计算动力学第二章

1、12.1 2.1 相平面的基本概念相平面的基本概念2.2 2.2 奇点与极限环奇点与极限环2.3 2.3 相平面分析相平面分析第第2章章 相平面法相平面法22.1 相平面的基本概念相平面的基本概念 相平面法由庞加莱相平面法由庞加莱18851885年首先提出。该方法通年首先提出。该方法通过图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化为位置过图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化为位置和速度平面上的相轨迹，从而比较直观、准确地反和速度平面上的相轨迹，从而比较直观、准确地反映系统的映系统的稳定性、平衡状态和稳态精度以及初始条稳定性、平衡状态和稳态精度以及初始条件及参数对系统运动的影响件及参数对系统运动的影响。

2、 3相平面法概述相平面法概述 相平面法是一种求解一、二阶常微分方程的图相平面法是一种求解一、二阶常微分方程的图解法解法, ,即二维状态空间法。这种方法的实质是将系即二维状态空间法。这种方法的实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动, , 通过研究这个点移动的轨迹通过研究这个点移动的轨迹, , 就能获得系统运动规就能获得系统运动规律的全部信息律的全部信息. .4相平面法的基本概念相平面法的基本概念式中式中, , 是是 的线性或非线性函数的线性或非线性函数.),(xxf)(),(txtx),(xxfx 设二阶系统的常微分方程如下设二阶系统的

3、常微分方程如下： 由微分方程的理论可知，只要由微分方程的理论可知，只要 是解析的，那么在是解析的，那么在给定的初始条件下，方程的给定的初始条件下，方程的解是唯一的解是唯一的。这个唯一的解可以这个唯一的解可以写成时间解的形式写成时间解的形式x(t), 也可以写成以也可以写成以t为参变量的形式，为参变量的形式，用用 来表示。来表示。),(xxf)(xfx tx(t)xx 5相轨迹相轨迹1.1.相轨迹相轨迹：如果我们取：如果我们取 x 和和 作为平面的直角坐标，则作为平面的直角坐标，则系统在每一时刻的系统在每一时刻的 均相应于平面上的一点。当均相应于平面上的一点。当 t t 变变化时，这一点在化时，

4、这一点在 平面上将绘出一条相应的轨迹平面上将绘出一条相应的轨迹- -相轨迹相轨迹。它描述系统的运动过程。它描述系统的运动过程。x ),(xx xx 6相轨迹相轨迹二阶系统微分方程：二阶系统微分方程： 两个独立变量：两个独立变量：位置量位置量速度量速度量构成相平面构成相平面 为相变量。给定初始条件为相变量。给定初始条件 相变量相变量在相平面上的在相平面上的运动坐标轨迹称为运动坐标轨迹称为相轨迹相轨迹。 x xxx ,0(0)(0)0 xxx= xxx , x x 0 相相 平平 面面 ),(00 xx 相相 轨轨 迹迹 ),(xxfx 7相平面相平面2.2.相平面相平面: : 平面称为平面称为相

5、平面相平面。对于一个系统，初始条件。对于一个系统，初始条件 不同时，其方程的解也不同。因而针对不同的初不同时，其方程的解也不同。因而针对不同的初始条件，可始条件，可以绘出不同的相轨迹。若以各种可能的状态作为初始条件，以绘出不同的相轨迹。若以各种可能的状态作为初始条件，则可得到一组相轨迹族。则可得到一组相轨迹族。xx 8相平面图相平面图3.3.相平面图相平面图：相平面及其上的相轨迹族组成的图形称为系统：相平面及其上的相轨迹族组成的图形称为系统 的的相平面图相平面图。它表示系统在各种初始条件下的。它表示系统在各种初始条件下的 运动过程。运动过程。9相轨迹的斜率方程相轨迹的斜率方程设二阶系统的方程为

6、：设二阶系统的方程为：0,xxfx 改写为：改写为：,dxdxdxdxdx x= xxfx xdtdxdtdxdx 两边除以两边除以 可得：可得：xdtdx,f x xdxdxx -相轨迹的相轨迹的 斜率方程斜率方程10等倾线等倾线等倾线等倾线：在相平面中，相轨迹斜率相等的点的连线在相平面中，相轨迹斜率相等的点的连线, ,即即 等倾线应满足方程：等倾线应满足方程：由前述可知，相轨迹的斜率方程为：由前述可知，相轨迹的斜率方程为： xxxfdxxd),()(常常数数dxxd则等倾线方程为：则等倾线方程为：),(),(xxfxxxxf给定一个 值,可由上式求得一条等倾线 ;给定一组 值,则可求得一组

7、等倾线族,它们确定了相平面中相轨迹斜率的分布.11等倾线等倾线2222:20:20:20.2xxxdxdxdx dxxxxxdxdtdx dtdxdxxxxxx 设系统方程为上式改写为令代入上式等倾线方程可见，等倾线为过原点、斜率为可见，等倾线为过原点、斜率为 的直线的直线。)2(212等倾线等倾线注意：两等倾线之间用其平注意：两等倾线之间用其平 均值来表示相轨迹。均值来表示相轨迹。若给定系统参数：若给定系统参数： =0.5, =1.取不同的取不同的 值，求得等倾值，求得等倾线如右图所示：线如右图所示： 若给定初始条件为若给定初始条件为A,A,则则可作出相轨迹为可作出相轨迹为ABCDE .AB

8、CDE .等倾线和等倾线和相轨迹相轨迹 =-=-1.41.4 =-1.6=-1.6 =-2=-2 =-3=-3 =1=1 =2=2ABCDExx 0 = -1 1 = =0=0则等倾线为：则等倾线为：xx1113所有通过等倾线的相轨迹都有相同的斜率所有通过等倾线的相轨迹都有相同的斜率14普通点普通点 这样的点称为这样的点称为普通点普通点。通过普通点的相轨迹只有一条。通过普通点的相轨迹只有一条。（即相轨迹曲线不会在普通点相交）（即相轨迹曲线不会在普通点相交） 由相轨迹的斜率方程由相轨迹的斜率方程 可知可知,相平面相平面上的点上的点 只要只要不同时不同时满足满足 , ,则该点相则该点相轨迹的斜率是

9、轨迹的斜率是唯一唯一确定的。确定的。 ( , )dx dxf x xx ),(xx 0),(, 0 xxfx15奇点奇点 若相平面中的某点，同时满足若相平面中的某点，同时满足 , ,则该点则该点相轨迹的斜率相轨迹的斜率 , ,为不定值，这类特殊点称为为不定值，这类特殊点称为奇点奇点。通过奇点的相轨迹不止一条，它是相轨迹曲线的交点。通过奇点的相轨迹不止一条，它是相轨迹曲线的交点。0),(, 0 xxfx00dxxd 二阶线性系统：奇点是唯一的，位于原点。二阶线性系统：奇点是唯一的，位于原点。 二阶非线性系统：奇点可能不止一个。二阶非线性系统：奇点可能不止一个。16相平面分析方法相平面分析方法 由

10、于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过程，由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过程，因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分析：因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分析：3 3）稳态误差。）稳态误差。1 1）系统的稳定性；）系统的稳定性；2 2）瞬态响应性能；）瞬态响应性能；17例题例题例例2-12-1. .设系统的微分方程为：设系统的微分方程为：0 xxx 图中的箭头表示图中的箭头表示系统的状态沿相轨迹系统的状态沿相轨迹的移动方向。的移动方向。 其相平面图如右其相平面图如右图所示图所示相平面图相平面图1 1xx 0 pDABCE18例题例题 （1）在各种初始条件下

11、（）在各种初始条件下（任意一条相轨迹任意一条相轨迹），），系统系统都趋都趋向向原点（原点（0,0）, ,说明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。说明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。由图可知：由图可知： 可将其状态转化为转化可将其状态转化为转化为时间响应曲线为时间响应曲线x(t)来验证如图所示来验证如图所示 （2）如果初始条件为：）如果初始条件为：x(0)=1， 。则相应的则相应的相轨迹为相轨迹为ABCDE0。系统的系统的瞬态响应为阻尼振荡形式，瞬态响应为阻尼振荡形式，最大超调量为最大超调量为 p，稳态误差，稳态误差为零。为零。0)0(x 1 10 x(t)tABCDE 时间响应曲线时间响应曲线

12、192.2 奇点与极限环奇点与极限环 由前述可知，奇点是相平面中斜率不确定的点，即有由前述可知，奇点是相平面中斜率不确定的点，即有多条相轨迹以不同的斜率通过或逼近该点多条相轨迹以不同的斜率通过或逼近该点。constconstx x, ,0 0 x x: :则则, ,0 0 x x由于由于奇点的求法奇点的求法0 0) )x xf(x,f(x,x x0 0 x x: :奇点必须同时满足奇点必须同时满足 所以奇点是所以奇点是平衡点平衡点。奇点及临近的相轨迹反映了系。奇点及临近的相轨迹反映了系统的稳定性问题。统的稳定性问题。一、奇点一、奇点20奇点邻域的运动性质奇点邻域的运动性质奇点邻域的运动性质奇点

13、邻域的运动性质由于在奇点上，相轨迹的斜率不定，由于在奇点上，相轨迹的斜率不定，所以可以引出无穷条相轨迹。所以可以引出无穷条相轨迹。相轨迹在奇点邻域的运动可以分为相轨迹在奇点邻域的运动可以分为 1.1.趋向趋向于奇点于奇点 2.2.远离远离奇点奇点 3.3.包围包围奇点奇点21非线性系统奇点非线性系统奇点),(),(21222111xxfxxxfx 非线性系统的方程非线性系统的方程相平面上孤立奇点的位置可以从下列方程0),(0),(212211 xxfxxf22非线性系统奇点非线性系统奇点在原点在原点021 xx处，处，展成台劳级数展成台劳级数),(),(21222212122112121111

14、xxxaxaxxxxaxax),(jixxjiijxfa23非线性系统奇点非线性系统奇点 12,xxx 12, 22211211aaaaa用矩阵表示用矩阵表示 xax 其中其中24非线性系统奇点非线性系统奇点采用变换采用变换 ubx ucu 21cb为为a的复模态矩阵，得到的复模态矩阵，得到25结点结点如果特征值如果特征值 1和和 2为两个不同的实根且同号，对应于为两个不同的实根且同号，对应于此种情况的奇点称为此种情况的奇点称为结点结点。稳定结点26鞍点鞍点如果特征值如果特征值 1和和 2为两个不同的实根且异号，对应为两个不同的实根且异号，对应于此种情况的奇点称为于此种情况的奇点称为鞍点鞍点。

15、27焦点焦点如果特征值如果特征值 1和和 2为共轭复数，对应于此种情况的奇为共轭复数，对应于此种情况的奇点称为点称为焦点焦点。稳定焦点28中心中心如果特征值如果特征值 1和和 2为共轭虚数，对应于此种情况的奇为共轭虚数，对应于此种情况的奇点称为点称为中心中心。中心29极限环极限环 相平面内的封闭轨线是对系统周期运动的定性描述。稳定的中心周围密集的封闭轨线对应于单自由度保守系统的自由振动，振幅取决于初始条件。 孤立的封闭轨线称作极限环，极限环，振幅取决于系统参数。极限环稳定性的几何解释30稳定极限环稳定极限环特点特点: :极限环内外的相轨迹都卷向极限环极限环内外的相轨迹都卷向极限环, ,自振荡自

16、振荡 是稳定的是稳定的. .环内环内: :不稳定区域不稳定区域, ,相轨迹发散相轨迹发散环外环外: :稳定区域稳定区域, ,相轨迹收敛相轨迹收敛趋向极限环趋向极限环稳定极限环稳定极限环x x0 x(t)t031不稳定极限环不稳定极限环特点特点: :极限环内外的相轨迹都卷离极限环极限环内外的相轨迹都卷离极限环环内环内: :稳定区域稳定区域, ,相轨迹收敛相轨迹收敛环外环外: :不稳定区域不稳定区域, ,相轨迹发散相轨迹发散 这种系统是小范围稳定这种系统是小范围稳定, ,大范围不稳定大范围不稳定. .设计时设计时应尽量增大稳定区域应尽量增大稳定区域( (即增大极限环即增大极限环).).卷卷离离极极

17、限限环环不稳定极限环不稳定极限环x(t)t0 x x032半稳定的极限环半稳定的极限环环内环内, ,环外都不稳定环外都不稳定. . 具有这种极限环的系统是不会产生自振荡的具有这种极限环的系统是不会产生自振荡的, ,系系统的状态最终是发散的。统的状态最终是发散的。a)半稳定的极限环半稳定的极限环x x0 x(t)t033半稳定的极限环半稳定的极限环 环内环内, ,环外都是稳定的环外都是稳定的. . 具有这种极限环的系统也不会产生自振荡的具有这种极限环的系统也不会产生自振荡的, ,系系统的状态最终是趋向于环内的稳定奇点。统的状态最终是趋向于环内的稳定奇点。. .b)半稳定的极限环半稳定的极限环x

18、x0 x(t)t0342.3 相平面分析相平面分析 对于非线性系统来说，相平面分析法的步骤为：对于非线性系统来说，相平面分析法的步骤为：（1 1）写出一阶微分方程；）写出一阶微分方程；（2 2）求出奇点位置；）求出奇点位置； （3 3）画出相轨迹。）画出相轨迹。35单摆例题单摆例题例例2-2 2-2 无阻尼单摆的自由振荡无阻尼单摆的自由振荡摆锤质量为m 的单摆的运动方程为lgdtd 2020220sin(1)(1)36单摆例题单摆例题12,xx21xdtdx 1202sin xdtdx 令得(2)(2)37单摆例题单摆例题21xdtdx 1202xdtdx 当当1x很小时，很小时，平衡点两个：

19、（平衡点两个：（0 0，0 0）和（）和（ ，0 0）1. 1. 在（在（0 0，0 0）处）处 01020a38单摆例题单摆例题01)det(20 Ia0202 特征值为共轭虚根，奇点为中心特征值为共轭虚根，奇点为中心39单摆例题单摆例题21xdtdx 1202xdtdx 2. 2. 在（在（ ，0 0）处）处 01020a40单摆例题单摆例题01)det(20 Ia02, 1特征值为实数且符号相反，奇点为鞍点特征值为实数且符号相反，奇点为鞍点41单摆例题单摆例题由式由式(2)(2)中的两式相除并消去中的两式相除并消去t t ，则可得：，则可得：201212sin xdxdxx 再将式再将式(5)(5)改写为改写为(3)(3)222011sinx dxx dx 积分上式，可得：积分上式，可得：222011(1 cos)2xxh(4)(4)(5)(5)42单摆例题单摆例题式中式中h h是一个积分常数，它正比于系统的总能量，可是一个积分常数，它正比于系统的总能量，可由初始条件来确定其值。由初始条件来确定其值。22012(1 cos)xhx (6)(6)43自激振动例题自激振动例题例例2-3 2-3 范得波（范得波（Van der PolVan der Pol）方程）方程范得波方程存在着和起始条件无关的定