汕头市高二年级期末统考试题数学理科试题及参考答案@高考直通车

1、绝密启用前试卷类型：B2013年汕头市高二年级期末统考试题2013.7数学（理科）本试卷共6页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1 .答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2 .选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效.3 .非选择题必须用0.5毫米黑

2、色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4 .作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效.5 .考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.参考公式：体积公式：V柱体Sh,V锥体-Sh,其中V,S,h分别是体积、底面积和高；3一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）x1 .已知全集UR,集合Ax|021,Bx|log3

3、x0,则ACuB（）A.x|x1B.x|x0C.x|0x1D.x|x02 .已知i是虚数单位，则复数zi+2i23i3所对应的点落在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3 .沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）4.已知变量x,y满足约束条件2xey的最大值是A.e3B.C.1D.25.双曲线与a2y_b21的渐近线与圆x2(y2)21相切,则双曲线离心率为（A.,2B6.阅读下面程序框图，则输出结果s的值为（A.123C27.在下列命题中,“sin1”的充要条件;14_-）的展开式中的常数项为x2;设随机变量*0,1),若P(1)0)已知命题

4、p:x(0,),3x2x命题q：,0),3x2x,则命题p(q)为真命题；A.其中所有正确命题的序号是8.设Q为有理数集，a,bQ,定义映射fa,bxaxb，则fa,bfc,d定义为Q到Q的映射:(fa,bfc,d)(x)fa,b(fc,d(x),则(fa,bfc,d)Afac,bdB.fac,bdC.fac,adbD.fab,cd二、填空题:置.）（本大共6小题，每小题5分，共30分,把答案填在答题卡的相应位（一）必做题（913题）9.抛物线y2.x的焦点坐标为10.函数y2x22x3在点M（2,3）处的切线方程为11.若向量ab,匚满足1/b且右，C,则？（己+2b）=量类别为优或良的天数

5、，求X的分布列及数学期望甲城市乙城巾30 2 2 432 0 448 9 65561 5 1647876 9 782 3 088 0 79891 8 0 912 .我们知道，任何一个三角形的任意三条边与对应的三个内角满足余弦定理，比如：在ABC中，三条边a,b,c对应的内角分别为A、B、C,那么用余弦定理表达边角关系的一种形式为：a2b2c22bccosA,请你用规范合理的文字叙述余弦定理（注意,表述中不能出现任何字母）13 .不等式2x12x1解集为（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14 .（坐标系与参数方程）在极坐标系中，以点（2,二）为圆心，2半径为2的圆的极坐标方程为15

6、 .如图，OO中的弦CD与直径AB相交于点E,M为AB延长线上一点，MD为。的切线，D为切点，若AE2,DE4,CEDM4,则OB,MB三.解答题：（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.（本小题共12分）已知等差数列an的前n项和为Sn,a24,S535.（I）求数列an的前n项和Sn；（n）若数列bn满足bnpan（p0）,求数列bn的前n项的和Tn.17.（本小题满分12分）空气质量指数PM2.5（单位：g/m3）表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，就代表空气污染越严重PM2.5日期彳府度3-7575713115-15015O-2JO二2

7、50空气愦量吸别%三皴四珑五然空弋应量美利优良轻度污染中度污染重度污染严舒果甲、乙两城市2013年2月份中的15天对空气质量指数PM2.5进行监测，获彳导PM2.5日均浓度指数数据如茎叶图所示：（I）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市15天内哪个城市空气质量总体较好？（注：不需说明理由）（n）在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；（m）在乙城市15个监测数据中任取2个，设X为空气质18 .(本小题满分14分)已知函数f(x)22sinxsin(x)2sinx1(xR).12分(出)在锐角 ABC中，三条边a,b,c对应的内角分别为 A、B、C ,若b 2, C51

8、2(I)求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的单调递增区间;(n)若f(包)也x0(-,-)求cos2x0的值.23'44'19.(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD 中，PA平面ABCD ,ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA AB 4 ,CDA 120°,点N在线段PB上，且且满足f(),求ABC的面积。282PN(I)求证：BDPC;(n)求证：MN/平面PDC;(出)求二面角APCB的余弦值.B,2L 1 b22x20 .(本小题满分14分)已知椭圆CM：-ya3(ab0)的离心率e一,且椭圆上5一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周

9、长为(I)求椭圆M的方程；(n)若O0,0、P2,2,试探究在椭圆16C内部是否存在整点Q(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点),使得OPQ的面积S说明理由(不必具体求出这些点的坐标).OPQ4?若存在，请指出共有几个这样的点？并21 .(本小题满分14分)设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中bwo。,1.(I)当b>时，判断函数f(x)在定义域上的单调性;2(n)求函数f(x)的极值点;111(m)证明对任意的正整数n,不等式ln(1+1)>2-3都成立。nnn2013年高二统考理科数学试题答案一、选择题：DCBBCDCC二、填空题：c八1八9、0,10、xy5011、

10、04一12、三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边以及它们的夹角的余弦的乘积的2倍的差,（本题可以酌情给分，得分0分，4分，5分）（对于文字表达不太规范的可以考虑给4分）“八1_13、x|x14、4sin15、4,4<242三、解答题：16、解：（I）设数列an的首项为日，公差为d.5ala1dan3n 2.Sn前n项和n(1 3n 2)2n(3n 1)(n) an 3n 2 ,bn3n 2,且b1p p 0当 n>2 时，-bn- bn 13nP3(n 1) 2pP3为定值,3数列bn构成首项为p,公比为p的等比数列.10分所以（1）当p31,即p1时，Tnn11分（

11、2）当p31,即p1时数列bn的前n项的和是3n、3n1p(1p)pp.331pp117、（本小题满分12分）解：（I）甲城市空气质量总体较好(n)甲城市在15天内空气质量类别为优或良的共有10天，任取1天，空气质量类别为优一，一102或良的概率为一5分153乙城市在15天内空气质量类别为优或良的共有5天，任取1天，空气质量类别为优或良的概率为£1,153在15天内任取1天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为, 6分223 3 98分02P(X 0) CCCA3_1P(X 1)11C5c10c2c151010 , P(X 0)2120C5 C10C2521X的分布列为：X

12、01211分3102P 一一一 7212131022数学期望EX 031102-72121312分18、解：f(x) 2sin x cosx 2sin2 x 1 sin 2x cos2x(I)函数f (x)的最小正周期TV2 sin(2x )42冗 冗.2(H)解法一：由已知得cosx0火3 ，一、27两边平方，得1 sin 2x0 一 所以sin 2x0一99一.冗 冗冗因为 x0 (-,-),所以 2x0 (,-).4 42 2所以 cos2x J1 ( Z)2 4998分9分解法二：因为 x0 (,),所以 x0 (0,-).4 442xx又因为 f (一)亚sin(2 )5/2 sin

13、(x0)22443，3分, 4分6分7分, 5分, 6分(出)X的取值为0,1,2,9分7分2sin(x09分2,23x0 4A _(出)因为 f (_ _)&sin一)842SinA £10分所以sin A1-,又因为 ABC为锐角三角形，所以 211分所以由A所以b c55B C ，且C 5-得到：B 1212-12,且 ABC 的面积 S -bcsin A12分19、证明:2(I)因为 ABC是正三角形，M是AC中点,所以BMAC ,即 BD ACsin 1614分又因为PA平面 ABCD, BD 平面 ABCD , PA BD又PAI AC A,所以BD 平面PAC又

14、PC 平面PAC ,所以BD PC(n)在正三角形 ABC中，BM 2，3在ACD中，因为M为AC中点，DM AC ,所以ADCD2 一 3CDA 1200,所以 DM 今上，所以 BM : MD 3:13在等腰直角三角形 PAB中，PAAB 4, PB 4亚,所以 BN : NP 3:1BN: NPBM : MD ,所以 MN /PD又MN 平面PDCPD平面PDC，所以MN /平面PDC(出)因为 BADBAC CAD 90o,.一Tt1.冗得sin(x0)-.所以cos(x0-)所以，cos2x0sin(2x0)sin2(x0所以ABAD,分别以AB,AD,AP为x轴，y轴，z轴建立如图

15、的空间直角坐标系,10分所以B(4,0,0),C(2,2.3,0),D(0,43,0),P(0,0,4)uuur由（n）可知，db(4,述0）为平面PAC的法向量311分uur_PC(2,2后4),uuuuPB(4,0,4)设平面PBC的一个法向量为rn(x,y,z),ruuirnPC则ruuunPB0日口2x2、3y4z004x4z0r令z3,则平面PBC的一个法向量为n（3,3,3)12分设二面角APCB的大小为（显然为锐角），贝UcosruuurnDB所以二面角AuuurDBPC20、解：（I）设椭圆B余弦值为.7714分C的半焦距为c,由题意可知道:2a2c16解得ac又因为a2b2所

16、以ba2c24所以椭圆的方程为2x252y16（n）依题意OP2J2,直线OP的方程为yX,因为Sopq4,所以Q到直线OP的距离为2J5,所以点Q在与直线OP平行且距离为2J2的直线l上,xm,则mo7/忑2旷2,解得m410分y4时，由x225x4y216消元得.241x200x0,即200x041又xZ,所以x4,3,2,1,相应的y也是整数，此时满足条件的点Q有4个.12分13分当m4时，由对称性,同理也得满足条件的点Q有4个.综上，存在满足条件的点Q,这样的点有8个.14分21、解：(I)由题意可知：函数f(x)的定义域为(1,),2/b2x2xb且f(x)2x-10恒成立(b)2x

17、1x12_121设g(x)2x2xb2(x-)b-22所以f/(x)0对任意x(1,)恒成立,函数f(x)在定义域上是增函数；3分(n)显然由(I)可知：当b>2时，函数无极值点；4分2当b1时，f/(x)上支0恒成立,2x1所以函数在定义域上单调递增，无极值点;当1/b 一时，f (x)20有两个不同的解x111 2b2，又21.1 2b21), x2 ( 1,),(A)显然b0时，x11,x20,即x1(b0时，f/(x),f(x)的变化情况如下表:x(1,x2)x2(x2,)f/(x)-0+极小值单调递增f(x)单调递减由此表可知：当b0fi(x),f(x)有唯一的极小值点x21112b当0b2时，x121'x1,x2(1,),x(1,x1)x1(x1,x2)*2(x2,)f/(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由此此时f/(x),f(x)的变化情况如下表:表可知：当01/112bbfWx),f(x)有一个的极大值点x122一个的极小值点X21.12b2综上：当b0阿x),f(x)有唯一的极小值点x21.12b当021一时,2f