c第3章 稳恒电流

1、一、电流一、电流二、电流强度二、电流强度三、电流密度三、电流密度 四、四、电流的连续性方程电流的连续性方程 稳恒条件稳恒条件 五、欧姆定律的微分形式五、欧姆定律的微分形式六、电功率六、电功率 焦耳定律焦耳定律 七、金属导电的经典微观解释七、金属导电的经典微观解释八、两种导体分界面上的边界条件八、两种导体分界面上的边界条件一、电流一、电流1. 传导电流传导电流（2）电解质溶液或电离气体中正、负离子的宏）电解质溶液或电离气体中正、负离子的宏观定向移动。观定向移动。 2. 运流电流运流电流单个或多个电荷在空间的定向移动（或运动）。单个或多个电荷在空间的定向移动（或运动）。如：分子中电子绕核的运动，等

2、效为圆形电流。如：分子中电子绕核的运动，等效为圆形电流。分子的等效电流称为分子的等效电流称为或或。（在磁场部分将会遇到。（在磁场部分将会遇到) )（1）金属中的自由电子在外电场的作用下的宏）金属中的自由电子在外电场的作用下的宏观定向移动。观定向移动。二、电流强度二、电流强度1.1.大小：单位时间内通过导体某一横截面的电量。大小：单位时间内通过导体某一横截面的电量。2.2.方向：正电荷运动的方向方向：正电荷运动的方向3.3.单位：安培单位：安培 (A)tqItlim0tqdd4.4.若电流强度与时间无关若电流强度与时间无关Idqdt) I (三、电流密度三、电流密度 需要引入描述电流的空间分布的

3、物理量需要引入描述电流的空间分布的物理量电流密度电流密度电流场：电流场：导体内每一点都有对应的导体内每一点都有对应的),(zyxj)z, y, x( jI1、电流密度的大小等于从垂直于电场方向的单位、电流密度的大小等于从垂直于电场方向的单位截面截面上流过的电流强度。上流过的电流强度。IESdnSIjdd2、单位：、单位：2mASjIddSSSjIIddSjdjSddSjcos的的关关系系与与、 j I3四、四、电流的连续性方程电流的连续性方程 稳恒条件稳恒条件 )(ssdjdtdqsdjs)(1.1.电流的连续性方程电流的连续性方程电流的连续性方程电流的连续性方程 在导体内任取一闭合曲面在导体

4、内任取一闭合曲面S S。 设设dt时间内包含在时间内包含在s面内的电量增量为面内的电量增量为: ，则在单位，则在单位时间内时间内s面内的电量减少为面内的电量减少为: 。dtdqdq而在单位时间内从而在单位时间内从S S面流出的电量为：面流出的电量为： 含义含义: :如果闭合面如果闭合面S S内正电荷积累起来，则流入内正电荷积累起来，则流入S S面内的电面内的电量必大于流出量必大于流出S S面的电量。或者说，进入面的电量。或者说，进入S S面的电流线多于从面的电流线多于从S S面出来的电流线，多余的电流线便终止于正电荷积累的地面出来的电流线，多余的电流线便终止于正电荷积累的地方。方。若流入若流入

5、S面内的电量等于流出面内的电量等于流出S面的电量，则有面的电量，则有0)(dtdqsdjs 表明电流线连续地穿过闭合曲面包围的体积。因此稳恒电表明电流线连续地穿过闭合曲面包围的体积。因此稳恒电流的电流线不可能在任何地方中断。流的电流线不可能在任何地方中断。 2.2.电流的稳恒条件电流的稳恒条件电流的稳恒条件电流的稳恒条件表示表示电流线是起始于或终止于电荷发生变化的地方电流线是起始于或终止于电荷发生变化的地方。当导体两端有电势差时，导体中就有电流通过。当导体两端有电势差时，导体中就有电流通过。G 电导（电导（单位：单位：西门子西门子s s ） 电阻电阻（单位：单位：欧姆欧姆）欧姆定律对金属或电解

6、液成立欧姆定律对金属或电解液成立 对于半导体、气体等不成立，对于半导体、气体等不成立， 对于一段含源的电路也不成立对于一段含源的电路也不成立五、欧姆定律的微分形式五、欧姆定律的微分形式1、欧姆定律、欧姆定律2U1UIR 一段导体中的电流一段导体中的电流I 与其两端的电势差与其两端的电势差U(=U1-U2)成正比成正比一段均匀电路的欧姆定律，一段均匀电路的欧姆定律，其积分形式为：其积分形式为：GUI RUI 或或GR1SlR:电阻率电阻率1（1）粗细均匀的导体）粗细均匀的导体:电导率电导率2、电阻、电阻（2）粗细不均匀或电阻率不均匀的导体）粗细不均匀或电阻率不均匀的导体SdldR SdldRR电

7、阻率电阻率: 一般金属导体随着温度升高电阻率增大，不同的材一般金属导体随着温度升高电阻率增大，不同的材料，温度升高时电阻率增大的程度也不同。通常温度料，温度升高时电阻率增大的程度也不同。通常温度下，电阻率下，电阻率与温度与温度t（）的关系为）的关系为= 0(1+t) 式中式中、0分别是分别是 t 和和 0时的电阻率，时的电阻率，称电阻温称电阻温度系数，它与导体材料有关。度系数，它与导体材料有关。 利用这一特性可制成金属电阻温度计利用这一特性可制成金属电阻温度计常用铂丝制常用铂丝制成，测量范围约为成，测量范围约为 2631000左右。左右。电阻率的数量级：电阻率的数量级：纯金属：纯金属：10-8

8、W .m ；半导体：；半导体：10-510-6W .m合金：合金：10-6W .m ； 绝缘体：绝缘体：1081017W .m应用：应用：R小小用来作导线用来作导线R大大用来作电阻丝用来作电阻丝a小小制造电工仪表和标准电阻制造电工仪表和标准电阻 大大金属电阻温度计金属电阻温度计a a 例例3-1 3-1 有一长度为有一长度为L L，内半径为，内半径为R R1 1，外半径为，外半径为R R2 2的金属的金属圆柱筒，其电阻率为圆柱筒，其电阻率为。假设圆柱筒上端的电势高于下端。假设圆柱筒上端的电势高于下端的电势，且它们的电势差为的电势，且它们的电势差为U U时，求时，求: :圆柱体中沿轴向的电圆柱体

9、中沿轴向的电流为多少？流为多少？R1R2L解解：圆柱筒圆柱筒的电阻为的电阻为)RR(LSLR2122 )RR(LURUI2122 圆柱体中沿轴向的电流为圆柱体中沿轴向的电流为 例例3-2 3-2 有一长度为有一长度为L L，内半径为，内半径为R R1 1，外半径为，外半径为R R2 2的金属圆柱的金属圆柱筒，其电阻率为筒，其电阻率为。假设圆柱筒内缘的电势高于外缘的电势，。假设圆柱筒内缘的电势高于外缘的电势，且它们的电势差为且它们的电势差为U U时，求圆柱筒中沿径向的电流为多少？时，求圆柱筒中沿径向的电流为多少？rLdrSdrdR 2 rLdrRRR 221 12ln2RRL 12ln2RRLU

10、RUI 在电力工程中常利用上式来计算同轴电缆的径向漏电流。在电力工程中常利用上式来计算同轴电缆的径向漏电流。R1R2drrL则微元圆柱面的电阻则微元圆柱面的电阻dR为：为：解解：取微元圆柱面（取微元圆柱面（r , r+dr,L），则圆柱面的面积为），则圆柱面的面积为S=2rL解：取半圆形微元（解：取半圆形微元（r，dr)arrRRaa212dd2aI1r2r)11(212dd212122121rrrrRRrrrr)11(2211221rrIIRUUU 例题例题3-3一半径为一半径为 的的半球形电极埋在大地里，大地视为均半球形电极埋在大地里，大地视为均匀的导电介质，其电导率为匀的导电介质，其电导

11、率为 ，求，求:接地电阻。接地电阻。若通有电流若通有电流I，求半径为，求半径为 与与 两个半球面的电压。两个半球面的电压。a 1r2rISddlEUdUU dRUddR)dUU(UIdSldRdd又UlEddSEdRlEIdddESIddEj3 3、欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 在导体内取一个圆柱形微元在导体内取一个圆柱形微元 故：导体中任意一点的电流密度与该点处的电场强度故：导体中任意一点的电流密度与该点处的电场强度成正比，两者方向一致。成正比，两者方向一致。Ej/-即为欧姆定律的微分形式即为欧姆定律的微分形式 )11(21d21212121rrrEl dEUUUrrrrEj22 r

12、Ij 22rIEa1r2rI另解另解 例题例题3-3一半径为一半径为 的的半球形电极埋在大地里，大地视半球形电极埋在大地里，大地视为均匀的导电介质，其电导率为为均匀的导电介质，其电导率为 ，求，求:接地电阻。接地电阻。若通有电流若通有电流I，求半径为，求半径为 与与 两个半球面的电压。两个半球面的电压。a 1r2r解：取半圆形微元（解：取半圆形微元（r，dr)aIrElEUaa2ddaIUR21六、电功率六、电功率 焦耳定律焦耳定律 即电功率等于电路两端的电压和通过电路的电流强度的乘积。即电功率等于电路两端的电压和通过电路的电流强度的乘积。 功的单位为焦耳，功率的单位为瓦特。功的单位为焦耳，功

13、率的单位为瓦特。1.1.电功率电功率 若电路两端的电压为若电路两端的电压为U U，则当电荷，则当电荷q q通过这段电路时，电通过这段电路时，电场力所做的功为场力所做的功为A=qUA=qU。因为。因为q=Itq=It，所以，所以A=UItA=UIt。电场在单位。电场在单位时间内所做的功，叫做时间内所做的功，叫做电功率电功率。如果用。如果用P P表示电功率，那么表示电功率，那么可得可得UItAP 如果电路中除了电阻外还有电动机、电解槽等其它转如果电路中除了电阻外还有电动机、电解槽等其它转换能量的装置时，电功和电热、电功率和热功率各不相等，换能量的装置时，电功和电热、电功率和热功率各不相等，必须分别

14、利用自己的公式计算必须分别利用自己的公式计算。而且而且AQ, PPAQ, PPr r。2.2.焦耳定律焦耳定律 如果一段电路只包含电阻，而不包含电动机、电解如果一段电路只包含电阻，而不包含电动机、电解槽等其他转换能量的装置，那么电场所做的功全部转化槽等其他转换能量的装置，那么电场所做的功全部转化成热。即成热。即AUIt QI2 Rt (U2/R)t PA/t UI Q/t I2 R U2/R 一段电路上消耗的电功：一段电路上消耗的电功： AUIt 电热：电热： QI2 Rt 对应的电功率：对应的电功率： PA/t UI 热功率：热功率： Pr Q/t I2 R 3.3.焦耳定律的微分形式焦耳定

15、律的微分形式IRRIPr2ISdl dIdlSdRIlSdPwrdd)d(dd2222)()dd(EjSI2E热功率密度热功率密度SldRdd故：热功率密度与电场强度的平方成正比故：热功率密度与电场强度的平方成正比焦耳定律的微分形式焦耳定律的微分形式dR)dI(dP2r七、七、 金属导电的经典微观解释金属导电的经典微观解释 Emeu a1Eme-a 式中式中 为电子在连续两次碰撞之间的平均自由飞行时间。为电子在连续两次碰撞之间的平均自由飞行时间。 如果将金属导体放入电场以后，每个自由电子的轨迹将逆如果将金属导体放入电场以后，每个自由电子的轨迹将逆着电场发生着电场发生“漂移漂移”。而自由电子的总

16、速度是它的热运动速。而自由电子的总速度是它的热运动速度和因电场产生的附加定向速度的叠加结果，前者的矢量平度和因电场产生的附加定向速度的叠加结果，前者的矢量平均仍为均仍为0，后者的平均叫做漂移速度，后者的平均叫做漂移速度 。正是这种宏观上的漂。正是这种宏观上的漂移运动形成了宏观电流。移运动形成了宏观电流。 u自由电子在电场中获得的加速度为自由电子在电场中获得的加速度为: 电子在电场力的作用下从零开始作匀加速运动，到下次碰电子在电场力的作用下从零开始作匀加速运动，到下次碰撞之前，获得的定向速度为撞之前，获得的定向速度为: 因为因为e、m、 、 都与电场强度无关，故上式说明都与电场强度无关，故上式说

17、明了自由电子的漂移速度了自由电子的漂移速度 与与 成正比。成正比。 和气体分子运动论中一样，电子的平均飞行时间和气体分子运动论中一样，电子的平均飞行时间 （即平（即平均碰撞速率均碰撞速率 的倒数）与其平均自由程的倒数）与其平均自由程 和平均热运动速和平均热运动速率率 的关系为的关系为 在一个平均自由程内电子的漂移速度等于自由程起点的速在一个平均自由程内电子的漂移速度等于自由程起点的速度度 和终点的末速度和终点的末速度 的平均，即的平均，即u1EmeEmeuuu2)0(21210 V1VEvm2eu vuE所以：所以：(1)u0平均漂移速度的大小平均漂移速度的大小 u设金属导体内每个设金属导体内

18、每个载流子载流子电量为电量为q，载流子数密度为载流子数密度为n ndSqnuIdnquSdIdj矢量式矢量式unqj,0qju与与同向同向,0qju与与反向反向IESd说明：说明：（2）则单位时间内通过则单位时间内通过dS电流为：电流为：unej 金属中自由电子的数密度金属中自由电子的数密度n是常数，与是常数，与 无关，因此金无关，因此金属导体内的电流密度属导体内的电流密度 与场强与场强 成正比，成正比，这就是欧姆定律这就是欧姆定律的微分形式的微分形式。由此可以看出电导率。由此可以看出电导率 把式（把式（1）代入式（）代入式（2），得），得Evm2ne2 vm2ne2 EE 这样，我们就用经典

19、的电子理论证实了欧姆定律，并导这样，我们就用经典的电子理论证实了欧姆定律，并导出了电导率与微观量平均值之间的关系式出了电导率与微观量平均值之间的关系式。junej)Evm2e(ne E 12121j2j12121E2E 21nnjj 21EESjSj2211coscos（1 1）LsinELsinE2211 （2 2）222111tgjEtgjE2121tgtg 得12由稳恒条件：由稳恒条件：由场强环路定律：由场强环路定律：电流线的折射定律电流线的折射定律SL八、两种导体分界面上的边界条件八、两种导体分界面上的边界条件 电源及其电动势电源及其电动势一、电源一、电源 电动势电动势二、稳恒电路中的

20、稳恒电场二、稳恒电路中的稳恒电场三、电源的路端电压三、电源的路端电压四、四、一段含源一段含源电路上两点间的电势差电路上两点间的电势差一、电源一、电源 电动势电动势BA +-+q-q非静电力非静电力电源电源提供非静电场力的装置，或称电泵。提供非静电场力的装置，或称电泵。Ej演示演示qFEkkkE为非静电场场强为非静电场场强电动势电动势等于将单位正电荷从电源负极沿内电路移到正极等于将单位正电荷从电源负极沿内电路移到正极过程中非静电场力做的功。过程中非静电场力做的功。lEqlEqkkddlklEd0d llE注意注意：电动势与电势：电动势与电势,一字之差一字之差二、稳恒电路中的稳恒电场二、稳恒电路中

21、的稳恒电场 稳恒电场稳恒电场由并非静止、只是空间分布由并非静止、只是空间分布保持恒定的电荷产生的电场。保持恒定的电荷产生的电场。babalEUUdlEElkd)(而而lklE0d 路端电压是静电场力把单位正电荷从正极移到负极所做路端电压是静电场力把单位正电荷从正极移到负极所做的功，即的功，即: :l dEUUU三、三、 电源的路端电压电源的路端电压 这里的积分路径是任意的。我们选择一个积分路径让这里的积分路径是任意的。我们选择一个积分路径让其通过电源内部。根据式其通过电源内部。根据式: : )(kEEjldEjldEUUUk)(故：r)0( 、放放电电充充电电 ldEdlsjskcosldEd

22、rIkcosIr四、四、一段含源一段含源电路上两点间的电势差电路上两点间的电势差一段含源电路一段含源电路。 rRIcba计算计算ab、两端的电势差两端的电势差bccababalElElEUUddd而而IRRISlIlSjSljlEcacacacacaddddd)(IrldEldEcbbcIrIRUUba例：例：1. 不含源的简单电路：不含源的简单电路：0, 0r2. 闭合电路：闭合电路：0baUUIRUUba简单电路的欧姆定律简单电路的欧姆定律IrIR 闭合电路的欧姆定律闭合电路的欧姆定律讨论：讨论：规定：规定：II-IRIR。 rRIcab)(rRIUUba2. 并联并联IIIuuu2121

23、1. 串联串联2121IIIuuu2121RRRRR21RRR3.3 3.3 简单电路简单电路3.4 3.4 复杂电路复杂电路一、复杂电路的定义一、复杂电路的定义1.1.支路支路2.2.节点节点3.3.回路回路二、基尔霍夫电路定律二、基尔霍夫电路定律1. 第一定律第一定律节点电流定律节点电流定律2. 第二定律第二定律回路电压定律回路电压定律一、复杂电路的定义一、复杂电路的定义一个复杂电路是由多个电源和多个电阻复杂联接而成的。一个复杂电路是由多个电源和多个电阻复杂联接而成的。1.1.支路支路2.2.节点节点3.3.回路回路 通常把电源和电阻串联而构成的通路叫支路，在支路中通常把电源和电阻串联而构

24、成的通路叫支路，在支路中电流强度处处相等。电流强度处处相等。三条或更多条支路的联接点叫做节点或分支点。三条或更多条支路的联接点叫做节点或分支点。几条支路构成的闭合通路叫回路。几条支路构成的闭合通路叫回路。复杂电路中，各支路的联接可形成多个节点和多个回路。复杂电路中，各支路的联接可形成多个节点和多个回路。二、基尔霍夫电路定律二、基尔霍夫电路定律1. 第一定律第一定律节点电流定律节点电流定律0iiIiI2. 第二定律第二定律回路电压定律回路电压定律0)rR(Iiiiii 说明：正负号按前面规定确定。说明：正负号按前面规定确定。3 3、独立节点电流方程与独立回路电压方程的个数总和、独立节点电流方程与独立回路电压方程的个数总和等等于于电路中未知电流的个数（支路的条数），解此方程组可电路中未知电流的个数（支路的条数），解此方程组可求出电路上的所有电流。求出电路上的所有电流。小结：小结：1 1、若复杂电路中有、若复杂电路中有n n个节点，则可列个节点，则可列n n1 1个独立的节点电个独立的节点电流方程；流方程；2 2、若复杂电路有、若复杂电路有m m条支路，则可列条支路，则可列m-(n-1)m-(n-1)个独立的回路个独立的回路电压方程。电压方程。也可用也可