接触问题之经验谈

1、接触问题之经验谈关键字：法向关系、切向关系、罚函数、拉格朗日乘子法、扩展拉格朗日乘子法。接触问题的关键在于接触体间的相互关系，也就是求解对象之间的相互联系，此关系又可分为在接触前后的法向关系与切向关系。法向关系（垂直于接触面的接触关系）：在法向关系中，必须实现两点：1）接触力的传递；2）两接触面间没有穿透。也就是说即有力的传递，同时又不能发生穿透现象。ANSYS通过两种算法来实现此法向接触关系：罚函数法和拉格朗日乘子法。1、 罚函数法是通过接触刚度在接触力与接触面间的穿透值（接触位移）间建立力与位移的线性关系：接触刚度×接触位移=法向接触力对面面接触单元（CONTA17*系列），接触

2、刚度由实常数FKN来定义，穿透值在程序中通过分离的接触体上节点间的距离来计算。接触刚度越大，则穿透就越小，理论上在接触刚度为无穷大时，可以实现完全的接触状态，即使穿透值等于零。但是显而易见，在程序计算中，接触刚度不可能为无穷大（否则会导致病态矩阵），穿透也就不可能真实达到零，而只能是个接近于零的有限值。以上力与位移的接触关系可以很容易地合并入整个结构的平衡方程组【K】×【X】=【F】中去，并不改变总体刚度【K】的大小（【X】位移矩阵，【F】力矩阵）；同时，采用罚函数法有以下几个问题必须解决：1）接触刚度FKN应该取多大？2）接触刚度FKN取大些可以减少虚假穿透，但是也可能会使刚度矩阵

3、成为病态。3）既然与实际情况不符合的虚假穿透既然是不可避免的，那么可以允许有多大为合适？因此，在ANSYS程序里，通常输入FKN实常数不是直接定义接触刚度的数值，而是定义接触面覆盖之下的单元刚度的一个因子，这使得用户可以方便地定义接触刚度，一般FKN取0.1到1中间的值。当然，在需要时，也可以把接触刚度直接定义，例如：FKN输入为负数，则程序将其值理解为直接输入的接触刚度值。对于接近病态的刚度阵，不要使用迭代求解器，例如PCG等，它们会需要更多的迭代次数，同时有可能导致不收敛。这时可以使用直接法求解器，例如稀疏矩阵求解器等，这些求解器可以有效求解病态问题。穿透的大小影响结果的精度：用户可以用P

4、LESOL,CONT,PENE来在后处理中查看穿透的数值大小。如果使用的是罚函数法求解接触问题，用户一般需要试用多个FKN值进行计算，可以先用一个较小的FKN值开始计算，例如0.1。因为较小的FKN有助于收敛，然后再逐步增加FKN值进行一系列计算，最后得到一个满意的穿透值。FKN的收敛性要求和穿透太大产生的计算误差总会是一对矛盾。解决此矛盾的办法是在接触算法中采用扩展拉格朗日乘子法。此方法在接触问题的求解控制中可以有更多更灵活的控制，可以更快的实现一个需要的穿透极限。2、拉格朗日乘子法与扩展拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法与罚函数法不同，不是采用力与位移的关系来求接触力，而是把接触力作为一个独立自

5、由度。因此这里不需要进行迭代，而是在方程里直接求出接触力（接触压力）来。Kx=F+Fcontact从而，拉格朗日乘子法不需要定义人为的接触刚度去满足接触面间不可穿透的条件，可以直接实现穿透为零的真实接触条件，这是罚函数法所不可能实现的，也是采用拉格朗日乘子法的优点所在，但是在使用拉格朗日乘子法有下列注意事项：1）若刚度矩阵中有零对角元，则使得某些求解器不可使用，而只能使用直接法求解器，例如波前法或系数求解器，而PCG之类迭代求解器是不能用于有零主元问题的。2）由于增加了额外的自由度，刚度矩阵变大了。3）对于一个可能发生的接触突变的解除类问题，就是在接触状态发生变化时，例如从接触到分离，从分离到

6、接触，此时接触力有个突变，产生chattering（接触状态的振动式交替改变）。如何控制这种chattering，是纯粹拉格朗日法所难以解决的。因此，为控制chattering，ANSYS采用的是罚函数法与拉格朗日法相结合的扩展拉格朗日乘子法。在扩展拉格朗日法中，可以采用实常数TOLN来控制最大允许穿透值，还有最大允许拉力FTOL；这两个参数只对扩展拉格朗日乘子法有效。在扩展拉格朗日乘子法里，程序按照罚函数法开始，与纯粹拉格朗日法类似，用TOLN来控制最大允许穿透值。如果迭代中发现穿透大于允许的TOLN值（对CONTA178单元是TOLN，而对面面接触单元CONTA171-174则是FTOLN），则将各个接触单元的接触刚度加上接触力乘以拉格朗日乘子的数值。因此，这种扩展拉格朗日法是不停更新接触刚度的罚函数法，这种更新不断重复，直到计算的穿透值小于允许值为止。尽管与拉格朗日法相比，扩展拉格朗日法的穿透并不是零，与罚函数法相比，可能迭带次数会更多；但是扩展拉格朗日法有下列优点：1）较少病态矩阵，对于接触单元的接触刚度取值可能更合理。2）与罚函数法相比较少病态，与单纯的拉格朗日法相比，又没有刚度阵零对角元，因此在选择求解器上没有限制，PCG等迭代求解器都可以应用。3）用户可以自由控制允许的穿透值TOLN（如果输入了TOLN，而使用罚函数法，则程序