复习直线和圆的方程

1、.复习直线和圆的方程第八章直线和圆的方程高考导航考试要求 重难点击 命题展望1.在平面直角坐标系中，结合详细图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.3.能根据两条直线的斜率断定这两条直线平行或垂直.4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式点斜式、两点式及一般式，理解斜截式与一次函数的关系.5.掌握用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.6.掌握两点间的间隔 公式、点到直线的间隔 公式，会求两条平行线间的间隔 .7.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.8.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关

2、系.9.能用直线和圆的方程解决简单的问题.10.初步理解用代数方法处理几何问题的思想.11.理解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的间隔 公式. 本章重点：1.倾斜角和斜率的概念;2.根据斜率断定两条直线平行与垂直;3.直线的点斜式方程、一般式方程;4.两条直线的交点坐标;5.点到直线的间隔 和两条平行直线间的间隔 的求法;6.圆的标准方程与一般方程;7.能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆的位置关系;8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题.本章难点：1.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系;2.根据斜率断定两条直线的位置关系;3.直线方程的应用;4.点到直线的

3、间隔 公式的推导;5.圆的方程的应用;6.直线与圆的方程的综合应用. 本章内容常常与不等式、函数、向量、圆锥曲线等知识结合起来考察.直线和圆的考察，一般以选择题、填空题的形式出现，属于容易题和中档题;假如和圆锥曲线一起考察，难度比较大.同时，对空间直角坐标系的考察难度不大，一般为选择题或者填空题.本章知识点的考察侧重考学生的综合分析问题、解决问题的才能，以及函数思想和数形结合的才能等.知识网络8.1直线与方程典例精析题型一直线的倾斜角【例1】直线2xcos α-y-3=0，α∈π6，π3的倾斜角的变化范围是A

4、.π6，π3 B.π4，π3C.π4，π2 D.π4，2π3【解析】直线2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α，由于α∈π6，π3，所以12≤cos α≤32，k=2cos α∈1，3.设直线的倾斜角为θ，那么有tan θ∈1，

5、3，由于θ∈0，π，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3，应选B.【点拨】利用斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的范围.【变式训练1】M2m+3，m，Nm-2,1，当m∈时，直线MN的倾斜角为锐角;当m=时，直线MN的倾斜角为直角;当m∈时，直线MN的倾斜角为钝角.【解析】直线MN的倾斜角为锐角时，k=m-12m+3-m+2=m-1m+5>0⇒m<-5或m&am

6、p;gt;1;直线MN的倾斜角为直角时，2m+3=m-2⇒m=-5;直线MN的倾斜角为钝角时，k=m-12m+3-m+2=m-1m+5<0⇒-5 题型二直线的斜率【例2】A-1，-5，B3，-2，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，求直线l的斜率.【解析】由于A-1，-5，B3，-2，所以kAB=-2+53+1=34，设直线AB的倾斜角为θ，那么tan θ=34，l的倾斜角为2θ，tan 2θ= 2tan θ1-tan2θ

7、=2×341-342=247.所以直线l的斜率为247.【点拨】直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应纯熟地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联络在一起.【变式训练2】设α是直线l的倾斜角，且有sin α+cos α=15，那么直线l的斜率为A.34 B.43 C.-43 D.-34或-43【解析】选C.sin α+cos α=15⇒sin αcos α=-1225<0

8、⇒sin α=45，cos α=-35或cos α=45，sin α=-35舍去，故直线l的斜率k=tan α=sin αcos α=-43.题型三直线的方程【例3】求满足以下条件的直线方程.1直线过点3,2，且在两坐标轴上截距相等;2直线过点2,1，且原点到直线的间隔 为2.【解析】1当截距为0时，直线过原点，直线方程是2x-3y=0;当截距不为0时，设方程为xa+ya=1，把3,2代入，得a=5，直线方程为x+y-5=0.故所求直线方

9、程为2x-3y=0或x+y-5=0.2当斜率不存在时，直线方程x-2=0合题意;当斜率存在时，那么设直线方程为y-1=kx-2，即kx-y+1-2k=0，所以|1-2k|k2+1=2，解得k=-34，方程为3x+4y-10=0.故所求直线方程为x-2=0或3x+4y-10=0.【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论.【变式训练3】求经过点P3，-4，且横、纵截距互为相反数的直线方程.【解析】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为y=kx.因为直线过点P3，-4，所以-4=3k，得k=-43.此时直线方程为y=-43x.当横、纵截距都不是0时，设直线的方程为xa+y-a=1，因为

10、直线过点P3，-4，所以a=3+4=7.此时方程为x-y-7=0.综上，所求直线方程为4x+3y=0或x-y-7=0.题型四直线方程与最值问题【例4】过点P2,1作直线l分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点O为坐标原点，当ABO的面积最小时，求直线l的方程.【解析】方法一：设直线方程为xa+yb=1a>0，b>0，由于点P在直线上，所以2a+1b=1.2a•1b≤2a+1b22=14，当2a=1b=12时，即a=4，b=2时，1a•1b取最大值18，即SAOB=12ab取最小值4，所求的直线方程为x4+y2=1，即

11、x+2y-4=0.方法二：设直线方程为y-1=kx-2k<0，直线与x轴的交点为A2k-1k，0，直线与y轴的交点为B0，-2k+1，由题意知2k-1<0，k<0,1-2k>0.SAOB=121-2k •2k-1k=12-1k+-4k+4≥122-1k•-4k+4=4.当-1k=-4k，即k=-12时，SAOB有最小值，所求的直线方程为y-1=-12x-2，即x+2y-4=0.【点拨】求直线 方程，假设直线过定点，一般考虑点斜式;假设直线过两点，一般考虑两点式;假设直线与两坐标轴相交，一般

12、考虑截距式;假设一条非详细的直线，一般考虑一般式.【变式训练4】直线l：mx-m2+1y=4mm∈R.求直线l的斜率的取值范围.【解析】由直线l的方程得其斜率k=mm2+1.假设m=0，那么k=0;假设m>0，那么k=1m+1m≤12m•1m=12，所以0 假设m<0，那么k=1m+1m=-1-m-1m≥-12-m-1m=-12，所以-12≤k<0.综上，-12≤k≤12.总结进步1.求斜率一般有两种类型：其一，直线上两点，根据k=y2-y1x2-

13、x1求斜率;其二，倾斜角α或α的三角函数值，根据k=tan α求斜率，但要注意斜率不存在时的情形.2.求倾斜角时，要注意直线倾斜角的范围是0，π.3.求直线方程时，应根据题目条件，选择适宜的直线方程形式，从而使求解过程简单明确.设直线方程的截距式，应注意是否漏掉过原点的直线;设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线.8.2 两条直线的位置关系典例精析题型一两直线的交点【例1】假设三条直线l1：2x+y-3=0，l2：3x-y+2=0和l3：ax+y=0 不能构成三角形，求a的值.【解析】l3l1时，-a=-2

14、⇒a=2;l3l2时，-a=3⇒a=-3;由 ⇒ 将-1，-1代入ax+y=0⇒a=-1.综上，a=-1或a=2或a=-3时，l1、l2、l3不能构成三角形.【点拨】三条直线至少有两条平行时或三条直线相交于一点时不能构成三角形.【变式训练1】两条直线l1：a1x+b1y+1=0和l2：a2x+b2y+1=0的交点为P2,3，那么过Aa1，b1，Ba2，b2的直线方程是.【解析】由P2,3为l1和l2的交点得故Aa1，b1，Ba2，b2的坐标满足方程2x+3y+1=0，即直线2x+3y+1=0必过Aa1，b1，Ba2，b2两

15、点.题型二两直线位置关系的判断【例2】两条直线l1：ax-by+4=0和l2：a-1x+y+b=0，求满足以下条件的a，b的值.1l1⊥l2，且l1过点-3，-1;2l1l2，且坐标原点到两条直线的间隔 相等.【解析】1由可得l2的斜率存在，所以k2=1-a，假设k2=0，那么1-a=0，即a=1.因为l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b=0，又l1过点-3，-1，所以-3a+b+4=0，而a=1，b=0代入上式不成立，所以k2≠0.因为k2≠0，即k1，k2都存在，因为k2=1-a，k1=ab，l1⊥l

16、2， 所以k1k2=-1，即ab1-a=-1，又l1过点-3，-1，所以-3a+b+4=0，联立上述两个方程可解得a=2，b=2.2因为l2的斜率存在，又l1l2，所以k 1=k2，即ab=1-a，因为坐标原点到这两条直线的间隔 相等，且l1l2，所以 l1，l2在y轴的截距互为相反数，即4b=b，联立上述方程解得a=2，b=-2或a=23，b=2，所以a，b的值分别为2和-2或23和2.【点拨】运用直线的斜截式y=kx+b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊 情况.求解两条直线平行或垂直有关问题时，主要是利用直线平行和垂直的充要条件，即“斜率相等或“斜率互为负倒数.【变式训练2】如图，在平面

17、直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A0，a，Bb,0，Cc,0.点P0，p是线段AO上的一点异于端点，这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为1b-1cx+1p-1ay=0，那么直线OF的方程为.【解析】由截距式可得直线AB：xb+ya=1，直线CP：xc+yp=1，两式相减得1c-1bx+1p-1ay=0，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故所求直线OF的方程为1c-1bx+1p-1ay=0.题型三点到直线的间隔 【例3】ABC中，A1,1，B4,2，Cm，m1 【解析】因为A1,1

18、，B4,2，所以|AB|=4-12+2-12=10，又因为直线AB的方程为x-3y+2=0，那么点Cm，m到直线AB的间隔 即为ABC的高，设高为h，那么h=|m-3m+2|12+-32，S=12|AB|•h=12|m-3m+2|，令m=t，那么1 由图象可知，当t =32时，S有最大值18，此时m=32，所以m=94.【点拨】运用点到直线的间隔 时，直线方程要化为一般形式.求最值可转化为代数问题，用处理代数问题的方法解决.【变式训练3】假设动点P1x1，y1与P2x2，y2分别在直线l1：x-y-5=0，l2：x-y-15=0上挪动，求P1P2的中点P到原点的间隔 的最小值

19、.【解析】方法一：因为P1、P2分别在直线l1和l2上，所以+÷2，得x1+x22-y1+y22-10=0，所以P1P2的中点Px1+x22，y1+y22在直线x-y-10=0上，点P到原点的最小间隔 就是原点到直线x-y-10=0的间隔 d=102=52.所以，点P到原点的最小间隔 为52.方法二：设l为夹在直线l1和l2之间且和l1与l2的间隔 相等的直线.令l：x-y-c=0，那么5 解得c=10.所以l的方程为x-y-10=0.由题意知，P1P2的中点P在直线l上，点P到原点的最小间隔 就是原点到直线l的间隔 d=102=52，所以点P到原点的最小间隔 为52.总

20、结进步1.求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两直线平行或垂直的条件，即“斜率相等或“互为负倒数.假设出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究.2.学会用分类讨论、数形结合、特殊值检验等根本的数学方法和思想.特别是注意数形结合思想方法，根据题意画出图形不仅易于找到解题思路，还可以防止漏解和增解，同时还可以充分利用图形的性质，挖掘出某些隐含条件，找到简捷解法.3.运用公式d=|C1-C2|A2+B2求两平行直线之间的间隔 时，要注意把两直线方程中x、y的系数化成分别对应相等.8.3圆的方程典例精析题型一求圆的方程【例1】求经过两点A-1,4，B3,2且圆心在y轴上的圆的方程.

21、【解析】方法一：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，那么圆心为-D2，-E2，由得 即解得 D=0，E=-2，F=-9，所求圆的方程为x2+y2-2y-9=0.方法二：经过A-1,4，B3,2的圆，其圆心在线段AB的垂直平分线上，AB的垂直平分线方程为y-3=2x-1，即y=2x+1.令x=0，y=1，圆心为0,1，r=3-02+2-12=10 ，圆的方程为x2+y-12=10.【点拨】圆的标准方程或一般方程都有三个参数，只要求出a、b、r或D、E、F，那么圆的方程确定，所以确定圆的方程需要三个独立条件.【变式训练1】一圆过P4，-2、Q-1,3两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆

22、的方程.【解析】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将P、Q两点的坐标分别代入得令x=0，由得y2+Ey+F=0，由|y1-y2|=43，其中y1、y2是方程的两根.所以y1-y22=y1+y22-4y1y2=E2-4F=48，解、组成的方程组，得D=-2，E=0，F=-12或D=-10，E=-8，F=4，故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.题型二与圆有关的最值问题【例2】假设实数x，y满足x-22+y2=3.求：1yx的最大值和最小值;2y-x的最小值;3x-42+y-32的最大值和最小值.【解析】1yx=y-0x-0，即连接圆上一点与坐标原

23、点的直线的斜率，因此 yx的最值为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率，设yx=k，y=kx，kx-y=0.由|2k|k2+1=3，得k=±3，所以yx的最大值为3，yx的最小值为-3.2令x-2=3cos α，y=3sin α，α∈0,2π.所以y-x=3sin α-3cos α-2=6sinα-π4-2，当sinα-π4=-1时，y-x的最小值为-6-2.3x-42+y-3

24、2是圆上点与点4,3的间隔 的平方，因为圆心为A2,0，B4,3，连接AB交圆于C，延长BA交圆于D.|AB|=4-22+3-02=13，那么|BC|=13-3，|BD|=13+3，所以x-42+y-32的最大值为13+32，最小值为13-32.【点拨】涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质，利用数形结合求解，一般地：形如U=y-bx-a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题;形如x-a2+y-b2形式的最值问题，可转化为圆心已定的动圆半径的最值问题.【变式训练2】实数x，y满足x2+y2=3y≥0.试求m=y+1x+3及b=2x+y的取值范围.【解析】如图，m可看作半圆x

25、2+y2=3y≥0上的点与定点A-3，-1连线的斜率，b可以看作过半圆x2+y2=3y≥0上的点且斜率为-2的直线的纵截距.由图易得3-36≤m≤3+216，-23≤b≤15.题型三圆的方程的应用【例3】在平面直角坐标系xOy中，二次函数fx=x2+2x+bx∈R与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C.1务实数b的取值范围;2求圆C的方程;3问圆C是否经过定点其坐标与b无关?请证明你的结论.【解析】1令x=0，得抛物线与y轴交点是0，b，由题意b≠0，且&Delta

26、;>0，解得b<1且b≠0.2设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b.令x=0，得y2+Ey+F=0，此方程有一个根为b，代入得出E=-b-1.所以圆C的方程为x2+y2+2x-b+1y+b=0.3圆C必过定点，证明如下：假设圆C过定点x0，y0x0，y0不依赖于b，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x20+y20+2x0-y0+b1-y0=0，*为使*式对所有满足b<1b≠0的b都成立，必须有1-y0=0，结合*式得x20+

27、y20+2x0-y0=0，解得 或经检验知，点0,1，-2,1均在圆C上，因此圆C过定点.【点拨】此题2的解答用到了代数法求过三点的圆的方程，表达了设而不求的思想.3的解答同样运用了代数的恒等思想，同时问题表达了较强的探究性.【变式训练3】2019安徽动点Ax，y在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.时间t=0时，点A的坐标是12，32，那么当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t单位：秒的函数的单调递增区间是A.0,1 B.1,7 C.7,12 D. 0,1和7,12【解析】选D.由题意知角速度为2π12=&pi

28、;6，故可得y=sinπ6t+π3,0≤t≤12，π3≤π6t+π3≤π2或32π≤π6t+π3≤52π，所以0≤t≤1或7≤t≤12.所以单调递增区间为0,1和7,12.总结进步1.确定圆的方程需要三个独立条件，“选标准，定参数是解题的根本方法.一般来讲，条件涉及圆上的多个点，可选择一般方程;条件涉及圆心和半径，可选

29、圆的标准方程.2.解决与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.解决与圆有关的最值问题时，可根据代数式子的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合解决.也可以利用圆的参数方程解决最值问题.8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系典例精析题型一直线与圆的位置关系的判断【例1】圆的方程x2+y2=2，直线y=x+b，当b为何值时，1直线与圆有两个公共点;2直线与圆只有一个公共点.【解析】方法一：几何法设圆心O0,0到直线y=x+b的间隔 为d，d=|b|12+12=|b|2，半径r=2.当d 所以当-2 当d=r时，直线与圆相切， |b|2=2，b=±2，所以当b=&p

30、lusmn;2时，直线与圆只有一个公共点.方法二：代数法联立两个方程得方程组消去y得2x2+2bx+b2-2=0，Δ=16-4b2.当Δ>0，即-2 当Δ=0，即b=±2时，有一个公共点.【点拨】解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的根本关系，养成勤画图的良好习惯.【变式训练1】圆2x2+2y2=1与直线xsin θ+y-1=0θ∈R，θ&

31、amp;ne;kπ+π2，k∈Z的位置关系是A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定【解析】选A.易知圆的半径r=22，设圆心到直线的间隔 为d，那么d=1sin2θ+1.因为θ≠π2+kπ，k∈Z.所以0≤sin2θ<1，所以22r，所以直线与圆相离.题型二圆与圆的位置关系的应用【例2】假如圆C：x-a2+y-a2=4上总存在两个点到原点的间隔 为1，务实数a的取值范围.【解析】到原点的间隔 等于1

32、的点在单位圆O：x2+y2=1上.当圆C与圆O有两个公共点时，符合题意，故应满足2-1<|OC|<2+1，所以1 所以-322 【变式训练2】两圆x+12+y-12=r2和x-22+y+22=R2相交于P，Q两点，假设点P的坐标为1,2，那么点Q的坐标为.【解析】由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为-1,1，2，-2，那么过它们圆心的直线方程为x-12-1=y-1-2-1，即y=-x.根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称.故由P1,2可得它关于直线y=-x的对称点，即点Q的坐标为-2，-1.题型三圆的弦长、中点弦的问题【例3】点P0,5及圆C：x

33、2+y2+4x-12y+24=0.1假设直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程;2求圆C内过点P的弦的中点的轨迹方程.【解析】1如图，AB=43，D是AB的中点，那么AD=23，AC=4，在RtADC中，可得CD=2.设所求直线的斜率为k，那么直线的方程为 y-5=kx，即kx-y+5=0.由点C到直线的间隔 公式|-2k-6+5|k2+1=2，得k=34，此时直线l的方程为3x-4y+20=0.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时的方程为x=0.所以所求直线为x=0或3x-4y+20=0. 也可以用弦长公式求解2设圆C上过点P的弦的中点为Dx，y，因为CD⊥

34、PD，所以 =0，即x+2，y-6•x，y-5=0，化简得轨迹方程x2+y2+2x-11y+30=0.【点拨】在研究与弦的中点有关问题时，注意运用“平方差法，即设弦AB两端点的坐标分别为Ax1，y1，Bx2，y2，中点为x0，y0，由 得k=y1-y2x1-x2=-x1+x2y1+y2=-x0y0.该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.【变式训练3】圆的方程为x2+y2-6x-8y=0，设该圆过点3,5的最长弦和最短弦分别为AC和BD，那么四边形ABCD的面积为A.106 B.206 C.306 D.406【解析】选B.圆的方程化成标准方程x-32+y-42=25，

35、过点3,5的最长弦为AC=10，最短弦为BD=252-12=46，S=12AC•BD=206.总结进步1.解决直线与圆、圆与圆的位置关系有代数法和几何法两种，用几何法解题时要注意抓住圆的几何特征，因此常常要比代数法简捷.例如，求圆的弦长公式比较复杂，利用l=2R2-d2R表示圆的半径，d表示弦心距求弦长比代数法要简便.2.处理直线与圆，圆与圆的位置关系，要全面地考察各种位置关系，防止漏解，如设切线为点斜式，要考虑斜率不存在的情况是否合题意，两圆相切应考虑外切和内切两种情况.3.处理直线与圆的位置关系时，特别是有关交点问题时，为防止计算量过大，常采用“设而不求的方法.8.5直线

36、与圆的综合应用典例精析题型一直线和圆的位置关系的应用【例1】圆C：x-12+y-22=25及直线l：2m+1x+m+1y=7m+4 m∈R.1求证：不管m为何值，直线l恒过定点;2判断直线l与圆C的位置关系;3求直线l被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程.【解析】1证明：直线方程可写作x+y-4+m2x+y-7=0，由方程组 可得所以不管m取何值，直线l恒过定点3,1.2由3-12+1-22=5<5，故点3,1在圆内，即不管m取何值，直线l总与圆C相交.3由平面几何知识可知，当直线与过点M3,1的直径垂直时，弦|AB|最短.|AB|=2r2-|CM|2=2

37、25-3-12+1-22=45，此时 k=-1kCM，即-2m+1m+1=-1-12=2，解得m=-34，代入原直线方程，得l的方程为2x-y-5=0.【点拨】解决弦长问题时，可利用弦长的几何意义求解.【变式训练1】假设函数fx=-1beax的图象在x=0处的切线l与圆C：x2+y2=1相离，那么Pa，b与圆C的位置关系是A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不能确定【解析】选B.fx=-1beax⇒f′x=-abeax⇒f′0=-ab.又f0=-1b，所以切线l的方程为y+1b=-abx-0，即ax+by+1=0，

38、由l与圆C：x2+y2=1相离得1a2+b2>1⇒a2+b2<1，即点Pa，b在圆内，应选B.题型二和圆有关的对称问题【例2】设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q关于直线x+my+4=0对称，又满足 • =0.1求m的值;2求直线PQ的方程.【解析】1曲线方程可化为x+12+y-32=9，是圆心为-1,3，半径为3的圆.因为点P，Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，所以圆心-1,3在直线x+my+4=0上，代入得m=-1.2因为直线PQ与直线y=x+4垂直，所以设 Px1，y1，Qx2，y2，那么直

39、线PQ的方程为y=-x+b.将直线y=-x+b代入圆的方程，得2x2+24-bx+b2-6b+1=0，Δ=44-b2-4×2b2-6b+1>0，解得2-32 x1+x2=b-4，x1x2=b2-6b+12，y1y2=-x1+b-x2+b=b2-bx1+x2+x1x2=b2+2b+12，因为 • =0，所以x1x2+y1y2=0，即b2-6b+12+b2+2b+12=0，得b=1.故所求的直线方程为y=-x+1.【点拨】平面向量与圆的交汇是平面解析几何的一个热点内容，解题时，一方面要可以正确地分析用向量表达式给出的题目的条件

40、，将它们转化为图形中相应的位置关系，另一方面还要擅长运用向量的运算解决问题.【变式训练2】假设曲线x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q满足关于直线kx-y+4=0对称;OP ⊥OQ，那么直线PQ的方程为.【解析】由知直线kx-y+4=0过圆心-12，3，所以k=2，故kPQ=-12.设直线PQ的方程为y=-12x+t，与圆的方程联立消去y，得54x2+4-tx+t2-6t+3=0.*设Px1，y1，Qx2，y2，由于OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0，即x1x2+-12x1+t-12x2+t=0，所以x1+x2-12t+54x1x2+t2=0.由*知，x1+x2=4t-45，x1x2=4t2-6t+35，代入上式，解得t=32或t=54.此时方程*的判别式Δ>0. 从而直线的方程为y=-12x+32或y=-12x+54，即x+2y-3= 0或2x+4y-5=0为所求直线方程.题型三与圆有关的最值问题【例3】求与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程.【解析】曲线x2+y2-12x-12y+54=0可化为x-62+y-62=18，它表示圆心为6,6，半径为32的圆.作出直线x+y-2=0与圆x-62+y-62=18，由图形可知，当所求圆的圆心在