【点本题主要考查了等比数列的通项公式和裂项相消法求数列前n项和，其中用到等差中项和对数函数的计算来化简求值，属于常考题1818 某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了 120120 名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图 若立定跳远成绩落在区间x s,x s的左侧,则认为该学生可得s 27(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)第2020页共 2323 页便可频率分布直方图的平均数x，即可判断;（2）由频数= =频率冷羊本容量，可求出160,180）,180,200）,200,220）对应的人数，再按分层抽样抽取 5 5 人，分别抽出 1

26、 1 人，2 2 人，2 2 人，再从 5 5 人中抽 2 2 人，最后用一一列 举出来，用古典概型即可求出答案【详解】（1 1 ）由题意可知：各小矩形面积从左至右依次0.10.1，0.20.2，0.20.2，0.30.3, 0.150.15, 0.050.05x 0.1 170 0.2 190 0.2 210 0.3 2300.15 250 0.05 270217x S190v187190该生属于 体能不达标”的学（2）由题意，跳远距离在160,180）,180,200）,200,220）的人数分别为 1212 人、2424 人、2424 人按分层抽样抽取 5 5 人，则160,180）抽

27、1 1 人，180,200）抽 2 2 人，200,220）抽 2 2 人设160,180）抽出的人编号为a,180,200）抽出的人编号为b,c,200,220）抽出的人编号为d,e从中选两人，(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),( b, c),( b,d),( b,e),( c,d),( c,e),( d,e),共有 1010种情况记选出的两人中恰有一人跳远距离在200,220）为事件A，满足条件的基本事件有6 6种，分别为(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e)63P(A)105【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用以及古典概型及其概率的计算

28、,其中要会计算频率分布直方图的频率、频数、平均数等，以及分层抽样和利用古典概型及其概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力, 属于基1919 .在矩形ABCD中，AB 1,BC 2,E为AD的中点，如图1 1,将厶 ABE沿BE折起，使得点A到达点P的位置（如图 2 2）,且平面PBE平面BCDE第2121页共 2323 页Ml国2(1) 证明：PB平面PEC;(2) 若M为PB的中点，N为PC的中点，求三棱锥M CDN的体积 【答案】(1 1)证明见解析(2 2) _!24【解析】(1 1)由题意得，BE CE . 2, BC 2，通过勾股定理可证出BE CE

29、，再结合面面垂直的性质，得出CE平面PBE，通过线面垂直的判定，即可证出；(2 2)取BE中点Q， 连接P0,证出PO平面BCDE， 求出|OP|OP|， 再结合几何体求 出三棱锥M CDN的体积 【详解】(1) 证明：由题意，易得BE CE、一2,BC 2,二BE2CE2BC2即BE CE,又平面PBE平面BCDE，交线为BE二CE平面PBE CE PB又TPB PE -PB平面PEC(2) 取BE中点O，连接POTPB PE- PO BE,PO2又平面PBE平面BCDE，交线为BE -PO平面BCDETM为PB的中点，N为PC的中点第2222页共 2323 页【点睛】 本题主要考查线面垂直

30、的判定，以及三棱锥的体积的求解，熟记线面垂直的判定定理，1面面垂直的性质，以及三棱锥的体积公式V -Sh即可. .3一点，C的离心率e 2(2(2)斜率为k的直线I过点F交椭圆C于M , N两点，线段MN的中垂线交x轴于点P，试探究 丄咀 是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由|MN |【答案】2(1 1)2y1J2(2(2)疋疋值，-424【解析】(1)(1)已知D1为椭圆上一点，可代入椭圆方程，结合离心率e2和222 2c ab2，求出a,b,c,即可得椭圆C的标准方程；直线斜率k 0时得出定值，k 0时设出直线方程，联立方程组，利用弦长公式求出|MN |，再得出MN的中点

31、坐标和线段MN的中垂线方程，得出点P的坐标，从而求出 fF|,fF|,求得|MN|为定值. .【详解】VM CDNVM PCD2VB PCD4VP BCD41 i 12 1_!4 3 22242020 已知椭圆C2b21(a b 0)，F为椭圆C的右焦点，D2为椭圆上(1(1)求椭圆 C C 的标准方程;X第2323页共 2323 页(1) e2 12b222b22椭圆方程为4(2)当k 0时,当k 0时，直线Xi,% ,2k21x-ix2解得|MN |I方程为X2, y2，把直线x24,2k2x4 * 2k2|MN|、1 k2x1x2则线段MN中点坐标为线段MN的中垂线方程为则XP2a.|P

32、F |MN |综上所述,【点睛】4,|PF|y k x .2I代入椭圆方程|OF| c醫乎| MN |4，假设M,N两点坐标分别为2 2x 2y 4中得:24k 40，显然V 0恒成立4k242k211 k x1x2272k2逅k2k21,2k2，.-2k12k24x1x24 1 k22k22k21，即,2k2k212k22k211|PF |,2k22k21k212k21本题考查通过待定系数法求椭圆标准方程和定值相关问题, 利用直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式，中点坐标，直线方程，还考查了学生的综合分析能力和计算能力 2121 .已知函数f X2nxm,n R在x 1处的切线方程为y

33、ex eX第2424页共 2323 页第2525页共 2323 页(1)求m,n的值;(2 2)当x 0时，f(x)ax 3恒成立，求整数a的最大值 【答案】(1)m 1,n 0(2)2【解析】(1 1)先求导f (x)，将x 1代入导函数f (x)得切线斜率，将x 1代入原函 数 f(x)f(x)得切点纵坐标，再运用点斜式求出切线方程；(2)法一：可知f(x) 0 x 3，先分离参数， 构造新函数g(x)和h(x)， 求出h(x)单调性，通过求出g(x)的最值，便得到a的最大值. .法二：先通过构造新函数g(x)，求出单调区间，再用分离参数a,利用基本不等式求出a的最大值. .ex0 xx1

34、(1) f(x)(xm 1)ex2nxf(1)0(1m)e n 0f (1)e(2m)e 2n em1解得n0(2 2)解法1 1：- f (x)(x1)ex，由(x1)ex331x- a,1exxx令g(x)3x11xxe,则g (x)1处的切线方程为x2y ex ex 1 ex32xh(x)在(0,)上单调递增,h(1) ex230,h(2)3e2 x。(1,2)，使得h x。0,即xox01 eg(x)在0,x上递减，在冷，上递增【详f f (x)(x)在xf (x)-ax第2626页共 2323 页g (x) xexa显然g (x)在(0,)上递增g(x)在0,x。上递减，在x0,上递

35、增即a x0X013x0，而x2X01 0恒成立1 cTX 0,X02,x 3. .又Ta Z. .X0若a3,g(x)(x 1)ex3,x(1,ln 3)，使得g x0，不合题意舍去1若a2,g 2T 2 0,g(1)e2 0. .X。X。X03x03X：X01X0丄1，T x0X0(1,2)2g(X)min3X01 3X2xX011513 2X0,1 X01X02X02解法 2 2:令g(x) f (x) ax 3(x 1)exax 3当a,0时，g (x)0,g(x)在(0,)上递增，g xg(0)20，合题意当a 0时，g (0)a 0，则x0(0,),g xg(x)ming X。x0

36、1 ex0ax03X0ax3 0X0a,23X0X0X01X03TX0X01,1，g X00g(x)在0,X0上递减，在X0,上递增2 X01_X05,2X03TX0g(X)ming Xo-1 - eX0- a Z，二整数a的最大值为 2 2第2727页共 2323 页 a,a, 2 2，合题意整数 a a 的最大值为 2.2.2第2828页共 2323 页【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的性质，通过分离参数法、构造新函数、单调性解决恒成立问题中求参数取值范围，以及利用导数的几何意义可得切线的斜率， 再利用点斜式即可得出切线方程，同时考查综合运用数学思想方法和分析与解决问题以及逻辑推理能力.x