考研数学]北京航天航空大学线性代数6-3正定二次型

1、2021/4/11第三节 正定二次型 对二次型对二次型f (x1, x2, , xn)经过满秩变换后可化经过满秩变换后可化为规范形为规范形.22122221rppyyyyyf 为讨论其性质为讨论其性质, 在应用中对二次型进行以在应用中对二次型进行以下分类下分类.2021/4/12定义定义 设设f (x1, x2, , xn)=x Ax为实二次型为实二次型, 若若对于任意非零实向量对于任意非零实向量x=(x1, x2, , xn) , 都有都有f=x Ax0, 称称f为为正定二次型正定二次型, 对称矩阵对称矩阵A称为称为正定矩阵正定矩阵.f=x Ax0, f=x2Ax20,因此因此f正定正定.2

2、021/4/14例例2 判断实二次型判断实二次型2122212182),(xxxxxxf 的类型的类型.解解 取取x1=(1, 0), x2=(1, -1), 有有, 05)1, 1(, 01)0 , 1( f f因此由定义因此由定义f是不定二次型是不定二次型.问题问题：如何判定所给定的二次型的类型：如何判定所给定的二次型的类型?定理定理3.1 设设n元实二次型元实二次型f = x Ax的秩为的秩为r, 正惯正惯性指数为性指数为p, 则则f 为为正定二次型正定二次型p=r=n, 即标准形中有即标准形中有n个正项个正项;负定二次型负定二次型p=0, 即标准形中有即标准形中有n个负项个负项;202

3、1/4/15半正定二次型半正定二次型p=rn, 即标准形中只有即标准形中只有r个正项个正项;半负定二次型半负定二次型p=0, rn, 即标准形中只有即标准形中只有r个负个负项项;不定二次型不定二次型0p0(i=1, 2, , n).2021/4/16显然显然, 0),(02010 nyyyy代入代入(1)右端右端, 总有总有 f 0.由由x=Cyy=C-1x.将它视为系数矩阵为满秩矩阵将它视为系数矩阵为满秩矩阵C-1的非齐次方的非齐次方程组程组, 由克莱姆法则由克莱姆法则, 对任意非零向量对任意非零向量y, 有唯一有唯一的非零向量的非零向量),(02010nxxxx 与之对应与之对应.由由y0

4、的任意性的任意性, 因此因此x0任意任意, 因此恒有因此恒有f = x Ax0, 这样这样f正定正定.()反证反证.若若f正定正定, 但标准形不是但标准形不是(1), 即即p0.x (kA)x=k x Ax0(k0).(2) x (C AC)x=(Cx) A(Cx)0. (Cx=y0)注注 C AC与与A的正定、负定或不定一致的正定、负定或不定一致(合同变合同变换保秩、保正、负惯性指数换保秩、保正、负惯性指数).2021/4/19性质性质2 若若A=(aij)nn是正定矩阵是正定矩阵, 则则aii0(i=1,2,n).证明证明由定义由定义, A正定正定, 因此因此 x 0, x Ax0.取取n

5、ixi, 2 , 1,)0 , 0 , 1 , 0 , 0( 则则 010), 0 , 1 , 0 , 0(212222111211nnnnnniiaaaaaaaaaA ), 2 , 1(, 0ni aii 2021/4/110注注 (1) 反之不成立反之不成立.例例2中中 2441Aa110, a220, 但不是正定矩阵但不是正定矩阵.(2) 可用来判断二次型不是正定的可用来判断二次型不是正定的.例例3 2551Aa22=20, 因此因此A不是正定矩不是正定矩阵阵.另外另外22212121210),(xxxxxxf 2222127)5(xxx 令令 222115xyxxy则则222127yy

6、f 是不定二次型是不定二次型.2021/4/111(3) 若若A=(aij)nn是负定矩阵是负定矩阵, 则则aii0.证明证明由性质由性质4, A正定正定, 则存在满秩矩阵则存在满秩矩阵B, 使得使得A=B B. 因此因此|A|=|B |B|=|B|20.注注 性质性质5为必要条件为必要条件. A负定时不一定有负定时不一定有|A|0.性质性质6 A为正定矩阵为正定矩阵 A的所有顺序主子式皆的所有顺序主子式皆大于零大于零.顺序主子式顺序主子式,11a,22211211aaaa.A2021/4/113A负定负定 A正定正定.A负定负定 A的奇数阶顺序主子式小于零的奇数阶顺序主子式小于零, 偶数阶偶

7、数阶顺序主子式大于零顺序主子式大于零.性质性质7 A正定正定A的特征值全为正数的特征值全为正数. 例例4 判断实二次型判断实二次型32212322213214252),(xxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.判断方法判断方法1. 顺序主子式顺序主子式(性质性质6)2. 标准形标准形(定理定理3.1)3. 特征值特征值(性质性质7)2021/4/114解解方法一方法一二次型所对应的矩阵为二次型所对应的矩阵为 520221011三个顺序主子式三个顺序主子式10, , 012111 . 015021152221520221011 由性质由性质6, f是正定二次型是正定二次型.2021/4/115

8、方法二方法二 用配方法将所给二次型化为标准形用配方法将所给二次型化为标准形32212322213214252),(xxxxxxxxxxf 32232222145)(xxxxxx 23232221)2()(xxxxx 令令 333222112xyxxyxxy为满秩变换为满秩变换. 得得232221yyyf 正惯性指数正惯性指数p=3=n, 得得 f 正定正定.2021/4/116方法方法3 特征值特征值520221011)( AEf112823 f(0)= 1, f(1)=4, f(2)= 1, f(4)=3, f(5)= 16.由零点定理由零点定理, f()=0有三个正根有三个正根. f 正定

9、正定.2021/4/117练习练习 判别二次型判别二次型32312123222132148455),(xxxxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.正定正定(性质性质6)例例5 求求的值的值, 使实二次型使实二次型2222222)(wzxyzxyzyxf 为正定二次型为正定二次型, 并讨论并讨论2的情形的情形.解解二次型对应矩阵二次型对应矩阵 1000011011011 A2021/4/118令它的各阶顺序主子式大于令它的各阶顺序主子式大于0, 01 011122 得得1;0)2()1(111111243 得得2.取交后得取交后得2.所以所以2时时, f是正定二次型是正定二次型.2021/4/119=2时时, 2222222222wzxyzxyzyxf 222)(23)2121(2wzyzyx 正惯性指数正惯性指数p=34, =2时时f 为半正定二次型为半正定二次型.2时时, 3=40, 因此因此f 非负定、非正定非负定、非正定.利用