Lect 27_Chapter 13 达朗贝尔原理

1、1/45Lecture 27Chapter 13达朗贝尔原理FNFmaIF0NmFFa理论力学理论力学 Ch.13 Ch.13 曾岩曾岩 (zengyan_)13.1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理13.2 13.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化13.4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力Chapter 13达朗贝尔原理2/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理简简 介介达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的一个新的普遍的方法。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据静力平衡的理论来研究问题并求解，因此也称为动静法。分析力学是

2、理论力学的另一个分支，它建立在虚功(位移)原理和达朗贝尔原理的基础上。两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分析力学各种系统的动力学方程。3/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理几个工程实际问题简简 介介4/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理简简 介介5/45几个工程实际问题Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理13.1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理1. 惯性力惯性力人用手拉车，使质量为m的车获得加速度a，则人手对车的作用力：m FFa小车初始静止，由于具有惯性，力图保持该运动状态，对迫使其产生加速运动的施力物体( (人手) )产生反抗力，该力称为小车的惯性力，即

3、：惯性力和反作用力的联系与区别？FaFmFa6/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理2. 质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理NmFFa0NmFFaIm Fa质点的惯性力有0NIFFF质点的达朗贝尔原理：作用在质点上的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。 FNFmaIF13.1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理7/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理惯性力：1) 惯性力属于虚加的力，不是真实存在的力2) 惯性力是质点对施力体反作用力的合力质点的达朗贝尔原理：该方程对动力学问题来说只是形式上的力系平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最

4、大优点是可以利用静力学提供的解题方法给动力学问题一种统一的解题格式。关于惯性力及达朗贝尔原理的说明：2. 质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理13.1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理8/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1 kg的小球系于长l=0.3 m的绳上, ,绳的另一端系在固定点O, ,并与铅直线成 =60o角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力FT。OtbnlTFmg 例例13-113.1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理9/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理2sinnInvFmamln

5、TIm gFF00,cos0bTFFmg0,sin0nnTIFFF解得1.96cosTmgFN2sin2.1m/sTF lvmOtbnlTFmg 解 例例13-113.1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理10/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度 ，相对于车厢静止，求车厢的加速度a。aO 例例13-213.1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理11/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理选单摆的摆锤为研究对象虚加惯性力 0 sincos0 xIFmgF由动静法有tgag 解得 角随

6、着加速度a的变化而变化，当a不变时， 角也不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度a。这就是摆式加速计的原理。TFamgIF(方向与a相反)IFma 解 例例13-213.1 惯性力惯性力质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理12/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理13.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理记( )eiF为作用于第i个质点上外力的合力( ) iiF为作用于第i个质点上内力的合力有 eiiiIieioioioIiFFF0MFMFMF001,2,iNiIiinFFF质点系的达朗贝尔原理：质点系中每个质点上作用的主动力，约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系。13/45C

7、h.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理因 0,0iiiOiFMF有 eiIieOiOIiFF0MFMF0上式称为质点系的达朗贝尔原理：作用在质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。13.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理14/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理如图所示，定滑轮的半径为r，质量为m，均匀分布在轮缘上，绕水平轴O转动。跨过滑轮的无重绳的两端挂有质量为m1和m2的重物(mm2)，绳与轮间不打滑，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。 例例13-313.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理15/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理OxFOyF2

8、m g1mgmgaaO1122IIFm aFm atIiiiFmrma0OM得1212mmagmmm2nIiivFmr由iimarm armar1IFtIiFnIiF2IFim11220im gm am gm a rmar 解 例例13-313.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理16/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理用动量矩定理求解21212OLm vrm vrmrmmm vr1212ddeOOiLMFtmmm arm grm gr得1212mmagmmmOxFOyF2m g1mgmgaaO 解 例例13-313.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理17/45Ch.1

9、3 达朗贝尔原理达朗贝尔原理飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度 定轴转动，设轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘上，不考虑重力的影响。求轮缘横截面的张力。 ROxy 例例13-413.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理18/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理令0,i2220cosd22AmmRFR2220sind22BmmRFR22nIiiiimFmaRRR0,cos0 xIiiAFFF0,sin0yIiiBFFFIiFAF ROxyABBFii 解 例例13-413.2 质点系的达朗贝尔原理质点系的达朗贝尔原理19/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理13.3 刚体惯性力系

10、的简化刚体惯性力系的简化 eiIieOiOIiFF0MFMF0质点系达朗贝尔原理 eIRIiiCm FFFa主矢上式对任何质点做任意运动均成立，且主矢的大小和方向与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关。质点系中各质点的惯性力 组成惯性力系IiF20/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 eIRiCm FFa1) 刚体平动惯性力系向质心简化：CICr0M0()()IOiIiiiii iCCCmmm MrFrararaiCaa平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合通过质心的合力力，大小等于 ，方向与加速度方向相反结论：Cma13.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化21/45

11、Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 eIRiCm FFa2) 刚体定轴转动 OzyxnIiFritIiFziyixi i2cos(sin)i ii ii ii imrzmrzttIiiii iFmamrtnIxxIixIixIiMMMMFFF由cos,siniiiiiix ry r有2I xii iii iMm x zm y z2nnIiiii iFmamr惯性力系对于x轴的矩：13.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化22/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 eIRiCm FFa2) 刚体定轴转动 OzyxnIiFritIiFziyixi i2I xii iii iMm x zm

12、 y z记,yzii ixzii iJm y zJm x z以上两式称为对于z轴的惯性积2IxxzyzMJJ同理可得惯性力系对于y轴的矩：2IyyzxzMJJ13.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化23/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 eIRiCm FFa2) 刚体定轴转动 OzyxnIiFritIiFziyixi i惯性力系对于z轴的矩IOIxIyizMMMMijk2tzIIiziiiziiMm r rm rMJF因 有0nzIiMF13.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化24/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 eIRiCm FFa2) 刚体定轴转动如果刚体有质

13、量对称面且该面与转动轴z垂直,简化中心O取此平面与转轴的交点，则0,0 xziiiyzii iJm x zJm y z有IOIzzMMJ 当刚体有质量对称面且绕垂直于该对称面的轴作定轴转动时，惯性力系向转轴简化为此对称面内的一个力和一个力偶结论13.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化25/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 eIRiCm FFa3) 刚体平面运动(平行于质量对称面)ICCMJ 平面运动分为随质心C的平动和绕C的转动：当刚体有质量对称面且平行于此平面运动时，刚体惯性力系简化为此平面内的一个力和一个力偶结论：IRFICM13.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化26

14、/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理如图所示均质杆的质量为m，长为l，绕定轴O转动的角速度为 ，角加速度为 。求惯性力系向点O简化的结果(方向在图上画出)。 例例13-513.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化27/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理tIOFnIOFIOMtCanCa惯性力系向点O简化2tIOlFm22nIOlFm213IOMmltIOFnIOF因为 ，是否可以把惯性力系的主矢画在C点上？IRCm Fa 解 例例13-513.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化28/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理tIOFnIOFIOMtCanCatICFnICF

15、惯性力系向点C简化2tIClFm22nIClFm2112ICMmlICM 解 例例13-513.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化29/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理如图所示，电动机定子及其外壳总质量为m1，质心位于O处。转子的质量为m2，质心位于C处，偏心矩OCe,图示平面为转子的质量对称面。电动机固定于水平基础上，转轴O与水平基础间的距离为h。运动开始时，转子质心C位于最低位置，转子以匀角速度 转动。求基础给电动机总的约束力。ChOe 例例13-613.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化30/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理因 ，得t22sinxFm et 2

16、122cosyFmmgm et222sinsinMm getm eht2IFme0,sin0 xxIFFF20,sinsin0AIMMm geF h120,cos0yyIFFmmgFChOeIFAM2m g1m gAAyFAxF 解 例例13-613.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化31/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理如图所示，电动绞车安装在梁上，梁的两端搁在支座上，绞车与梁共重为P。绞盘半径为R，与电机转子固结在一起，转动惯量为J，质心位于O处。绞车以加速度a提升质量为m的重物，其它尺寸如图。求支座A、B受到的附加动约束力。 例例13-713.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性

17、力系的简化32/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理IFma解得：232121AJFmglPla mlllRIOaMJJR2231200BIIOAMmglF lPlMFll00yABIFFFmgPF11231121BJFmglP llla mlllRmgIFPAFBFIOMa 解 例例13-713.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化33/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理mgIFPAFBFIOMa上式中前两项为静约束力，附加动约束力为：212AaJFmlllR 112BaJFmlllR 212aJmlllR112aJmlllR23121()AFmglPlll1123121BFm

18、glP lllll 解 例例13-713.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化34/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理已知，均质圆盘m1，R，纯滚动；均质杆l=2R，m2。求1)F多大，能使杆B端刚好离开地面？2)轮与地面间的静滑动摩擦系数多大保证纯滚动？B 例例13-813.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化35/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理2111,2IAIAaFm aMm RR1)取杆为研究对象，刚好离开地面时，地面约束 力为零，此时杆仍平移，设其加速度为a，则220sin30cos300AMm aRm gR得3ag2ICFm a取整体为研究对象，附加惯性力，

19、如图所示解得12332Fmmg20sin30cos300DIAIAICMFRF RMF Rm gR 解 例例13-813.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化36/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理得 132sFm g解得11232ssNFmfFmm12ssNsFf Ffmmg由1200 xsFFFmma2) 求纯滚动的静滑动摩擦系数 解 例例13-813.3 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化37/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理13.4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力00 xAxBxRxI xFFFFF00yAyB yR yI yFFFFF00

20、zBzRzFFF00 xB yAyxI xMF OBF OAMM00yAxBxyI yMF OAF OBMM OzyxAyFAxFABByFBxFBzFRFOMIRFIOM38/45空间力系平衡方程空间力系平衡方程Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理解得 1IyIxAxyRxFMF OBAMBBF O 1IxIyAyxRyFMF OBMOBABF 1IyIxBxyRxFMF OAMOAABF 1IxIyByxRyFMF OAAMABF O BzRzFF 13.4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力39/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理 OzyxAyFAxFABByFBxFBzFRFOMIRFIOM轴承附加动约束力为：1AxIyIxFMF OBAB 1AyIxIyFMF OBAB 1BxIyIxFMF OAAB 1ByIxIyFMF OAAB 0BzF 13.4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力40/45Ch.13 达朗贝尔原理达朗贝尔原理要使轴承附加动约束力为零，有：0IxIyFF0IxIyMM进一步，有：0IxCxFma 20IxxzyzMJJ0IyCyFma 20IyyzxzMJJ得到附加动约束力为零的条件为：0Ca 0 xzyzJJ13.4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴