第3章收益率01

1、第第3章收益率章收益率【考试要求】【考试要求】3.1收益率的定义收益率的定义现金流分析收益率的定义再投资收益率3.2收益率的应用收益率的应用基金收益率时间加权收益率投资组合法与投资年法资本预算股息贴现模型【要点详解】【要点详解】3.1收益率的定义收益率的定义1现金流分析现金流分析（1）记号Ot：投资人在t时刻的现金流出（或称为投资）；It：投资人在t时刻的现金流入（或投资回收）；Ct=OtIt：t时刻的投资支出（负数表示回收），为t时刻的净现金流出。Rt=Ct：t时刻的净现金流额。Rt0表明在t时发生投资回收，是投资人的收入。（2）现金流折现分析对于一般的现金流Rt （t=0，1，2，n），在

2、利率为i时有现值：V（0）可能为正值，也可能为0或负值。0(0) ntttVv R【例题【例题3.1】李先生第一年初投资10000元，第二年初投资5000元。以后每年初投入1000元。总共投资10次。从第七年起，开始收回投资及回报：第七年初收回8000元，第八年初收回9000元，第11年初收回12000元。具体现金流情况如表3-1所示。设利率i=0.08，则该现金流的现值为（）元。表表3-1：现金流量表：现金流量表A6800.93B6801.93C6803.93D6805.93E6807.93【答案】【答案】D【解析】【解析】i=0.08，所以 ，故现金流的现值为： 111.081vi2345

3、678910(0)10000500010001000100010007000800090001000012000Vvvvvvvvvvv （元）2收益率的定义收益率的定义（1）定义：收益率是使投资支出现值与投资回收现值相等的利率。满足上式的i值就是Rt（0tn）现金流的收益率。注意：在金融、保险实务中，收益率也称为内部收益率。（2）收益率的唯一性一般而言，若在0n期间内存在一时刻t，t之后的期间里现金流向是一致的，t之前的期间内的现金流向也是一致的，且这两个流向方向相反，则收益率必然是唯一的。更宽松的条件：若在0n-1内各发生现金流的时刻，投资（包括支出及回收，总称为投资）的积累额大于0，则该现

4、金流的收益是唯一的。满足（3.1）式的收益率值的个数最多为现金流中现金改变方向的次数。【例题【例题3.2】某投资者第1年年末投资7个单位，第2年年末投资1个单位，而第1、第3年年末分别收回4个和5.5个单位，计算该现金流的内部收益率为（）。A0.1775B0.1875C0.1975D0.2075E0.2175【答案答案】C【解析解析】由已知，有R1=7+4=3，R2=1，R3=5.5，则5.5v33vv2=0，解得：v=0.83503（负值舍去），故：i=v-11=19.76%。0(0)03.1ntttVv R【例题【例题3.3】一项期限为10年的投资，需要启动资金10000元及一年后再投入8

5、000元，第2年末获利1000元，以后每年都比上一年多获利1000元。第10年投资结束，除9000元的获利以外，还收回残值3000元，则这项投资的收益率为（）。A0.1481B0.1581C0.1681D0.1781E0.1881【答案】【答案】B【解析】【解析】设收益率为i，则v=（1+i）-1，根据题意，得：当i=0.15时，f（i）=764.51；当i=0.16时，f（i）=176.55，由线性插值法，得：.10910000 80001000 ()30000vv Iav109( )10000 80001000 ()3000f ivv Iav令，764.51 (0.16 0.15)0.15

6、15.81%176.55 764.51i3再投资收益率再投资收益率简单情形：0时刻投资1单位货币，投资期限为n，本金年利率为i。每年产生的利息按利率j再投资，即利息的年利率为j，则投资回收值在时刻n的积累值为：在标准年金中，各次付款产生的利息的再投资收益率均为j，付款的本金之和随时间推移逐年增加，每期所产生的利息也就逐年增加。时刻n的积累本息和为：若i=j，则上式化简为 。 (3.2)1jnis 1() (3.3)ijnnsnni Isnij ins【例题例题3.4】某贷款原计划每半年归还50，加上以年利率4%（每半年计息一次）及未偿还贷款余额条件下计算的每半年应还的利息，共10年。后来这些还

7、款以年利率5%（每半年计息一次）进行再投资，10年末一次性归还。则此贷款的年投资收益率为（）。A0.044B0.046C0.048D0.050E0.052【答案】【答案】B【解析】【解析】显然本金为1000元，故依次支付的利息为：20，19，1。每半年归还50加上每半年支付利息20，19，18，1，所有的这些还款以0.025的半年复利率进行再投资，在10年末的积累值为：最后一次还款后积累额的现值即为贷款额，故1000（1+i）10=1566.34，解得：i=1.566340.101=0.0459。20 0.02520 0.02520 5020 1.02525.544850 25.54480.0

8、251566.34sDs【例题例题3.5】甲在期初一次性投资1000元，年实际利率14%，投资期限10年，利息以年实际利率j进行再投资。在第10年末，利息再投资的积累值为2341.08元。乙每年初投资150元，年实际利率为15%，投资期限为20年，利息以年实际利率j进行再投资。则乙在第20年末的利息积累值为（）元。A2341.08B4541.12C6741.24D8163.37E10486.05【答案】【答案】E【解析】【解析】对于甲，依题意得：解得：j=0.11。故乙在第20年末的利息积累值为：又故1010140(1)11000 14%2341.08jjsj210.11200.11210.1

9、5 150 ( )22.5sIsj2121210.11(1)1 1.11172.265143680.11jsj，200.110.15 150 ( )10486.0512Is元（ ）。3.2收益率的应用收益率的应用1基金收益率基金收益率A：期初基金的资本量；B：期末基金的本息和；I：投资期内基金所获得的收入；Ct：t时刻投入基金或从基金中赎回的资金量，0t1；C：在此期间注入或赎回的资金之和，即aib：表示在时刻b到b+a之间单位投资的收益，其中：a0，b0，a+b1。则B=A+C+I. （3.4）（1）假设投资期内基金所获得的收入是在期末支付，则有（2）假设各次资金投入与赎回在01期间内均匀分

10、布，则t=1/2，ttCC；(1 )01 3.5ttttIiACi (1)(1)1(1)1 (1)(1)tttttttiiIiit iACt用迭代法求解，则，23.60.5IIiACABI（3）假设净资金投入的平均时间为k，0k1，则 为计算投资平均时间k时t的权重。当k=12时，则（3.7）式就变成（3.6）式。（4）假设各次资金投入是连续进行的，设Bt为时刻t时的基金金额，0tn，时刻t的资金投入或赎回量设为每期Ct，则当利息强度随时间连续变化时，（3.8）式可改写为：因此0n中间某一时刻t的基金余额为：时刻t基金余额的变化率：(/ )3.7(1)(1)ttIikt C CkAk Bk I

11、，/tC C10010 (3.8) (3.9)(1)(1)(1)(1)tnnn tnttBBiCidtBAiCidt000nnsstndsdsntBB eC edt000(3.10) ttsrstdsdrstBB eC edsttttdBBCdt。【例题例题3.6】某投资基金年初有投资10000元，年收益率12%，3月末又投入资金2500元，9月末抽回资金4000元，假设1tit=（1t）i，计算年末基金的资金量为（）元。A1305B1500C3900D6905E9805【答案】【答案】E【解析】【解析】已知A=10000，C0.25=2500，C0.75=4000，C=25004000=15

12、00，于是：所以年末基金的资金量为：B=A+C+I=100001500+1305=9805（元）。1(1)10000 12% 2500 0.75 12% 4000 0.25 0.121200 225 1201305ttttttIiACiiACt i2时间加权收益率时间加权收益率设在一个期间内，有m1次投资（或赎回投资），如图3-1所示。其中Ck为各时刻投入或赎回的资金净额，Bk为各时刻的整个基金的余额，不包括该时刻的新投入或赎回额。而ik是相邻两个投入资金的时刻（tk-1，tk）间的收益率。则从0至1这一期间内的收益率可由下式计算：注意：时间加权收益率是针对特定期间，且只在期初投资的收益率，它

13、只与具体的各时间段的收益率有关，而与各时间段的投资额无关。1111 2kkkkBikmBC ， ，11111113.8mmkkkkkkBiiBC 【例题【例题3.7】某投资人在一年中不同的四个时点各投资100元，如表3-2所示。表表3-2各时刻投资额及基金积累额各时刻投资额及基金积累额投资额加权收益率和时间加权收益率分别为（）。A11.20%；38.10%B12.2%；37.10%C13.2%；36.10%D14.20%；35.10%E15.2%；34.10%【答案】【答案】A【解析】【解析】（1）计算投资额加权收益率。已知A=100，B=533.56，C=400，I=533.56100400

14、=33.56，所以：（2）计算时间加权收益率。22 33.5611.2%100533.56 33.56IiABI1245375.5389.6533.5638.10%100245 100375.5 100389.6 100i3投资组合法与投资年法投资组合法与投资年法（1）投资组合法概念：计算出一个基于整个基金所得的平均收益率，然后根据每个资金账户所占比例与投资时间长度分配基金收益。局限性：在投资收益波动时期，如在投资收益上升时，容易引起旧有投资的撤出，同时阻止新资金的投入。（2）投资年法投资年方法在分配收益时要考虑投资的时间和分配收益的时间。按最初投资时间和投资所持续的时间，以及与各时间相联系的

15、利率，制定一个二维表。C：第y年的投资数额；y：投资的日历年份；m：应用投资年方法的年数，即若投资时间未满m年，利用投资年法计算收益率；若超过m年，则超过部分按投资组合法计算收益率；ity ：y年的投资第t年的收益率，其中i1y称为y年的新投资收益率。第y年的投资组合收益率记为iy，如图32所示。第y+k年年初的积累值为： 111(1)13.9(1)1(1)(1)yykyyy my kkCiikmCiiiikm （）（）【例题【例题3.8】某基金有甲、乙两个投资人，甲年初在基金中有资金1个单位，年中又投入1个单位；乙有2个单位。上半年收益率为10%，下半年收益率为20%，利用投资组合法计算甲、

16、乙应分得的收益分别为（）。A0.2316；0.9284B0.3329；0.8271C0.4971；0.6629D0.5721；0.5879E0.6610；0.4990【答案】【答案】C【解析】【解析】基金年末的积累值为：B=1（1+10%）（1+20%）+1（1+20%）+2（1+10%）（1+20%）=5.16所以基金收益为：I=BAC=5.16（1+2）1=1.16故甲投资人的收益为：乙投资人的收益为：1.160.4971=0.66291 1 1 0.51.160.49711 1 1 0.52 1 【例题【例题3.9】某投资基金收益分配方法如表3-3所示。投资初始的1至3年按照投资年法计算

17、收益，超过3年后按照投资组合法计算收益。在2005、2006、2007年的每年初分别投入资金100元，已知到2008年末的投资净收益为90元，则表中的参数t=（）。表表3-3A10.1%B10.3%C10.5%D10.6%E10.8%【答案】【答案】A【解析】【解析】2005年的投资产生的净收益为：1001.11.1（1+t/100）1.08100=1.3068t+30.682006年的投资产生的净收益为：1001.121.051.1100=29.362007年的投资产生的净收益为：1001.081+（t2）/100100=5.84+1.08t由已知条件，到2008年投资净收益总和为90，由题

18、意，得：（1.3068t+30.68）+29.36+（5.84+1.08t）=90解得：t=10.1。4资本预算资本预算（1）定义：投资者在面临多种投资选择时，如何决定投资额以及这些投资额在多种可能的投资方向间如何分配的过程。（2）方法收益率法：投资者先根据投资的费用支出及投资者的利润目标确定一个最低可接受的收益率。只有高于这个收益率的投资方式才是投资的备选方案。然后计算各投资方案的收益率，将高于最低可接受收益率的各方案按收益率由高到低排列。先将资本投向收益率最高的方向，然后由高到低投放资本，直至将可用于投资的资本用完或已没有高于最低可接受收益率的投资方向。净现值法：投资者根据最低可接受收益率

19、计算各种投资方式的净现值P（i）。只有P（i）0的投资方式才可以考虑。而对于P（i）0的方案则不予考虑。投资者将资本投向收益最大的方向，即：使得投资回收现值减去投资投入值最大化的投资方向。假定投资者面临n个投资选择，第k个选择需投入初始资本Ck（1k n），其净现值为NPVk，则净现值法变为下面的0-1规划问题：其中：为0或1，C为投资者的初始资本。注意：没有考虑投资的风险。k【例题【例题3.10】某人购买一套住房，他有甲、乙两种付款方式，甲种是一次性付款5个单位；乙种是首次付款2.4个单位，然后每年末付款1.5个单位，共两年。若该投资者最高可接受的利率是10%，则乙种付款的现值为，他会选择种付款方式。（）A3.9；乙B4.2；乙C4.386；乙D5.003；甲E5.226；甲【答案】【答案】D【解析】【解析】乙种付款方式的现值为： 故该人应选择甲种付款方式。 221 1.12.4 1.52.4 1.55.00331 50.1ia5股息贴现模型股