正态性检验的一般方法汇总

1、正态性检验的一般方法姓名：蓝何忠学号：1101200203班号：1012201正态性检验的一般方法【摘要】：正态分布是自然界中一种最常见的也是最重要的一种分布.因此,人们在实际使用统计分析时，总是乐于正态假定，但该假定是否成立,牵涉到正态性检验.在一般性的概率统计教科书中，只是把这个问题放在一般性的分布拟合下作简短处理,而这种万精油式的检验方法,对正态性检验不具有特效.鉴于此,该文从不同角度出发介绍正态性检验的几种常见的方法,并且就各种方法作了优劣比较，【引言】一般实际获得的数据，其分布往往未知。在数据分析中，经常要判断一组数据的分布是否来自某一特定的分布，比如对于连续性分布，常判断数据是否来

2、自正态分布，而对于离散分布来说，常判断是否来自二项分布.泊松分布，或判断实际观测与期望数是否一致，然后才运用相应的统计方法进行分析。几种正态性检验方法的比较。一、/拟合优度检验：(1)当总体分布未知，由样本检验总体分布是否与某一理论分布一致。H0:总体X的分布歹ij为pX二为=叱i=l,2,H1：总体X的分布不为Pi.构造统计量=£半/=#上电£印仙I)刍np.其中L为样本中/发生的实际频数，口也为H0为真时发生的理论频数。(2)检验原理若/=0,则门二口巳，意味着对于%,观测频数与期望频数完全一致，即完全拟合。观察频数与期望频数越接近，则产值越小。A当原假设为真时，有大数

3、定理，有与Pi不应有较大差异，即/值应较小。若/值过大，则怀疑原假设。拒绝域为R=/之王，判断统计量是否落入拒绝域，得出结论。二、Kolmogorov-Smirnov正态性检验：Kolmogorov-Smirnov检验法是检验单一样本是否来自某一特定分布。比如检验一组数据是否为正态分布。它的检验方法是以样本数据的累积频数分布与特定理论分布比较，若两者间的差距很小，则推论该样本取自某特定分布族。即对于假设检验问题:H0:样本所来自的总体分布服从某特定分布H1：样本所来自的总体分布不服从某特定分布统计原理：Fo(x)表示分布的分布函数，Fn(x)表示一组随机样本的累计概率函数。F2,n设D为Fo(

4、x)与Fn(x)差距的最大值，定义如下式：D=max|Fn(x)-Fo(x)对于给定的a,PDnd于a.例如：35位健康男性在未进食前的血糖浓度如表所示，试测验这组数据是否来自均值口二80,标准差。二6的正态分布8777926880788477818080779286768081757772819084868068778776777892758078n=35检验过程如下：假设H0:健康成人男性血糖浓度服从正态分布H1:健康成人男性血糖浓度不服从正态分布计算过程如表:血糖浓度(X)次数(f)累计次数(F)Fn(x>Fn标准化值Z=(x-U).C理论分布F0(x)D682X0.05*1-2.

5、000.02280.0272240.11434.330.09349175260.1714-0.830.20330.02762S0.2286-0.670.251409776140.4000-0.500.30850.03783170.4857-0.330.370719806230.657100.50000.02813260.74290.170.567528842280.80000.670.74860.09862300.85/11.000.841315872320.91431.170.87900.11923351.00002.000.9772500.15710.17540.05140.01580.0

6、3530.0228结论：上表中的理论值l'o(x)是根据标准化值Z查表得到，实际上D=max|Fn(x)-Fo(x)|=0.1754<Do.55,35=°-23查D值表，故不能拒绝HO即健康成年男人血糖浓度服从正态分布，当样本容量n大时可以用Da,n=1.36/求得结果，如上述DO.55,35=1.36/=0.2299=0.23结论：当实际观测D>Dn,则接受Hl,反之则不拒绝H0假设。/拟合优度检验与K-S正态检验的比较：/拟合优度检验与K-S正态检验都采用实际频数与期望频数进行检验。它们之间最大的不同在于前者主要用于类别数据，而后者主要用于有计量单位的连续和定

7、量数据，拟合优度检验虽然也可以用于定量数据，但必须先将数据分组得到实际观测频数，并要求多变量之间独立，而K-S正态检验法可以不分组直接把原始数据的n个观测值进行检验，所以它对数据的利用较完整。三、Lilliefor正态分布检验该检验是对Kolmogorov-Smirnov检验的修正，当总体均值和方差未知时，Lilliefor提出用样本均值和标准差代替总体的期望和标准差，然后使用Kolmogorov-Smirnov正态性检验法，它定义了一个D统计量；a人22D=maxIFn(x)-Fo(x)|参数未知，由a=S计算得到统计量，查表得Lilliefor检验的临界值，确定拒绝域,得出结论。四、偏度峰

8、度检验法：(一)偏度检验：设随机变量X具有数学期望以6R和方差/>0,”瓦为X的偏度，所谓偏度检验就是检验如下假设：“0：跖二0%:晒手。注意到，拒绝原假设”。，则可以认为样本不是来自正态总体。接受原假设”。，并不等价于接受原假设“样本来自正态总体:这是因为任对称分布的偏度都为0,无法排除样本来自非正态的对称分布的可能。因此，偏度检验只能检验数据分布的对称性。由于总体分布未知，无法直接得到总体的偏度，故可以利用样本偏度作为检验上述假设的检验统计量，记i=1定义1设勺,“2,，/为随机变量X的n个相互独立的样本，偏度检验的检验统计量为m(%-歹g=q32hJL12“23(2)21=1(*)

9、常被用于双尾检验，因为非正态分布可能出现左偏，也可能出现右偏。在原假设成立时，瓦”0,在显著性水平aE(0,1)下取定分位点若N旬-嚎巴则拒绝原假设。事实上,M的分布是对称的,因此采取双尾检验的做法是合理的。定理1设也为(*)式中定义的偏度检验统计量，贝拄伉匕渐进服从均值为0,方差为6的正态分布，即、国.N(0,6)(Nts)样本容量有限的情形，使用渐进情形下的结论就会导致较高的出错率，这也是偏度检验的一个缺陷。需要指出的是，只有在确定对称性是唯一影响分布的形态时，偏度检验才是合适的选择，否则应该避免使用偏度检验。(二)峰度检验设随机变量X具有数学期望NCR和方差/>0,”为X的峰度，所

10、谓峰度检验，实际上是将正态性检验转化为检验如下假设：盛能=33：/芋3如同偏度检验一样，峰度为3的非正态分布也是存在的。所以,接受原假设”。并不能表明X一定服从正态分布，这一事实也导致对数据的正态性检验会有一定的出错率。定义2设，4为随机变量X的n个相互独立的样本，峰度检验的检验统计量为b2m办歹）41 = 12 m2比（3歹）2,1 = 1（*2）定理2设为为(*2)式中定义的峰度统计量，则而（b-3）tN（0,24）九T8同偏度统计量一样,的收敛速度也是比较慢的.五、小样本场合（3<n<50）的W检验w检验是检验样本容量nW50时，样本是否符合正态分布的一种方法。其检验步骤如下

11、：将数据按数值大小重新排列，使xlWx2<Wxn；计算之区-对1=1计算式中：当n为偶数时，i=n/2；n为奇数时，i二（n1）/2；值可查表得出；计算检验统计量5/2£q（X厂X）t-xy/=1若w值小于判断界限值Wa（可通过查表求得），按表上行写明的显著性水平a舍弃正态性假设；若W>Wa,接受正态性假设。六、大样本场合（50<n<100）的D检验检验统计量:包-野方D=(向E(x-w再令(。-0.28209479)、历Y=0.2998598则在显著性水平a时，拒绝域为卜工丫的2或丫之片一哂。其中y<%/2和Y"1_哂分别为Y的a/2和1-a/2分位数。