随机事件及其运算

1、2021/4/21高等院校非数学类本科数学课程教案制作：潘 小 平2021/4/22本章学习要求：v 理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算。v 理解事件频率的概念，理解概率的古典定义。v 掌握概率的基本性质及概率加法定理。v 理解条件概率的概念，掌握概率的乘法定理，了解事件的独立性概念。v 掌握贝努利概型和二项概率的计算方法。第一章 随机事件及其概率2021/4/23第一节 随机事件及其运算一、随机试验与样本空间二、随机事件三、事件的关系与运算2021/4/24一、随机试验和样本空间 在一定条件下必然发生的现象,称为确定性现象确定性现象; ;在个别试验中呈现出不确定性, 在大量重复试验

2、中其结果又具有统计规律性统计规律性的现象, 称为随机现象随机现象. 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科.2021/4/25我们把对随机现象所进行的观察、实验或试验E都称为随机试验，简称试验，记为 ，它具有三个1、可在相同条件下重复地进行;2、每次试验前能知道所有可能出现的结果,并且可能特点：结果不止一个。3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.2021/4/26 试验的例:E1:抛一枚硬币, 观察正面H, 反面T出现的情况.E2:将一枚硬币掷三次, 观察正面H, 反面T出现的情况.E3:将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数.E4:抛一颗骰子, 观察出现的点数.

3、E5:记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数.E6:在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度.2021/4/27 样本空间 对于随机试验, 尽管在每次试验之前不能预知试验的结果, 但试验的所有可能的结果组成的集合是已知的, 将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间, 记为. 样本空间的元素, 即E 的每个结果, 称为样本点 ，记为.2021/4/28例例1 11E: 抛一枚硬币, 观察正面H, 反面T出现的情况. ,1TH2E: 将一枚硬币掷三次, 观察正面H, 反面T出现的情况.2HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH

4、,TTT;: 将一枚硬币抛掷三次, 观察出现正面的次数.3E30, 1, 2, 3;: 抛一颗骰子, 观察出现的点数.4E41, 2 , 3, 4, 5, 6 .2021/4/29要注意的是：样本空间的元素是由试验的目的所确定的。例如，在 和 中同是将2E3E一枚硬币连抛三次，由于试验的目的不一样，其样本空间也不一样。2021/4/210二、随机事件称试验E的样本空间的子集为E的随机事件, 简称事件.常用英文大写字母 等表示。,CBA仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称这一事件发生.特别地, 由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件。掷一次骰子的实验 有6个基本事件1,2,3,4,5,6.4

5、E在每次试验中,当且1E例如, 掷一次硬币的试验T;有两个基本事件H和2021/4/211样本空间包含所有的样本点, 它是自身的子集, 在每次试验中它总是发生的, 称为必然事件； 何样本点, 它也作为样本空间的子集, 空集 不包含任发生, 称为不可能事件.它在每次试验中都不必然事件和不可能事件本质上没有不确定性，但是为了方便，仍把它们看作随机事件。2021/4/212几个事件的例子:例: 在 :掷三次硬币观察正反面出现情况中事件 :第一次2E1A出现的是 H , 即=HHH, HHT, HTH, HTT .1A事件 : 三次出现同一面, 即2A=HHH, TTT2A在 : 测试任取的一只灯泡寿

6、命中, 事件 : 寿命小于10006E3A小时, 即=t | 0 t 1000.3A2021/4/213三、事件间的关系与事件的运算为了通过简单事件去表示和研究复杂事件，需要讨论事件之间的关系和运算。设随机试验 的样本空间为E,而 及CBA,1( iAi),2,是事件。2021/4/2141. 事件的包含与相等如果事件 发生必然导致事件 发生，则称事件 包ABB含事件 ，或称 是 的子事件，记为 或ABABA.AB 如果 且 ，则称 与 相等，记为BAAB AB.BA2021/4/2152. 事件的和事件 与事件 中至少有一个发生是一个事件，称为 AB事件 与事件 的和，记为 即AB,BA.B

7、ABA或事件的和可以推广到任意有限个或可列无穷多个事件的情形。2021/4/216事件 中至少有一个发生称为这 个事件nAAA,21n的和，记为 或nAAA21.1iniA可列无穷多个事件 的和记为,21nAAA.1iiA2021/4/2173. 事件的积.BAAB且事件的积可以推广到任意有限个或可列无穷多个事件的情形。事件 与事件 同时发生是一个事件，称为事件 与 ABA事件 的积，记为 或 即BBA,AB2021/4/218事件 同时发生称为这 个事件的积，nAAA,21n可列无穷多个事件 的积记为,21nAAA.1iiA记为 或 或nAAA21.1iniAnAAA212021/4/219

8、4. 事件的互不相容不可能事件 则称 与 互不相容或互斥。AB如果事件 和 不能同时发生，即 和 同时发生是ABBA,AB2021/4/2205. 对立事件如果两事件 满足BA,BA 且,ABAB.AB 是 的对立事件(或逆事件，补事件)，记为则称AB也是的对立事件。当然，这时 若 与 互为对立事件，则在每一次试验中，ABBA与必有且仅有一个发生。2021/4/2216. 事件的差由对立事件和两事件的积的定义可知：.BABA与事件 的差，记为 B,BA事件 出现而事件 不出现是一个事件，称为事件ABA. BABA且即2021/4/222概率论中事件之间的关系和运算与集合的相应关系和运算是一致的

9、。集合的运算规则对事件运算同样适用：(1) 交换律：;,ABBAABBA(2) 结合律：;)()(,)()(CBACBACBACBA2021/4/223(3) 分配律：; )()()(CABACBA; )()()(CABACBA(4) 对偶律(德摩根律)：.,BABABABA2021/4/224例例2 2 : 掷三次硬币观察正反面出现的情况。2E=HHH, HHT, HTH, HTT .1A事件 : 三次出现同一面, 即2A=HHH, TTT.2A“第一次出现的是 H ”, 即:1A事件. ,21TTTHTTHTHHHTHHHAA. 21HHHAA. 12TTTAA若则. ,21TTHTHTTHHAA2021/4/225 如图所示的电路中, A表示信号灯亮, B, C, D表示继电器接点I,II,III闭合.IIIIII例例3 32021/4/226则 BC A, BD A, BC BD =A, .ABIIIIIIABCD2021/4/227例例4 4从一批产品中每次取出一件进行检验(每次取出的产品不放回), 事件 表示第i 次取到合格品(i =1, 2, 3). 试用 iAiA表示下列事件: 三次都取到了合格品; (1)(2) 三次中至少有一次取到合格品; 三次中恰有两次取到合格品; (3)(4) 三次中最多有一次取到合格品321AAA321AAA321