MathStudio使用方法入门7

1、2022年3月6日星期日1/23MathStudioMathStudio for iPadfor iPad 使用方法入门使用方法入门 （7 7）杨辉三角杨辉三角 2014年4月18日2022年3月6日星期日2/23早年工作之余，喜欢涉猎一些科普读物，物理、数学的都有；这些读物即开阔了视野，增长了知识，又不失为排遣休闲的好方法。看到华罗庚的从杨辉三角谈起，用现代数学方法探究中国古算的奥秘，深入浅出，饶有兴趣。 退休后，自由支配的时间充裕了，闲暇无事，找一些数学题琢磨，对于不抽烟、不喝酒、不打牌的“枯燥型”老人，既能延缓大脑退化，又能打发时间，经济实惠，何乐不为！ 近日，重温从杨辉三角谈起，又选读

2、了一些关于杨辉三角的课件，颇有启发，遂萌发了用MathStudio为工具，阐发中国古算题奥秘的念头。原来觉得深奥难算的高阶等差级数题，用MathStudio的 Binomial、list、loopend等函数，竟而简捷明快、轻而易举地得到答案。高兴之余，整理成文，与同好者共享。 本文引用了一些百度文库里课件的图形资料，给我省了很多时间，未查到作者，在此敬向无名作者深致谢意。2022年3月6日星期日3/23 左图 现称杨辉三角，本名是开方作法本源或称乘方求廉图，是古人对任何数求任意次方根操作过程的运算工具。 设想如果在没有电脑、计算器 、计算尺、对数表等现代计算工具的情况下，只用纸、笔（甚至纸笔

3、也不用）进行大数值的开高次方运算，我们该怎么做？会吗？ 在这里，让我们用MathStudio为工具，探索、演示杨辉三角的一些有趣的特性；这就好比骑着摩托车在古人开辟的古道上徜徉，感受一下前贤先哲们的精微睿智，体验他们的艰辛苦乐。2022年3月6日星期日4/23上图是扩展的杨辉三角，增加上图是扩展的杨辉三角，增加了通项表达式。了通项表达式。每行数字对应于（每行数字对应于（a+ba+b）n n 的的 展开式的分离系数。展开式的分离系数。杨辉三角有很多有趣的特性1.三角形的两侧斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字其余的数都等于它肩上的两个数字相加相加 (C(n,0)=1,C(n,n)=

4、0;C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)2.具有对称性，每行与首末两端“等距离 ”的两个数相等(C(n,r)=C(n,n-r) 3.每一行的第二个数就是这行的行数（C(n,1)=1）4.第n行包含n+1个数，每行数字和为2n。5.所有行的第二个数构成等差数列； 所有行的第三个数构成二阶等差数列； 所有行的第r个数构成r-1阶等差数列； 6.左下向右上的斜线上数字之和构成斐波那契数列能用能用 MathStudio MathStudio 演绎这些有趣的特演绎这些有趣的特性吗？请接着看性吗？请接着看2022年3月6日星期日5/23nCr(n,r) 从n件物品中取出r件物品的组合数，只

5、作数值计算。Binomial(n,r)= n! / r! * (n-r)! , 二项式系数，可有限度地进行符号运算，r可以是非整数。Binomial 比 nCr 有更大的计算范围因为因为Binomial(n,0)=1Binomial(n,0)=1 Binomial(n,n)=1 Binomial(n,n)=1所以杨辉三角每行两侧斜线数字都是所以杨辉三角每行两侧斜线数字都是1 1 Binomial(n,0),Binomial(n,n+1)以及nCr(n,0), nCr(n,n+1) 本无意义，为便于表达，作为记号分别定义为1，0 2022年3月6日星期日6/23 杨辉三角的基本性质杨辉三角形的每

6、行数列，除两侧斜边上的数字1外，其余任何一个数都其余任何一个数都等于它肩上的两个数字相加之和等于它肩上的两个数字相加之和 上图上图 上式，稍加整理、化简，就得下式上式，稍加整理、化简，就得下式Binomial(n-1,r-1)+Binomial(n-1,r)=Binomial(n,r)2022年3月6日星期日7/23对 称 性C(n，r)-C(n，n-r)=0Binomial(n，r)-Binomial(n，n-r)0即即C(n，r)=C(n，n-r)Binomial(n，r)=Binomial(n，n-r)对称中心（最大值项）对称中心（最大值项）n=n=偶数时偶数时 r=n/2r=n/2n=

7、n=奇数时奇数时 r1=(n-1)/2r1=(n-1)/2 r2=(n+1)/2 r2=(n+1)/2 注：b=-1.42109E-14 可能是Binomial计算过程的截尾误差，极小，视为02022年3月6日星期日8/23MathStudio可以列出 指定行的整行数据或任意项的数据根据杨辉三角的通项表达式第n+1行C(n,0),C(n,1),C(n,2)C(n,r)C(n,n)C(n,0),C(n,1),C(n,2)C(n,r)C(n,n)左图 n=16 的整行数据，a数列有17个数据，向左拖曳a数列表可看到全部数据。这行17个数据之和为 216 = 65536 2022年3月6日星期日9/

8、23 对 称 性N=17 整行数据当n为奇数时，最大值有2个， r1=(n-1)/2 r2=(n+1)/2 ncr(17,8)=ncr(17,9)=24310 n ncr(n,r)=2n r=02022年3月6日星期日10/23第第n n行，逐项平方和行，逐项平方和 等于等于第第2n2n行的第行的第n n项项 n c (n,r)2= c (2n,n) r=02022年3月6日星期日11/23 杨辉三角 与高阶等差级数C(r,r)+C(r+1,r)+C(r+2,r)+C(r+3,r)+C(r+m-1,r)=C(r+m,r+1) nrMathStudioMathStudio可以列出首项为可以列出首

9、项为1 1的的r r阶等差级数数列及其前阶等差级数数列及其前m m项之和项之和r r阶等差级数阶等差级数 首项首项1 1，第，第m m项是项是 C C(r+m-1,r(r+m-1,r）, ,前前m m项之和是项之和是 C C(r+m,r+1(r+m,r+1）2022年3月6日星期日12/23杨辉三角的斜线部分杨辉三角的斜线部分 构成等差级数构成等差级数r=2 1，2，3，4 等差级数r=3 1，3，6，10 二阶等差级数r=4 1，4，10，20 三阶等差级数r=5 1，5，15，35 四阶等差级数左上图 四阶等差级数前6项，及6项之和左下图 五阶等差级数前10项，及10项之和 n=r+m-1

10、2022年3月6日星期日13/23MathStudio怎么计算任意高阶等差级数从杨辉三角图的斜线上观察到的高阶等差级数数列都是首项a1=1，dr=1的“原始型”高阶等差级数，如果a11，dr1，怎么办？下面列出运用MathStudio计算任意高阶等差级数的通式，式子怎么来的？不赘述了，有兴趣的朋友自己找资料探究吧an=an=a a1+C(n-1,1)1+C(n-1,1)d d1+C(n-1,2)1+C(n-1,2)d d2+C(n-1,r)2+C(n-1,r)d dr rSn=C(n,1)Sn=C(n,1)a a1+C(n,2)1+C(n,2)d d1+C(n,3)1+C(n,3)d d2+C

11、(n,r+1)2+C(n,r+1)d dr rnrnr如果要用上式计算r阶高阶等差级数的第n项，我们必须知道a1,d1,d2,dr的数值,共r+1个数据，用到式子的r+1项常见的二阶等差级数，只需知道3个数字，用到式子的3项，很容易。至此，我们可以探讨堆垛术了2022年3月6日星期日14/23 堆垛术 长方垛按左上图题意，酒坛堆垛类似左下图，上层49，下面每层长宽各递加1，共8层。各层酒坛数如以下数列：3636，5050，6666，8484，104104，126126，150150，176176各层酒坛数之差为：1414，1616，1818，2020，2222，2424，2626各层酒坛数之差

12、之差为：2 2，2 2，2 2，2 2，2 2，2 2显然，这是个二阶等差级数a1=36,d1=14,d2=2左图，算出各层酒坛数，累加数为792.按前面的通式计算：n=8,a1=ab=36 d1=(a+1)(b+1)-a1=50-36=14,d2=(a+2)(b+2)-(a+1)(b+1)-d1=66-50-14=2Sn=C(n,1)a1+C(n,2)d1+C(n,3)d2Sn=C(n,1)a1+C(n,2)d1+C(n,3)d2 =8 =836+2836+2814+5614+562=7922=792无误无误2022年3月6日星期日15/23长方垛在华罗庚科普著作从杨辉三角谈起里，给出了计算

13、长方垛的通式（底层计算长方垛的通式（底层14141010，由，由底层向上递减）底层向上递减）：左图 底层a=14 b=10起，每层长宽各递减1，10层长方垛的计算结果。a数列 由顶到底，各层个数c 各层累计总和m 按长方垛计算通式的计算结果按前述通式计算：n=10,a1=5,d1=12-5=7,d2=21-12-7=2Sn=C(n,1)a1+C(n,2)d1+C(n,3)d2Sn=C(n,1)a1+C(n,2)d1+C(n,3)d2 =10 =105+455+457+1207+1202=6052=605不同方法计算结果相同不同方法计算结果相同 S2022年3月6日星期日16/23长方垛 Mat

14、hStudioMathStudio用通式的计算程序用通式的计算程序an=an=a a1+C(n-1,1)1+C(n-1,1)d d1+C(n-1,2)1+C(n-1,2)d d2 Sn=C(n,1)2 Sn=C(n,1)a a1+C(n,2)1+C(n,2)d d1+C(n,3)1+C(n,3)d d2 22022年3月6日星期日17/23正方垛如果每层长宽酒坛数相等，就是正方垛各层酒坛数为1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64各层酒坛数之差为3，5，7，9，11，13，15各层酒坛数之差之差为2，2，2，2，2，2Sn=C(n,1)a1+C(n,2)d1+C(n,3)d2Sn

15、=C(n,1)a1+C(n,2)d1+C(n,3)d2 =8 =81+281+283+563+562=2042=204在华罗庚科普著作从杨辉三角谈起里，给出了计算正方垛的通式计算正方垛的通式： n=8 代入上式 S=8917/6 = 204计算结果相同S=2022年3月6日星期日 18/23C(0,0)=1, F（1）C(1,0)=1, F（2）C(2,0)+C(1,1)=2 F（3）C(3,0)+C(2,1)=3 F（4）C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=5 F（5）C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=8 F（6） C(n,0)+C(n-1,1)+C(n-2,2)+C(n-ce

16、il(n/2),floor(n/2) = Fibonacci(n+1) n3杨辉三角 与斐波那契数列从左图可看出从左图可看出Fibonacci(n)Fibonacci(n)是是4545斜线上数字之斜线上数字之和，数字的个数是和，数字的个数是ceil(n/2)ceil(n/2)因为C(5,0)=C(4,0)=C(3.0)=C(2,0)=1 C(4,1)=C(3,0)+C(3,1) C(3,2)=C(2,1)+C(2,2)所以F(6)=1+C(4,1)+C(3,2) =1+C(3,0)+C(3,1)+C(2,1)+C(2,2) =1+C(3,1)+C(2,2)+1+C(2,1) =F(5)+F(4

17、) 符合斐波那契数列定义，余类推2022年3月6日星期日19/23MathStudio用二项式系数计算斐波那契数列左图 分别是Fibonacci(9)和Fibonacci(20)的计算结果a数列 杨辉三角图上相应斜线上的数字b a数列各数字之和2022年3月6日星期日20/23关于数值范围的限制前面说到运用MathStudio计算任意高阶等差级数的通式，似乎说MathStudio法力无边、神奇无比，如果不说明它的数域范围，就未免有夸大之嫌了。事实上，我们的计算能力是受到软硬件限制的；MathStudio这个只有1MB多个头的精干软件，它的计算能力究竟怎样呢？请看左图：阶乘阶乘 171171！溢

18、出！溢出 (7.2(7.2E E306)306)nCr (360,125)nCr (360,125)溢出溢出 (2.1(2.1E E99)99)BinomialBinomial（10301030，500500）溢出）溢出 (7.1 (7.1E E307)307)2n 10242n 1024溢出溢出 (8.9(8.9E E307)307)FibonacciFibonacci（605605）溢出）溢出 (7.5(7.5E E125)125)（猜想：观察上述情况，在一般条件下，（猜想：观察上述情况，在一般条件下，计算过程允许计算到计算过程允许计算到 E E308,308,在高精度条在高精度条件下，允

19、许计算到件下，允许计算到 E E100100）Binomial比nCn有大得多的数值范围MathStudioMathStudio内置函数内置函数BinomialBinomial只能计算到第只能计算到第604604项，项，能不能突破这个能不能突破这个“瓶颈瓶颈”呢？能！呢？能！上面左图是按斐波那契数列的定义，用上面左图是按斐波那契数列的定义，用loopendloopend逐项计算到第逐项计算到第14761476项项上面右图是用斐波那契数列的二项式系数表达式（杨辉三角上面右图是用斐波那契数列的二项式系数表达式（杨辉三角4545斜线），逐项计算到斜线），逐项计算到 第第14761476项，注意：用项

20、，注意：用BinomialBinomial，不要用，不要用nCrnCr两种方法都能把斐波那契数列的可计算项数扩大两种方法都能把斐波那契数列的可计算项数扩大2.442.44倍，答案数值扩大了倍，答案数值扩大了1.71.7E E182182倍倍2022年3月6日星期日22/231 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49数字金字塔左图 网上流传的数字金字塔求解 第n行的项数，及其首项、 中项、末项、每行数字之和应用前面已有知识很容易得到答案各行的项数：各行的项数： 1，3，5，7，9（2n-12n-1）各行的首项： 1，2，5，10，17，26，37各行首项之差： 1，3，5，7， 9， 11各行首项之差之差： 2，2，2，2， 2这是2阶等差级数，