PDE课件——数学物理方程1

1、偏微分方程2010-2011第二学期理科班李亚纯第一章第一章 绪绪论论偏微分方程偏微分方程（Partial Differential Equations）指在物理学、力学、工程技术以及其他自然科指在物理学、力学、工程技术以及其他自然科学、技术科学、管理科学、甚至社会科学等的学、技术科学、管理科学、甚至社会科学等的研究中归纳出来的一些含有未知函数及其偏导研究中归纳出来的一些含有未知函数及其偏导数的方程数的方程悠久的历史悠久的历史 广泛的应用广泛的应用 数学的发展数学的发展 悠久的历史：悠久的历史：著名的弦振动方程著名的弦振动方程 20ttxxua u1727: 1727: John Bernou

2、lliJohn Bernoulli, ,离散质量情形离散质量情形 dAlembertdAlembert( (研究弦振动方程的先驱研究弦振动方程的先驱) )17461746：张紧的弦振动时形成的曲线的研究张紧的弦振动时形成的曲线的研究特殊的偏微分方程最早出现在特殊的偏微分方程最早出现在17341734年年EulerEuler的著作中，并的著作中，并于于17431743年出现在年出现在dAlembertdAlembert的的论动力学论动力学中。中。 22112(2)kkkkd unauuudtl广泛的应用：广泛的应用：传统学科传统学科流体力学：流体力学：Navier-StokesNavier-St

3、okes方程组方程组( (粘性流体粘性流体) ) EulerEuler方程组方程组( (无粘流体无粘流体) )弹性力学：弹性力学：Saint-VenantSaint-Venant方程组方程组电动力学：电动力学：MaxwellMaxwell方程组方程组( (电磁场电磁场) )量子力学：量子力学：SchrdingerSchrdinger方程方程 DiracDirac方程方程( (微观粒子微观粒子) )广义相对论：广义相对论：EinsteinEinstein方程方程( (引力场引力场) )规范场：规范场：Yang-MillsYang-Mills方程方程磁流体力学、反应流体力学、热弹性力学磁流体力学、

4、反应流体力学、热弹性力学交叉学科交叉学科生物数学：生物种群动力学生物数学：生物种群动力学 传染病动力学传染病动力学 DNADNA分子动力学分子动力学金融数学：随机微分方程金融数学：随机微分方程经济学经济学社会科学社会科学数学的发展：数学的发展：偏微分方程推动数学其他分支的发展：偏微分方程推动数学其他分支的发展：函数论函数论变分法变分法级数展开级数展开常微分方程常微分方程代数代数微分几何微分几何参考书参考书Courant-Hilbert: Method of Mathematical PhysicsFritz John: Partial Differential EquationsWalter

5、Strauss: Partial Differential Equations, An IntroductionLawrence C. Evans:Partial Differential Equations李大潜，秦铁虎：李大潜，秦铁虎：物理学与偏微分方程物理学与偏微分方程1 偏微分方程的基本概念与研究内容偏微分方程的基本概念与研究内容2 典型方程的数学模型典型方程的数学模型3 二阶线性偏微分方程简介二阶线性偏微分方程简介1. 1. 什么是偏微分方程？什么是偏微分方程？ 物理量物理量( (如位移、温度等如位移、温度等)-)-时间、空间位置时间、空间位置 u),(,321xxxxt-),(),

6、(321xxxtuxtuu物理量的变化规律物理量的变化规律)(等式系式的各阶偏导数满足的关及关于函数xtu( (偏微分方程偏微分方程) )1 1 偏微分方程的基本概念与研究内容偏微分方程的基本概念与研究内容 一般形式：一般形式：112121112(,) (,),(,)nnnnkknkknx xxuu x xxuuDuxxuD ukkkxxkN：120(, ,)(*)NnF x xx u DuD u 自变量自变量未知函数未知函数 一般形式：一般形式：120(, ,)(*)NnF x xx u DuD u 例子：例子：0: ),() 1 (yuyxuu0: ),()2(xyuyxuu)(),(:

7、),()3(为已知函数wyxwuyxuuxy)()(为任意函数fxfu ),)()(为任意连续可微函数gfygxfu),()()(),(00为任意连续可微函数gfygxfdsdttswuxxyy )(),()()(0,yxfyxufsfuuuutusuuuutusuuyxtyxsttsytysytsxtxsx为任意函数作变量代换)(),(0aybxfubabuauyx为常数一般地，yxuuyxuu: ),()4()(0)(0热传导方程弦振动方程xxtxxttuuuu: ),()6(yxuu : ),()5(xtuu )(0 调和方程yyxxuu可验证可验证: : () ,() , sin()c

8、os()nnxtxtxtxt均满足弦振动方程均满足弦振动方程 212xt满足热传导方程满足热传导方程 均为解均为解可验证可验证: : 3232330, sinsinh()yx y xxynxnyn0: ),()7(xxyyuyxuu0: ),()8(zuzyxuu方程组)(00)9(Riemann-Cauchyxyyxvuvu)()()()(11xygygyxfxfu)(,(为任意函数fyxfu 010uuyxuuxx: ),()( )cos( )sinuf yxg yx2. 2. 相关基本概念相关基本概念阶数阶数( (OrderOrder) )：未知函数偏导数的最高阶数；未知函数偏导数的最高

9、阶数；维数维数( (DimensionDimension) )：空间变量的个数；空间变量的个数； （对发展型方程：维数（对发展型方程：维数= =自变量个数自变量个数1 1； 对非发展型方程：维数对非发展型方程：维数= =自变量个数）自变量个数）1(,)nuu xx解解( (SolutionSolution) )：1(,)nxx（求解区域）（求解区域）在在 内足够光滑，且处处满足偏微分方程（内足够光滑，且处处满足偏微分方程（* *）称为偏微分方程（称为偏微分方程（* *）的）的经典解经典解：自由项：自由项：方程中与未知函数无关的项方程中与未知函数无关的项齐次方程齐次方程( (Homogeneou

10、sHomogeneous) )：不含非零自由项不含非零自由项项即为自由项，也称右端),(),(),(nnNnxxgxxguDDuuxxG111非齐次方程非齐次方程( (NonhomogeneousNonhomogeneous) )：含有非零自由项含有非零自由项线性线性 ( (LinearLinear) )方程：方程：vGbuGabvauGxxguGn)(),(1方程改写为否则称为否则称为非线性非线性( (NonlinearNonlinear) )方程方程半线性半线性( (Semi-LinearSemi-Linear) )：主部主部( (含最高阶导数的部分含最高阶导数的部分) )线性线性Nxgu

11、DxA),()(.),(nn11),(nxxx1NNxguDDuuxAuDxA),(),()(10拟线性拟线性( (Quasi-LinearQuasi-Linear) )：最高阶导数本身是线性的最高阶导数本身是线性的),(),(),(xguDDuuxAuDuDDuuxANNN101完全非线性完全非线性( (Fully NonlinearFully Nonlinear) )：最高阶导数是非线性的最高阶导数是非线性的线性线性(Linear)(Linear)：多重指标（多重指标（Multi-indexMulti-index） 例子：例子：)()(波动方程02zzyyxxttuuuau)()(热传导方

12、程02zzyyxxtuuuau)(调和方程0zzyyxxuuu二阶线性齐次二阶线性齐次23xuxuxt223uuxuxt一阶线性非齐次一阶线性非齐次一阶半线性非齐次一阶半线性非齐次)(sBurgeruuuxt0),()(xtgufuxt一阶拟线性齐次一阶拟线性齐次一阶完全非线性非齐次一阶完全非线性非齐次)Mechamics Quantum(0 xxtiuu二阶线性齐次二阶线性齐次Bar) (Vibrating 0 xxxxttuu四阶线性齐次四阶线性齐次n)interactio with(Wave xxttuuu3二阶半线性齐次二阶半线性齐次)(KdVuuuuxxxxt0三阶半线性齐次三阶半线

13、性齐次xxttuu)(二阶拟线性齐次二阶拟线性齐次3. 3. 研究内容：研究内容：一般规律一般规律+ + 定解条件定解条件( (初始条件、边界条件初始条件、边界条件) ) 定解问题定解问题 定解问题的适定性：定解问题的适定性：存在性（存在性（ExistenceExistence） 唯一性（唯一性（UniquenessUniqueness） 稳定性（稳定性（StabilityStability）+ + 附加条件附加条件方程方程2 典型方程的数学模型典型方程的数学模型2.1 2.1 波动方程的定解问题波动方程的定解问题2.2 2.2 热传导方程的定解问题热传导方程的定解问题2.3 2.3 调和方程

14、的定解问题调和方程的定解问题2.4 2.4 一阶方程（组）的例子一阶方程（组）的例子2.5 2.5 其他方程的例子其他方程的例子 2.12.1 波动方程的定解问题波动方程的定解问题波动方程是波动方程是描述振动与波的传播现象的一种描述振动与波的传播现象的一种发展方程发展方程弦的横振动（弦振动方程）杆的纵振动一维非线性弹性振动电报方程膜的横振动声波方程电磁波方程1. 1. 弦振动方程的导出弦振动方程的导出考虑一根张紧的考虑一根张紧的均匀柔软均匀柔软的细弦，受垂直于弦的的细弦，受垂直于弦的外力外力作用，在作用，在平衡位置平衡位置附近作附近作微小微小的的横振动横振动平衡位置：平衡位置：弦静止时的位置，

15、通常设为弦静止时的位置，通常设为 X X 轴；轴；均匀：均匀：弦的线密度弦的线密度( (单位长度的质量单位长度的质量) ) 为常数；为常数；柔软：柔软：张紧的弦在离开平衡位置时，其上的每一点均不抗拒弯张紧的弦在离开平衡位置时，其上的每一点均不抗拒弯 曲，从而弦的张力方向沿着其切线方向；弦的形变伸长曲，从而弦的张力方向沿着其切线方向；弦的形变伸长 与张力满足与张力满足HookeHooke定理定理横振动：横振动：振动发生在同一平面内，且弦上各点的位移与平衡位置振动发生在同一平面内，且弦上各点的位移与平衡位置 垂直；垂直；外力：外力：外力密度外力密度( (单位长度受到的外力单位长度受到的外力) )为

16、为F F ；轴的位移时刻的垂直于点在：弦上Xtxtxu),(微小：微小：振幅相对于弦长很小振幅相对于弦长很小1xu倾角很小长保持不变即振动过程中任一段弦不计，故弦的长度变化可忽略弧长为一段弧的一段弦，振动后变为原长为dxdxudsdxx21,微元分析法：微元分析法：在物体中任取一个微小的立方体在物体中任取一个微小的立方体( (微元微元) )，在其上建立相应，在其上建立相应的物理量的平衡关系式，再令微元的直径趋向于零的物理量的平衡关系式，再令微元的直径趋向于零xxx)(xTxu2)(xxT1gF上力的平衡：考虑微元,xxx受力情况：受力情况：;),(),(;),(),();(),(xtxudxt

17、xuxgxtxFdxtxFxxTxTttxxxttxxx惯性力：重力：外力：张力：水平方向：水平方向：02222212121011111111110TxxTxTxxTxTtxxutxuxxTxTxx)()()()(),(tancos),(tancoscos)(cos)(垂直方向：垂直方向：),(),(),(),(),(),(),(),(),(tansin),(tansin),(),(sinsintxFxtxutxxuTgtxuxtxFtxutxxuTxgxtxutxxutxuxtxuxtxFxgTTxxttxxttxxtt0022111020),(),(),(txftxuatxuxxtt2（强

18、迫弦振动方程）（强迫弦振动方程） 没有外力作用时：没有外力作用时：有外力作用时：有外力作用时：02),(),(txuatxuxxtt（自由弦振动方程）（自由弦振动方程）),(),(,),().(),(txftxFaTxxxxggtxutt200记此时令可忽略2. 2. 定解条件的导出定解条件的导出)(),(),(),(xxuxxut00或记为);(),(xuxuttt00或记为)()()()(:初始速度初始位移xuxutt 0A. A. 初始条件初始条件B. B. 边界条件边界条件A. A. 初始条件初始条件例例1 1 在在d d 处将弦拉升至处将弦拉升至h h后静止后静止, ,然后放手让其自

19、由振动然后放手让其自由振动00)(,),(,)(xlxdxldlhdxxdhx0 0ldh例例2 2 弦静止于平衡位置，经敲击后开始振动弦静止于平衡位置，经敲击后开始振动 始速度为由初始冲量决定的初)(,)(xx0例例1 10000),(),(tlutuuulxx或记为，例例2 2 弦的端点自由滑动：即弦的端点不受垂直方向力的弦的端点自由滑动：即弦的端点不受垂直方向力的作用，也即张力在垂直方向的分量为零作用，也即张力在垂直方向的分量为零 0000),(),(,tlutuuuxxlxxxx或记为 00 xuT的弦两端固定长为lB. B. 边界条件边界条件例例3 3 弦的端点固定在弹性支承上弦的端

20、点固定在弹性支承上 ),(21kk弹性系数分别为00000022011220110TkTkuuukuTlxuuukuTxxxxx,:00201lxxxxuuuu,)(:);(:tgulxtgux210)(:);(:tgulxtguxxx21000212211,)(:);(:tguulxtguuxxx注：注：两端点可以取不同类型的边界条件两端点可以取不同类型的边界条件边界条件一般可分为三类：边界条件一般可分为三类：第一类边界条件第一类边界条件(Dirichlet)(Dirichlet)：第二类边界条件第二类边界条件(Neumann)(Neumann)：第三类边界条件第三类边界条件(Robin)(

21、Robin)：3. 3. 其他模型的例子其他模型的例子xxx ( , )u x t ：杆上杆上 点在点在 时刻的纵向位移时刻的纵向位移xtttxxxxxSuxSEuSEu0:x0ttxxuEu2/:aE20ttxxua u均匀杆的纵振动均匀杆的纵振动一维非线性弹性振动一维非线性弹性振动0ttxxuu对弹性弦的横振动或弹性杆的纵振动，若作用力对弹性弦的横振动或弹性杆的纵振动，若作用力与形变不满足与形变不满足HookeHooke定律时，即有定律时，即有( ):非线性函数非线性函数0()ttxxtLCjjLGRC jRGj, , , , :R G C L j电阻，线间电漏，电容，电感，电流密度电阻，

22、线间电漏，电容，电感，电流密度1,:R G 21/,/aLC bG CR L20ttxxja j20ttxxtja jbj电报方程电报方程张紧的柔软均匀膜在垂直于平衡位置张紧的柔软均匀膜在垂直于平衡位置 平面方向的微小横振动平面方向的微小横振动xy( , , )u x y t ：膜在膜在 点点 时刻离开平衡位置的横向位移时刻离开平衡位置的横向位移, x yt0()ttxxyyuT uu:面密度面密度:T张力张力2/:aT20()ttxxyyua uu膜的横振动膜的横振动2222xy （LaplaceLaplace算子）算子）20ttuau声波方程声波方程230tta气体的振动是微小的：略去高阶

23、无穷小量气体的振动是微小的：略去高阶无穷小量设空气处于平衡状态时的密度和压强为设空气处于平衡状态时的密度和压强为00, p000() ppp 0() :ap理想气体动力学方程组理想气体动力学方程组声学方程组声学方程组设空气是无旋的：设空气是无旋的： 即即, 存在标量函数存在标量函数 使使0rot ,v ,u,vu 声速声速230ttuau 速度速度, 速度势速度势 :u:v电磁波方程电磁波方程2230022301rotttttcctcc jEEBBj真空中电磁场的真空中电磁场的Maxwell方程组方程组 电场强度电场强度, 磁感应强度磁感应强度, 介电常数介电常数, 磁导率磁导率EB00自由电

24、磁波：自由电磁波： 电荷密度电荷密度, 电流密度电流密度, 光速光速j001/c 00,j232300ttttccEEBB4. 4. 波动方程的一般形式及其定解问题波动方程的一般形式及其定解问题模型模型: :) 1(VV中的惯性力中的惯性力 + + 通过通过 作用在作用在 上的力上的力 = 0= 0VVVttdxu(Contact Force)(Contact Force)VVdxFdSFdiv弹性体弹性体: :uauFF2)(小形变小形变( )( )1u02uauttFuttdiv),(),(),(),(tzyxfuuuautyxfuuautxfuauxuxuutxxfuaunzzyyxxt

25、tyyxxttxxttnntt2222221212321维：维：维：维：DAlembert DAlembert 算子算子2tta 定解问题：定解问题：初值问题初值问题( (CauchyCauchy问题问题) )长弦的振动注：一维时，即为无限)(),(:,),(),(xuxuttxxxtxfuautnntt0012R2.2.混合初边值问题混合初边值问题的边界为上的边界条件)(),(:,),(),(xuxuttxxxtxfuautnntt0012R边界条件分三类：边界条件分三类： 0gunungnugu：第三类边界条件的单位外法线方向为：第二类边界条件：第一类边界条件)Robin()Neumann

26、(;)Dirichlet(热传导方程热传导方程热传导方程描述物体内的热传导现象，即由于温度分布描述物体内的热传导现象，即由于温度分布不均匀而引起的热量从温度高的地方向温度低的地方流不均匀而引起的热量从温度高的地方向温度低的地方流动的现象动的现象. . 扩散方程扩散方程扩散方程描述物体内的扩散现象，即由于浓度分布不均描述物体内的扩散现象，即由于浓度分布不均匀而引起的物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移的匀而引起的物质从浓度大的地方向浓度小的地方转移的现象现象. .2.2 2.2 热传导方程的定解问题热传导方程的定解问题1. 1. 热传导方程的导出热传导方程的导出FourierFourier实验定

27、律实验定律 tSnuukQtSnuuQtQnSuuuu21122121或则时间内流过板的热量；板的厚度；板的面积；薄板两侧的温度分别为:,2u1u热流方向热流方向nnS.) ,(:),(),(),(),(),(的热传导系数物体在点流过的热量为的外法线方向内沿薄片无穷小时段的薄片，的一个无穷小面积取过点记温度分布函数为zyxzyxkdSdtnuzyxkdQdSdtdSzyxzyxtzyxu0n密度；为单位时间内热源的体为密度为比热，),(,),(),(tzyxFzyxzyxc00qk u dQqdSdtn)()()(),(),(,内部热源释放的热量外部流入的热量需要吸收的热量温度升高考虑任意时段

28、；，任取对物体1221tzyxutzyxuttSGG 2112ttGGdtdxdydztuzyxzyxcdxdydztzyxutzyxuzyxzyxc),(),(),(),(),(),( 21ttGdtdxdydztzyxF),(21212121( , , )cos( , )cos( , )cos( , )divttStxyztStxyztGttGuk x y zdSdtnkukukudSdtkukukudxdydzdtxyzk u dxdydzdt n xn yn z为常数对均匀各向同性物体：kc,2211divttttGtGcu dxdydzdtk uF dxdydzdt divtcuk

29、uFfuaut2cFfcka,2其中当物体内部无热源时，当物体内部无热源时， 02uaut当物体内部有热源时，当物体内部有热源时， 考虑均匀薄板考虑均匀薄板( (上下底绝热上下底绝热) )：二维二维热传导方程；热传导方程；均匀细杆均匀细杆( (侧面绝热，同一截面上温度相同侧面绝热，同一截面上温度相同) )：一维一维热传导方程热传导方程一般地一般地, ,),(txfuaut2),(nxxxx21扩散方程的导出扩散方程的导出FickFick实验定律实验定律 qD u 扩散流强度，即单位时间内通过单位面积的粒子数（或质量）扩散流强度，即单位时间内通过单位面积的粒子数（或质量）( , , , ):uu

30、 x y z t 浓度，即单位体积中的粒子数（或质量）浓度，即单位体积中的粒子数（或质量）扩散系数扩散系数:q:D粒子数（或质量）守恒：粒子数（或质量）守恒：divtuD uF特例：扩散源强度与浓度成正比，特例：扩散源强度与浓度成正比，220tuaub u 特例：放射性衰变现象：特例：放射性衰变现象：220ln,tuauu均匀：均匀：2tuauF扩散源强度扩散源强度:F半衰期半衰期:2. 2. 定解条件的导出定解条件的导出)(),(:已知物体的初始温度zyxut 0；已知物体表面温度第一类边界条件gu: )Dirichlet()(1绝热特别地，的热量流过物体表面单位面积单位时间内沿法线方向已知

31、物体表面热流量：第二类边界条件02nunukdSdtdQgnu:)Neumann()(A. A. 初始条件初始条件B. B. 边界条件边界条件A. A. 初始条件初始条件B. B. 边界条件边界条件111111003uuknukdSdtnukdQukdSdtuukdQgunu实验定律为介质的温度为热交换系数，实验定律：物体表面的热交换情况已知物体与周围介质在第三类边界条件FourierNewton: )Robin()(3. 3. 定解问题定解问题A.A.初值问题初值问题( (CauchyCauchy问题问题) ),(:,),(),(xuttxxxtxfuaunnt0012RB.B.混合初边值问

32、题混合初边值问题.),(:,),(),(的边界为上的边界条件xuttxxxtxfuaunnt0012R复分析：解析函数平衡态问题：膜、浓度、温度等位势理论：引力场，静电场流体力学：无旋定常流随机场：布朗运动2.3 2.3 调和方程的定解问题调和方程的定解问题1. 1. 方程的导出方程的导出解析函数解析函数2( , ),ttuauf x t00,uv平衡态问题平衡态问题),(txfuaut2弹性膜平衡态：外力不随时间变化弹性膜平衡态：外力不随时间变化稳定浓度分布：扩散源不随时间变化稳定浓度分布：扩散源不随时间变化稳定温度分布：热源不随时间变化稳定温度分布：热源不随时间变化1( )uf x（Poi

33、ssonPoisson方程）方程）无源：无源：0u（LaplaceLaplace方程方程/ /调和方程）调和方程）位势理论（引力场、静电场）位势理论（引力场、静电场）引力场引力场万有引力定律：万有引力定律：3( , , )Mx y zr Fr000(,),xx yy zzrrr引力位势引力位势( , , ):Mx y zr F 上连续分布（密度上连续分布（密度 ）的质量产生的引力场的位势）的质量产生的引力场的位势()( )dPP PPPVr在在 外：外：0在在 内：内： （ 满足一定的正则性条件）满足一定的正则性条件）4静电场静电场CoulombCoulomb定律：定律：03014( , ,

34、),qqx y zkkrFr000(,),xx yy zzrrr( , , ):,:x y z E0/ GaussGauss定理：定理：01ddSVE n0div/, E无旋：无旋： 电势电势无源：无源：0不可压缩流体的无旋定常运动不可压缩流体的无旋定常运动质量守恒方程质量守恒方程 div( , , , )vF x y z tt:v不可压缩：不可压缩：const无旋流体：无旋流体：密度密度 速度速度, s.t., ,v 速度势速度势:定常：定常： 均与时间均与时间 无关无关( , , , )div( , , , )F x y z tvf x y z t, ,f vt( , , )f x y z

35、无源：无源：0布朗运动布朗运动12010,CCuuu2C1C假设：质点运动到边界上即终止假设：质点运动到边界上即终止( , , ):u x y z以以 为起点运动为起点运动, ,终止在终止在 上的概率上的概率( , , )x y z1C2.2.定解问题：边值问题定解问题：边值问题边界条件：边界条件：nR, ,有界有界, ,in. . on ufBC第一类第一类( (DirichletDirichlet):):|ug第二类第二类( (NeumannNeumann):):|ugn第三类第三类( (RobinRobin):):)(|0gunu:n的单位外法线方向的单位外法线方向. .A. A. 内问

36、题内问题A. A. 内问题内问题B. B. 外问题外问题in R . . on nufBCB. B. 外问题外问题11,uur10,lnuur2221010()|rurxyu22231011()rurxyzu021与外问题类似与外问题类似C. C. 无界区域的边值问题无界区域的边值问题D. D. 等值面边值问题等值面边值问题人口模型追赶问题交通流模型流体力学方程组与声学方程组电动力学Maxwell方程组2.4 2.4 一阶方程（组）的例子一阶方程（组）的例子1.1.人口模型人口模型 : ),( xtp人口在时刻人口在时刻 按年龄按年龄 的分布密度的分布密度, 即即tx时刻时刻 年龄在年龄在 的

37、人口数的人口数=t,dxxxdxxtp),(时刻时刻 的人口总数的人口总数=t0dxxtp),(不考虑死亡因素不考虑死亡因素:dxdtxtpdxxdttp),(),(, )( , )( ,)( , )p tdt xp t xp t xdtp t xdtdt0:dt pptx 0pptx考虑死亡因素考虑死亡因素:死亡率死亡率, : )(xd即年龄在即年龄在 中的人口在中的人口在,dxxx,dttt时段中的死亡数为时段中的死亡数为dxdtxtpxd),()(dxdtdtxtpdtxddxdtxtpdxxdttp),()(),(),(),()(),(),(),(),(dtxtpdtxddtxtpdt

38、xtpdtxtpxdttp:0dt),()(xtpxdxptp),()(xtpxdxptp定解条件定解条件初始条件初始条件)(:xppt00初始人口分布密度初始人口分布密度边界条件边界条件00dyytpybpx),()(:出生的婴儿数出生的婴儿数出生率出生率, : )(xb即年龄在即年龄在 中的人口在中的人口在,dxxx,dttt时段中出生的婴儿数为时段中出生的婴儿数为 , 因此因此 dxdtxtpxb),()(,dttt时段中出生的婴儿总数时段中出生的婴儿总数=, dt0=年龄在年龄在 中的人数中的人数dtdyytpyb0),()(dttp),( 02.2.追赶问题追赶问题 各种不同身高的人

39、在一直线各种不同身高的人在一直线(设为设为 轴轴)上前进上前进假设人的数目较多假设人的数目较多,从而可以采用连续模型从而可以采用连续模型 时刻时刻 处的人的身高处的人的身高所有人以同一常速度所有人以同一常速度 沿沿 轴正方向运动轴正方向运动:ax在任意直线在任意直线 上上, 取常数值取常数值(对应于同一人对应于同一人), 即即: ),( xthtxconstatxhconsttxth)(,(0dtdxxhthdtdh0 xhath)(),(atxfxthx速度速度 : ),( xtaa )(),(0 xxtadtdx每个人的运动规律每个人的运动规律: )(txx 同样有同样有consttxth

40、)(,(0 xhxtath),(速度速度 与身高有关与身高有关 : a如如),( xtha 0 xhhth(Burgers方程方程)一阶拟线性方程一阶拟线性方程更一般地：更一般地： ( ( , )aa h t x0( )hha htx3.3.交通流模型交通流模型 高速公路上行使的交通车辆的流动问题高速公路上行使的交通车辆的流动问题 轴正方向表示车辆前进的方向轴正方向表示车辆前进的方向x: ),( xtu时刻时刻 车辆按车辆按 方向分布的密度方向分布的密度(单位长度的车辆数目单位长度的车辆数目)xt: ),( xtq车辆通过车辆通过 点的流通率点的流通率(单位时间流过的车辆数目单位时间流过的车辆

41、数目)x即即, 时刻时刻 在在 中的车辆数中的车辆数=,dxxxtdxxtu),( 中在中在 内增加的车辆数内增加的车辆数 = x,dtttdtxtq),(车辆数守恒车辆数守恒:,dttt,dxxx即即, 在时段在时段 中通过中通过 点的车辆数目点的车辆数目=x,dttt 中通过中通过 点的车辆数点的车辆数 -dxx 通过通过 点的车辆数点的车辆数dtdxxtqdtxtqdxxtudxxdttu),(),(),(),(:,0dtdx0 xqtu)(uqq 结构方程结构方程, 如如)()/(jjfuuuuuaq1(Greenshield模型模型)(守恒律方程守恒律方程)4.4.流体力学方程组与声

42、学方程组流体力学方程组与声学方程组 220011022divdivdivtttpeueupuuuuIu：密度：内能：压强：速度upeu u一维：2220011022txtxtxuupeueup uu可压流体Euler方程组（无粘性、热传导）一阶拟线性方程组声学方程组：气体的微小振动000ppp在等熵方程组中忽略速度、速度梯度、密度梯度的高阶项00000divttpuu20tta20ttvav,:vv u0ap声速速度势一阶线性方程组不可压粘性流体的Navier-Stokes方程组310divkkkuptx uuufu粘性流体力学方程组2201122divdivdivttteueuuk Tuuu

43、uPfuPdivf u23divdivjiijijijijjiuuppxx uu不可压：1二阶拟线性方程组5.5.电动力学电动力学MaxwellMaxwell方程组方程组 真空中的Maxwell方程组0000div/rotdivrottt EBEBEBj0divtj各向同性媒质中的Maxwell方程组0divrotdivrotfftt DBEBDHj0divfftj电荷守恒律方程2.5 2.5 其他方程的例子其他方程的例子3 二阶线性偏微分方程简介二阶线性偏微分方程简介3.1 3.1 两个自变量情形的分类与化简两个自变量情形的分类与化简3.2 3.2 进一步化简进一步化简3.3 3.3 详细分

44、类详细分类3.4 3.4 多个自变量情形的分类多个自变量情形的分类3.5 3.5 特征理论特征理论3.1 两个自变量情形的分类与化简两个自变量情形的分类与化简021222212211aaafcjibajij均为连续可微函数其中,),(,)(:)(:)(:EllipticParabolicHyperbolicaaa椭圆型抛物型双曲型判别式0002211212: ),(yxuu fcuububuauauaLuyxyyxyxx212212112例如：例如：双曲型,)(01110椭圆型, 01110)(热传导方程0 xxtuu)(弦振动方程0 xxttuu: ),( xtuu 抛物型,)(0100)(

45、调和方程0yyxxuu: ),(yxuu 化简化简-各类方程的标准型各类方程的标准型 目标目标: : 通过自变量变换通过自变量变换, ,使方程的形式简化使方程的形式简化, ,有时甚至可以求出其通解有时甚至可以求出其通解自变量变换自变量变换),(),(yxyx可逆可逆: :0yxyxyxJ),(),(至少在某个至少在某个),(00yx的某个邻域内可逆变换在),(00yx),(),(yyxx),(),(),(),(),(),(yxyxuuyxuyxu在不引起误解的情况下仍然用在不引起误解的情况下仍然用 , , 而不用而不用uuyyyyyyyyyyxyxyyxxyyxyxxyxxxxxxxxxxyy

46、yxxxuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu222222)(:221211212aaabbcfucububuauaua212212112222122112222121112222122111122yyxxyyxyyxxxyyxxaaaaaaaaaaaa)(ffccbbaaabbbaaabyxyyxyxxyxyyxyxx21221211221221211122方程类型不变方程类型不变: :2J注意注意: : 零，需求解方程形式相同，要使它们为与2211aa)(0222212211yyxxaaa或或或或022212211aaayxyx022221211xyxyaaa02022221

47、2112212211dydxadydxaaadxdyadxdya或或分曲线：是下面常微分方程的积则的特解，且是方程若引理：Cyxyxyx),(,)(),(022)(0222212211dxadxdyadya反之亦然。反之亦然。（称（称（* * *）为）为特征方程特征方程，其积分曲线为，其积分曲线为特征线特征线）下面以常系数情形为例下面以常系数情形为例),(为常数cbaiij根特征方程有两个相异实双曲 : )()(01时：011a,2111211112aadxdyaadxdy特征线为直线：特征线为直线：,2211CxyCxyxyxy2102211aa时：011a特征线为直线：特征线为直线：,22

48、21212CyaaxCx02211aayaaxx22122这样可以得到双曲型方程的第一标准型：这样可以得到双曲型方程的第一标准型：1111DuCuBuAu若再令若再令sr则有则有ssrrsrsruuuuuuuuu这样可以得到双曲型方程的第二标准型：这样可以得到双曲型方程的第二标准型：1111DuCuBuAuusrssrr例例1特征方程只有一个实根抛物 : )()(02时：011a时：011a012 a,111221aa特征线为直线：特征线为直线：Cxy1xy1011a)(02211212aaa),(yxxy101211aa这样可以得到抛物型方程的标准型：这样可以得到抛物型方程的标准型：2222

49、DuCuBuAu012 a例例2特征方程没有实根椭圆 : )()(03)(02211212aaa02211aa ,ibaaiaa11111221,xibayxibay)()(引入实变量：引入实变量：bxisaxyr2200122211aaa,这样可以得到椭圆型方程的标准型：这样可以得到椭圆型方程的标准型：3333DuCuBuAuusrssrr例例3例例1 1254yxyyxyxxuuuuu04252双曲：05422dxdxdydy04)(dxdydxdy特征线特征线214CxyCxy,xyxy4uuuuuuyx4,uuuuuuuuuuuuyyxyxx816542239uu9231uu还可以求出

50、通解：还可以求出通解：uv9231vv3392eve3132efvu)()()(gefu332)()()(),(xygexyfxyyxuxy34432)(13332feve例例2 2yyyxyxxeuuu440422抛物：04422dxdxdydy特征线特征线Cxy 2022)(dxdyyxy2eu41)()(gfeu41)()(),(xygyxyfeyxuy2241例例3 30 xyyxyxxuuuu01221椭圆：022dxdxdydyxxy232uuuu3232232121i,几个变系数的例子几个变系数的例子例例4 4022yyxxuxuy022yx除坐标轴外双曲：02222dxxdyy

51、0)(xdxydyxdxydy特征线特征线22212221212121CxyCxy,222222xyxyyuyuuxuxuuyx,uuuyuyuyuuuuxuxuxuyyxx22222222)()()(uuu222222例例5 502222yxyyxyxxuyxyuuyxyuux0222yxxy)(抛物：022222dxyxydxdydyx02)(ydxxdy特征线特征线Cxyyxyuuydxxdy xdxydyCxylnlnCxy )()(),(xygxyfeyxuy例例6 602yyxxuxu02xy轴外椭圆：除0222dxxdy22xy)(021uuu22xdxdyixdxdy22122

52、2CxiyCxiy,221222CixyCixy,例例7 7)(Tricomiuyuyyxx0022dxydy)()(uuu61:0y0dyyidxCyix23322332yxuuu31:0y0dyydxCyx2332)(23233232)()(yxyxy 上半平面椭圆上半平面椭圆下半平面双曲下半平面双曲横轴上抛物横轴上抛物3.2 3.2 进一步化简进一步化简三类标准型：三类标准型：3333DuCuBuAuusrssrr2222DuCuBuAusrss1111DuCuBuAuusrssrr1111DuCuBuAusrrs双曲双曲抛物抛物椭圆椭圆（1）（1*）（2）（3）目标：引入未知函数变换来

53、消去一阶项（以常系数情形为例）目标：引入未知函数变换来消去一阶项（以常系数情形为例）),()(为待定常数bauevbsarbsarveubsarssbsarrrebvvueavvu)(,)(bsarsssssbsarrsrsrsbsarrrrrrevbbvvueabvbvavvuevaavvu)(,)(,)(22221111DuCuBuAusrrs以以（1 1）为例为例)()()()(bsarsrrseDvCabbBaAvaBvbAv11111111BaAb,)(sArBuev11111111FvEeDvCBAvbsarrs)()(11FvEvrs双曲型和椭圆型方程可进一步化简为标准型：双曲型

54、和椭圆型方程可进一步化简为标准型：11FvEvvssrr33FvEvvssrr双曲双曲椭圆椭圆3.3 3.3 详细分类详细分类（考察整个求解区域（考察整个求解区域 ）1. 1. 双曲型：双曲型：2. 2. 抛物型：抛物型：3. 3. 椭圆型：椭圆型：4. 4. 混合型：混合型：5. 5. 退化双曲型：退化双曲型：6. 6. 退化椭圆型：退化椭圆型：),(,yx0),(,yx0),(,yx00yyxxuu0yyxuu0yyxxuu)0(,),0(),(分界线上抛物由连续性一部分区域椭圆一部分区域双曲00yyxxuyu)0(),(其余部分抛物一部分区域双曲00yyxxuuy2)0(),(其余部分抛

55、物一部分区域椭圆00yyxxuuy23.4 3.4 多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类Recall: Recall: 两个自变量的情形两个自变量的情形22121211aaaaA特征值特征值21,212221121aaaA异号与双曲2:100:2中有一个为与抛物10同号与椭圆2:10多个自变量的情形多个自变量的情形fcuubuaLunjxjnjixxijjji11, nnnijaA，的特征值为21jiijnjiijaaa,012几种类型（不包含所有）：几种类型（不包含所有）：),(处考虑在某点00201nxxx1. 1. 双曲型：双曲型：2. 2. 抛物型：

56、抛物型：3. 3. 椭圆型：椭圆型：4. 4. 超双曲型超双曲型 ：5. 5. 超抛物型：超抛物型：同号，另一个异号，其中均不为11nn0,2，且同号均不为0,2n1，其余同号中有一个为0,2n1不少于两个负号，且不少于两个正号，均不为0,2n1)(4n，其余同号中有一个不止为0,2n1 注：对矩阵注：对矩阵 或二次型或二次型 而言：而言：AnjijiijaQ1,)(双曲：双曲：抛物：抛物：椭圆：椭圆：)(另一个必异号个特征值同号非退化，且1n，其余同号且特征值只有一个为退化0,正定或负定例例1 1022222212nxuxuxuu,11A121n22221nQ)(椭圆椭圆例例2 222222

57、2122222nxuxuxuauatu,221aaA012210an,)()(22221220naQ双曲双曲例例3 32222221222nxuxuxuauatu,220aaA002210an,)()(222212naQ抛物抛物例例4 4242232222212xuxuxuxu,1111A114321,24232221)(Q超双曲超双曲例例5 5)(122212222mnxuxuxuatunmm,2200aaA0021110anmmm,)()(22122nmmaQ超抛物超抛物3.5 3.5 特征理论特征理论2220110010,() ,:,ttxxtua uxxutxu一个例子：一个例子：初值连续且一阶导数连续初值连续且一阶导数连续二阶导数在二阶导数在 间断间断1x 221101() ,( , ),xatxatu x txat连续且一阶导数连续，连续且一阶导数连续，二阶导数在二阶导数在 间断（间断（弱间断弱间断）1xat 11xt特征线特征线constxat弱间断解的概念弱间断解的概念0( , ,.,)( )NF