lecture on knots

1、2022-3-61哈尔滨工业大学数学系雷逢春2022-3-62l1. 扭结、链环的定义和例子l2. 扭结（链环）的等价、投射图和 Reidemeister定理l3. 扭结理论及历史回顾l4. Jones多项式l5. 扭结理论的应用之一 DNA的拓扑结构2022-3-63l 生活中我们每天都在与绳结打交道:用绳子捆东西、系鞋带、缝衣服、织毛衣、小朋友玩的绳圈翻花游戏等等。用绳子打结，用于各种目的，可以说司空见惯，一点也不足以为奇。2022-3-64l 直觉上我们会认为上面的两个绳结应该不同。如果固定绳头两端（即不许把绳头抽回重穿），你没法把左边的绳结变到右边的绳结。否则，则不然。因此研究绳结时，

2、应该把两端固定。通常的作法是把两端系在一起，得到所谓的扭结，如下图所示：2022-3-65l 扭结的定义：三维欧氏空间中的连成一体的（连通的）、封闭的（没有端点的）、没有粘连的（自己与自己不交的）一条曲线就称为一个扭结。l 数学上扭结的定义：把单位圆周到三维欧氏空间中的一个嵌入称为一个扭结。l 把单位圆周嵌入到平面上，得到的扭结是一个（拓扑）圆盘的边界，这样的扭结称为平凡扭结。2022-3-66l简单扭结的例子：平凡扭结三叶结8字结方结2022-3-672022-3-68l 链环：空间中由有限个互不相交的扭结组成的几何对象就称为一个链环。l 这样，扭结就是只有一个分支的链环。l 链环的例子：

3、平凡链环Hopf链环Borromean链环2022-3-69l 说到扭结，不能不提到拓扑学。实际上，扭结理论是拓扑学的一个重要分支。但什么是拓扑学?l 拓扑学是数学中容易定义却又不太容易理解的分支。简单地说，拓扑学是研究几何对象在连续变形下保持不变的性质的学问。直观地说，所谓“连续变换”（也叫拓扑变换，或同胚）就是使几何对象受到弯曲、拉伸、压缩、扭转或它们的任意组合。这里理想地假设受到变形的几何对象具有弹性，能充分地经受这样的操作。下面和拓扑性质有关的几个有趣的问题:2022-3-610l一笔画问题一笔画问题l一笔画问题是一个简单的数学游戏. 简单地说,就是问：平面上一个由曲线段构成的一个图形

4、能不能一笔画成，使得在每条线段上不重复？l易知，汉字“日”、“中”都可以一笔写出，而“田”和“目”都不能一笔写出。l显然，图形能不能一笔写出与图形中线段的长度、形状等几何概念没有关系，要紧的是线段的数目和他们之间的连接关系，也就是说一笔画问题的关键是图形的整体结构。2022-3-611l著名的七桥问题著名的七桥问题：流经哥尼斯堡的普雷格河的河弯处有两个小岛，有七座桥连接了两岸和小岛。当地流传一个游戏：要求在一次散步中恰好通过每座桥一次。见下图：2022-3-612l很长时间没有人能做到。后来大数学家 Euler研究了这个游戏，他把这个游戏变成右边的图形能不能一笔画成的问题，并且他证明了该图形是

5、不能一笔画成的。l地图着色问题地图着色问题：给地图着色是要把相邻的国家（或区域）着上不同的颜色，以便容易加以区分。那么，绘图员至少要准备多少种颜色才能给任何地图着色？l显然，地图着色问题与度量（区域的面积、边界线的长度等）和形状无关，关键是区域的个数和他们之间的邻接关系。地图经过变形（缩放或各种投影）后所需颜色数不变。2022-3-613lEulerEuler多面体定理多面体定理：凸多面体的面数f、棱数l和顶点数v满足Euler公式f-l+v=2 实际上， Euler多面体定理可以推广到球面上的图形，只要该图形满足如下条件：l每条弧的端点互不同l不同的弧若相交，只交于端点l每条弧不自交。202

6、2-3-614以上几个问题显示出几何图形的一类特别的几何性质，他们涉及到图形在整体结构上的性质，这就是所谓的“拓扑性质”。拓扑性质与几何图形的大小、形状以及所含线段的曲直等都无关，也就不能普通的几何方法来处理。专门研究几何图形的拓扑性质的数学分支就是拓扑学。拓扑学通常被形象地成为“橡皮几何学”，因为它研究的拓扑性质在图形作弹性变换时是不会改变的。拓扑魔术：下面是一个橡皮泥模型，如何解开相互套在一起的环？2022-3-615l象上述那样简单的作法谁都会,没什么希奇。如果不断开，你能从左上变到右上吗？2022-3-616l答案：2022-3-617l 一个扭结（或链环）可以在空间中自由地连续变形，

7、但不许剪断，不许粘合。如果一个扭结（或链环）在空间中可以经过这种移位连续变形变成另一个，就称这两个扭结（或链环）是等价的，或相同的（在拓扑上）。2022-3-618l扭结的表示：对于一个确定的扭结K，在空间中取一个平面P，考虑K在P上的投影图。适当地在空间中挪动K，使得投影图满足以下条件：l 1 只有有限个重叠点l 2 每个重叠点都是二重点l 3 在每个二重点，上下两线交叉穿越，在上面的线用实线表示，在下面的线用实线在交叉点附近断开表示l 这样一个投影图就称为K的一个标准投影图，或简称为投影。显然，总可以得到一个扭结（及类似地，链环）的（不止一个的）标准投影图。2022-3-619l 扭结和链

8、环可以用投影图来确定。但一般说来，等价的扭结（或链环）可以有不同的投影图。例如， 2022-3-620l容易知道,对扭结(或链环)的一个投影图作如下三种变换,不改变对应的扭结(或链环):2022-3-621l上述三种变换也称为投影图的基本（或初等）变换.l两个投影图决定的扭结(或链环)是等价的当且仅当其中一个投影图可以经过有限次的上述三种变换和（适当地）同痕移动变为另一个。2022-3-622l数学上的扭结理论是拓扑学的一个重要组成部分。扭结理论就是研究扭结（或链环）在连续变形下保持不变的特性（称为不变量），其目的在于告诉人们如何区分（本质上）不同的扭结。2022-3-623l 由于扭结与链环

9、既直观又充满奥妙，扭结理论有通俗易懂妙趣横生的一方面，又有极其深刻的内涵，并且与分子生物学、理论物理等自然科学领域密切相关，扭结理论近年来成为数学上特别璀璨的明珠。 扭结理论的基本问题：扭结理论的基本问题：l任给两个扭结（或链环），怎样识别它们是否相同？1.特别地，任给一个扭结（或链环），怎样识别它是否等价于一个平凡扭结或平凡链环（能够嵌入到平面上的链环）？2022-3-624l 历史历史：人们认识并利用绳结的历史可以追溯到相当久远，但对扭结进行系统理论研究的历史却不长，只有一个世纪多一点的时间，起因还得归功于物理学。十九世纪下半页，有一种原子模型，认为原子由中心的涡圈轴线决定，轴线可以打结，

10、不同的结代表不同的原子。这个学说促使一大批物理学家去研究绳圈的打结现象。经过多年努力，第一张扭结表于1899年问世，其中列出了交叉点不超过10的大部分(素)扭结。 到1969年,英国数学家J.H.Conway发现了扭结的一个新的表示,并用它给出了交叉点不超过11的大部分(素)扭结列表。到1982年,数学家们给出了交叉点不超过13的所有(素)扭结列表。2022-3-625l扭结理论中另一个重要（也是有趣）的问题就是镜像问题镜像问题，或者称为手征问题手征问题。设L是一个扭结或链环，并给定了L的一个投影图。L的镜像就是把L的这个投影图中的每个交叉点处的上线改为下线，下线改为上线后所得投影图对应的扭结

11、或链环L*。实际上，L*就是L在一个镜面中的像，且与镜面的选取无关，故称为L的镜像。如果L与L的镜像L*是等价的等价的，我们就说L是无手征的无手征的，否则称L是有手征的有手征的。l所谓镜像问题（或手征问题）是问：给定一个扭结或链环，怎样判断它是否有手征？2022-3-626l自然界中的许多物理现象、化学现象、生物现象等均与手征问题有关，所以手征问题在应用上是很重要的。l例：8字结与其镜像等价。2022-3-627l如果我们不拘泥于初等变换，那么下面的图更容易使我们相信。图中用粗实线与虚实线来表明把哪条线挪到哪个位置。线条只挪动了一次，其余都是平面变形。2022-3-628l从1984年之前，人

12、们对于交叉数不超过9的素扭结是否有手征的问题都给出了完全的回答。从结果看，大多数这样的扭结是有手征的。但很多这样问题的解决都依赖于很多高深的理论和复杂的方法。甚至连区分三叶结和它的镜面像是否等价也颇费周折。1984年之后，情况发生了戏剧性的改变。?2022-3-629l 扭结理论的主要课题,是寻找既有强的分辨不同扭结的能力,又易于计算的不变量。l 1984年，新西兰数学家J.Jones发现了链环的一个不变量后来被称为。这是扭结理论（也是数学）上的一个重大突破，扭结不变量的研究因此被推到世界数学舞台的中央，受到举世瞩目，至今仍非常活跃，硕果累累。2022-3-630l 一方面，Jones多项式容

13、易计算，有很强的识别不同扭结的能力，它甚至可以识别三叶结和它的镜面像；l 另一方面，找到了扭结理论与理论物理（主要是量子统计力学、量子场论）的结合点。这不但大大推动了理论物理学的发展，反过来，物理学家也为数学发展作出贡献，提出了一系列的扭结不变量。l 再一方面，利用Jones多项式解决了许多扭结理论中长期悬而未决的困难问题。l Jones因此于1990年在京都国际数学家大会上获得数学最高荣誉奖-Fields奖。2022-3-631l 1984年，Jones发现，可以给每个链环的一个定向投影图L联系上一个多项式V(L)，使得这个多项式完全由L本身决定，与投影图的选取无关，这就是Jones多项式。

14、这里说的多项式是指有限多个形如 的和，其中各项的系数都是整数，而t的方幂k可以是整数，也可以是半整数（如1/2，-5/2等）。下面就来陈述Jones的定理：kkta2022-3-632l定理：定理：存在一个对应V，给每个定向投影图L联系上t的整系数多项式V(L),满足：l 1）如果K,L对应的是等价的扭结（或链环）,则V(K)=V(L);l 2)有拆接关系式：lt V( )-tV( )=(t -t )V( ),l其中的 ， ， 代表只在某一交叉点这样不同，其它完全相同的有向投影图；l 3）V( )=1l上述定理通常称为Jones定理。-11|21|2-2022-3-633lJones定理中的性

15、质（1），（2），（3）使我们能够相当方便地算出一些常见的扭结和链环的Jones多项式。l例1 两个分支的平凡链环：2022-3-634l上图左边和中间的都是平凡扭结，它们的V值均为1，这样就有l记l反复使用上述办法就能证明，如果L是c个分支的平凡链环，则L的Jones多项式为)(2121tt1)(cLV2022-3-635l例2 简单圈套。 把拆接关系式用于2022-3-636l例3 三叶结。先算右手三叶结。把拆接关系式用于中间是平凡扭结，右边的在例2中已算出，故有2022-3-637l注意到右手三叶结与左手三叶结的Jones多项 式不同，由Jones定理，它们是。2022-3-638202

16、2-3-639lJones多项式的发现，有如一声春雷，使扭结理论成为世界数学界乃至于物理学界和生物学界注意的焦点之一，并引发了一连串的重要进展，开辟了扭结理论与许多别的数学分支、与物理学和生物学的一些分支的联系渠道。l尤其令人惊异的是，人们已为Jones多项式找到一种不需要什么准备知识的初等证明，一个连中学生都能理解的证明。这就是说，作为事后诸葛亮，我们发现这块瑰宝原来埋藏的并不深，不知为什么先贤们竟错过了它。2022-3-6402022-3-641l DNA是高分子化合物，是生物遗传信息的携带者，是分子生物学的重点研究对象。虽然决定遗传信息的主要是DNA的，DNA分子的对其物理、化学性质乃至

17、于生物活性都有很大影响。因此，对这些空间结构和几何形状的研究对于揭示生命现象的奥秘有重要意义，是分子生物学的重要研究课题之一。2022-3-642lDNA由脱氧核苷酸连接而成，每个核苷酸则是由一个磷酸分子、脱氧核糖分子和一含氮的碱基组成。绝大多数DNA分子是：有两条由脱氧核糖与磷酸相间连成的长链，称为主链，作为；每个核糖分子分子上连着一个碱基，在两条主链上的互相对应，通过氢键连接起来形成碱基对，作为。沿一条主链读出其碱基排列顺序，就是所谓的，其中就包含着生物的遗传信息。2022-3-6432022-3-644l 双链DNA具有一种特别的立体结构-双螺旋结构。确定双螺旋的几何形状的重要因素之一就是它的轴线的形状，。交叉点不超过6的扭结作为双螺旋结构的轴线，都已在实验中观察到。l已经知道，DNA在细胞核中的扭曲、绞拧和打结直接影响到DNA的复制、转录和重组等生命的基本活动。这些活动是