概率论与随机过程第1章4-5节

1、上海大学通信学院4 条件概率条件概率(一) 在有些问题研究中，有时还需要知道在有些问题研究中，有时还需要知道在在 “事事件件A A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B B发生的概率。发生的概率。” 其称其称为为“事件事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的条件概发生的条件概率率”,记为记为P(B|A)P(B|A)。 一般一般P(B|A) P(B).P(B|A) P(B).例如例如: :某产品一盒共某产品一盒共1010只，已知其中有只，已知其中有3 3只次品，只次品，从中取从中取2 2次，每次任取一只，作不放回抽取，试次，每次任取一只，作不放回抽取，试求第一次取到次品后第二次再取到次

2、品的概率。求第一次取到次品后第二次再取到次品的概率。 上海大学通信学院上海大学通信学院1039310792103)()()(_BAPABPBP解解: 设设A：第一次取到次品；第一次取到次品； B B：第二次取到次品。：第二次取到次品。 第一次取走一只次品后，第一次取走一只次品后，盒中还剩下盒中还剩下9 9只产品，其中只产品，其中只有只有2 2个次品，故个次品，故又又 ，且，且 故故 .92/ABPBAABB )(BAAB)(/BPABP上海大学通信学院v从样本空间分析：从样本空间分析：第一次抽取时的样本空间第一次抽取时的样本空间 当当A发生后，发生后，S缩减为缩减为 由此可知：由此可知：P(B

3、/A)是在缩减样本空间是在缩减样本空间 上计算的。上计算的。问题问题: 应该如何来定义和计算条件概率呢应该如何来定义和计算条件概率呢?可想的方法可想的方法: 由于事件的由于事件的频率频率与与概率概率有一定关系，所以是否有一定关系，所以是否 可从此着手研究该问题可从此着手研究该问题? 正正品品次次品品,10,43,2,1.,eeeeeS 正正品品次次品品,10,4,2,1.,eeeeSiiAAS上海大学通信学院上海大学通信学院事件事件A A发生的条件下事件发生的条件下事件B B发生的频率：发生的频率： 设事件设事件A、B是古典概型的样本空间是古典概型的样本空间S中的两个事件，中的两个事件，并设并

4、设n次试验中，其中次试验中，其中A，AB事件分别出现事件分别出现nA ，nAB次，次，故在故在“事件事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的频率发生的频率”为为:)()()|(AfABfnnnnnnABfnnAABAABn上海大学通信学院n条件概率条件概率定义定义: 设设A，B为随机试验为随机试验E的二个事件，且的二个事件，且P(A)0，则称，则称 为为事件事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的条件概率。发生的条件概率。问题：条件概率是否满足概率定义的非负性、规范性、问题：条件概率是否满足概率定义的非负性、规范性、 可列可加性三条件可列可加性三条件?P(B|A)P(B|A)计算的

5、两种方法计算的两种方法: : 1) 1) 在样本空间在样本空间S S的缩减样本空间的缩减样本空间S SA A中直接计算中直接计算B B发生发生 的概率的概率P(B/A)P(B/A)； 2) 2) 在样本空间在样本空间S S中中, ,分别计算分别计算P(AB)P(AB)和和P(A),P(A),再计算再计算)()/(APABPABP上海大学通信学院)()()/(APABPABP上海大学通信学院n例例1: 设在一只盒子中混有新旧设在一只盒子中混有新旧2种乒乓球，在新乒乓球中种乒乓球，在新乒乓球中有白色有白色40只，红色只，红色30只；在旧乒乓球中有白色只；在旧乒乓球中有白色20只，红只，红色色10只

6、。现任取一球，发现是新的，问这只球是白色的只。现任取一球，发现是新的，问这只球是白色的概率是多少概率是多少?解解: 按题意按题意,即求即求P(W/N)=? 1) 在缩减样本空间在缩减样本空间N中考虑计算中考虑计算:P(W/N)=40/70=4/7。 2) 用公式求解用公式求解:P(W/N)= P(WN)/ P(N)=类型类型W(白白)R(红红) 共计共计N(新新)4030 70O(旧旧)共计共计 206010 30 40 100741007010040/上海大学通信学院上海大学通信学院有关条件概率的三定理有关条件概率的三定理n1. 概率的乘法定理概率的乘法定理: : 设设A、BS，P（A）0,

7、则则 P(AB)P(A)P(B|A)。 可推广到三个事件的情形：可推广到三个事件的情形： A、B、CS，P（AB）0，则有则有 P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式：一般地，有下列公式：P(A1An1) 0 ，则有，则有 P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1)。上海大学通信学院上海大学通信学院例例2:2:袋中有袋中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从袋中任取一只个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从袋中连续取球相同的球，若从袋中连续

8、取球4 4次次, ,试求第试求第1 1、2 2次取得次取得白球、第白球、第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。解：设解：设A Ai i为第为第i i次取球时取到白球，则次取球时取到白球，则 ， ， ， 3518473635232142131214321)|()|()|()()(AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP6312)|(AAP73)|(213AAAP843214)|(AAAAP上海大学通信学院例例3：一批灯泡共一批灯泡共100只，次品率为只，次品率为 10，不放回地抽取三次，不放回地抽取三次，每次取一只，求第三次才取得合格品的概率。每次取一只，求第三次才取得

9、合格品的概率。解解：设设 =第第i次取得合格品次取得合格品，i=1，2，3。显然，。显然， P第三次第三次才才取得合格品取得合格品= 因为因为故故iA989099910010213121)(,)(,)(AAAPAAPAP00830989099910010.)()()()(213121321AAAPAAPAPAAAP)(321AAAP上海大学通信学院例例4(补充补充)：在空战训练中甲机先向乙机开火，击落乙机的概率在空战训练中甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为为0.2；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机未被击落，则再进攻乙机，击

10、落乙机的概率为若甲机未被击落，则再进攻乙机，击落乙机的概率为0.4。求在。求在这几个回合中：这几个回合中：(1)甲机被击落的概率；甲机被击落的概率；(2)乙机被击落的概率。乙机被击落的概率。解：解：设事件设事件A=甲机被击落甲机被击落，事件，事件B=乙机被击落乙机被击落， 事件事件A i=第第i回合射击成功回合射击成功，i=1,2,3。则由乘法定理可有。则由乘法定理可有: （1）（2）240308012121.)()()()(AAPAPAAPAP424040708020213121132113211.)()()()()()()()(AAAPAAPAPAPAAAPAPAAAAPBP321121A

11、AAABAAA,上海大学通信学院 2. 2. 全概率公式全概率公式样本空间的划分样本空间的划分定义定义: : 设设S为随机试验为随机试验E的样本空间，的样本空间， B1，B2，Bn 为为E的一组事件，若的一组事件，若.,.,),(,)(;)(njijiBBiiSBijiini211 则称则称B1，B2，Bn (n可为可为 )为样本空间为样本空间S的一个划分的一个划分。 样本空间的样本空间的划分划分可构造的条件可构造的条件: 一次试验一次试验E，事件，事件B1，B2，Bn中必有一个且仅有中必有一个且仅有一个事件发生。一个事件发生。1B2B3B1nBnBS上海大学通信学院全概率公式全概率公式: :

12、 设试验设试验E E的样本空间为的样本空间为S，B1，B2，, Bn是是S的一个划分，且的一个划分，且P(Bi)0，(i1，n)，则对任何事件，则对任何事件A S有有 。 证：证： 且且 由概率和与乘法定理可得：由概率和与乘法定理可得： 。 niiiBAPBPAP1)|()()( nnBPBAPBPBAPBPBAPAP/22111B2B3B1nBnBSAnn21ABABABBBBAASA21)(.,)(kiABABki 上海大学通信学院例例5:5: 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为三家工厂的市场占有率

13、分别为1/41/4、1/41/4、1/21/2，且三家工厂的次，且三家工厂的次品率分别为品率分别为 2 2、1 1、3 3，试求市场上该品牌产品的次品率。，试求市场上该品牌产品的次品率。解：解：设：设：A A：买到一件次品：买到一件次品; ; B B1 1 : :买到一件甲厂的产品买到一件甲厂的产品; ; B B2 2 : :买到一件乙厂的产品买到一件乙厂的产品; ; B B3 3 : :买到一件丙厂的产品。买到一件丙厂的产品。B)()()()(321ABPABPABPAP)()|()()|()()|(332211BPBAPBPBAPBPBAP02250210304101041020.上海大学

14、通信学院3. 贝叶斯公式贝叶斯公式定理：定理：设试验设试验E E的样本空间为的样本空间为S，B1, B2 , , Bn是是S的一个划分，的一个划分，且且P(Bi) 0, i1, 2, , n。对于任何事件。对于任何事件A S，P(A)0，则有，则有贝叶斯公式：贝叶斯公式：证：证：由条件概率可得：由条件概率可得： 由全概率公式可得：由全概率公式可得： 故有故有贝叶斯公式：贝叶斯公式：.,)|()()()()(niBAPBPBAPBPABPniiiiii211 APB)PBAP(APABPABPiiii)( NkkkB)PBAP(AP1.,)|()()()()(niBAPBPBAPBPABPnii

15、iiii211上海大学通信学院 设试验只可能出现设试验只可能出现H1, H2, , Hn有穷或可列有穷或可列多个不同的情况，而事件多个不同的情况，而事件A只能伴随这些情况之只能伴随这些情况之一发生。一发生。 试在试在A事件发生的条件下，求发生了事件发生的条件下，求发生了Hk情况情况的条件概率。的条件概率。贝叶斯公式通常用于下列问题中贝叶斯公式通常用于下列问题中:上海大学通信学院例例6: 设甲乙丙三个箱子中：甲箱内有设甲乙丙三个箱子中：甲箱内有a1个白球个白球b1个黑球；乙个黑球；乙箱内有箱内有a2个白球个白球b2个黑球；箱内有个黑球；箱内有a3个白球个白球b3个黑球。现个黑球。现任取出一箱，从

16、此箱中任取出一球，结果发现此球为白球。任取出一箱，从此箱中任取出一球，结果发现此球为白球。试在事件试在事件A此球为白球此球为白球的条件下，求的条件下，求H1此球属于甲箱此球属于甲箱的条件概率的条件概率P(HP(H1 1/A)/A)。解解: : 设设H1，H2，H3分别表示分别表示“此球属于甲乙丙箱此球属于甲乙丙箱”。 ，且且 ， 由全概率公式可得：由全概率公式可得：由由贝叶斯贝叶斯公式可得：公式可得：31321HPHPHP1321HHHPSHii31 33322211131313131baabaabaaHAPHPAPnnn/ 3311132211123332221111111111131313

17、131baabaabaabaabaabaabaabaaAPHAPHPAHP/)(/上海大学通信学院例例7:有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？取一球，问此球是红球的概率？解解：设设A A1 1从甲袋放入乙袋的是白球；从甲袋放入乙袋的是白球； A A2 2从甲袋放入乙袋的是红球；从甲袋放入乙袋的是红球； B从乙袋中任取一球是红球；从乙

18、袋中任取一球是红球；127314332212211)()|()()|()(APABPAPABPBP甲乙上海大学通信学院例例8 8(补充补充)：商店成箱出售玻璃杯，每箱商店成箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任，某顾客选中一箱，从中任选选4 4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱。问这一箱含有一只检查，结果都是好的，便买下了这一箱。问这一箱含有一个次品的概率是多少？个次品的概率是多少？解解: :设设A: :从一箱中任取从一箱中任取4只检查，结果都是好的。只检查，结果都是好的。B0, B1

19、, B2分别表示事件每箱含分别表示事件每箱含0，1，2只次品。只次品。已知已知: :由由BayesBayes公式公式: : ，544204191CCBAP)|(19124204182CCBAP)|(084801912105410180541020111.)|()()|()()|(iiiBAPBPBAPBPABP.)(,.)(,.)(,.)(11010800210BAPBPBPBP上海大学通信学院例例9: 数字通讯过程中，信源发射数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发两种状态信号，其中发0的概率为的概率为0.55，发，发1的概率为的概率为0.45。由于信道中存在干扰，。由于信道中存在

20、干扰，在发在发0的时候，接收端分别以概率的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和和0.05接收为接收为0、1和和“不清不清”。在发。在发1的时候，接收端分别以概率的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和和0.1接收为接收为1、0和和“不清不清”。现接收端接收到一个。现接收端接收到一个“1”的信号。问发射端发的是的信号。问发射端发的是0的概率是多少的概率是多少?解：解：设设 A-发射端发射发射端发射“0”， B-接收端接收到一个接收端接收到一个“1”的信号。的信号。0670450850550050550050.)()()()()()()(APABPAPABPAPABPBAP0 (0.55)

21、0 0( (0 0. .9 9) )1 (0.05)不不清清 (0.05)1 (0.45)1 (0.85)0 (0.05)不不清清 (0.1)上海大学通信学院例例10(补充补充)：玻璃杯成箱出售，每箱玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含只。假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别是只残次品的概率分别是 0.8，0.1，0.1。一顾客欲购买一箱。一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时售货员任取一箱，而顾客开箱后随机地查玻璃杯，在购买时售货员任取一箱，而顾客开箱后随机地查看四只，若无残次品，则买下这箱玻璃杯，否则退回。试求：看四只，若无残次品，则买下这箱玻璃杯，否则退回。试求：(1)顾客买下这箱玻璃杯的

22、概率顾客买下这箱玻璃杯的概率p； (2)在顾客买下的这箱中，确实没有残次品的概率在顾客买下的这箱中，确实没有残次品的概率q。 解：解：设设B=顾客买下所查看的一箱玻璃杯顾客买下所查看的一箱玻璃杯， Ai =箱中恰好有箱中恰好有i件残次品件残次品，i=0，1，2，由题设知：，由题设知：101080210.)(,.)(,.)(APAPAP1912541420418242041910CCABPCCABPABP)/(,)/(,)/(上海大学通信学院(1)由全概率公式由全概率公式 (2)由贝叶斯公式由贝叶斯公式 94.019121 .0541 .018 .0|20 iiiABPAPBPP 85.094.

23、018.0/000 BPABPAPBApq上海大学通信学院例例11(补充补充): 某制帽厂生产的帽子合格率为某制帽厂生产的帽子合格率为0.8。一盒中装有。一盒中装有四顶帽子，一位采购员从每盒中随机地取出两顶帽子进行检四顶帽子，一位采购员从每盒中随机地取出两顶帽子进行检验，如两顶帽子都合格，就买下这盒帽子。求：验，如两顶帽子都合格，就买下这盒帽子。求：(1)每盒帽子每盒帽子被买下的概率被买下的概率p；(2)在采购员买下的一盒中都是合格品的概在采购员买下的一盒中都是合格品的概率率q。 解：解：设设B=一盒帽子被买下一盒帽子被买下， =一盒帽子中有一盒帽子中有i顶合格顶合格， i=0,1,2,3,4

24、，由题设知：，由题设知： iA 1, 0, 0|. 4, 3, 2, 1, 0,2 . 08 . 044 jABPiCAPjiiii .4 ,3 ,2,|242 kCCABPKk上海大学通信学院(1)由全概率公式由全概率公式(2)由贝叶斯公式由贝叶斯公式 64. 02 , 08 . 0|2 . 08 . 0|2424424440440 CCCABPCABPApBPPiiiiiiiiiiiii 64.064.018 .0|44444 BPABPAPBPBAPBAPq上海大学通信学院5 事件的独立性事件的独立性若若A，B为试验为试验E的二事件，且的二事件，且P(A)0，由条件概率可定义，由条件概率

25、可定义P(B/A)。 一般，一般，A事件的发生对事件的发生对B事件发生的概率是有影响事件发生的概率是有影响的，此时的，此时 P(B/A) P(B)，只有在这种影响不存在时才会有，只有在这种影响不存在时才会有P(B/A) = P(B)，同时也有，同时也有P(AB)=P(A) P(B/A)= P(A) P(B)，这时称这时称A，B二事件独立。二事件独立。&定义：定义： 设设A、B是两事件，若满足是两事件，若满足 P(AB)P(A)P(B) ，则称，则称事件事件A与与B相互独立，简称相互独立，简称A，B独立。独立。注意：注意：若若P(A)0， P(B)0，则，则A，B相互独立与相互独立与A，

26、B互不互不相容不能同时成立。相容不能同时成立。定理一：定理一：设设A、B是两事件，且是两事件，且P(A)0。若。若A，B相互独立，相互独立，则则P(B/A)= P(B)。反之亦然。反之亦然。 上海大学通信学院 定理二：定理二：若若事件事件A A，B B相互独立，则下列各对事件也相互独立相互独立，则下列各对事件也相互独立 与与 ， 与与 ， 与与 。多个事件的独立性多个事件的独立性 若三个事件若三个事件 A、B、C满足：满足： (1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), 则称事件则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立； 若在此基础上

27、还满足：若在此基础上还满足： (2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件则称事件A A、B B、C C相互独立相互独立。 一般，设一般，设A1, A2, , An是是n个事件，若对于其中任意个事件，若对于其中任意2个，个，3个，个，n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率的积个事件的积事件的概率，都等于各事件概率的积，则称事件，则称事件A1，A2，An相互独立。相互独立。AABBAB上海大学通信学院事件独立性的应用事件独立性的应用1、加法公式的简化：、加法公式的简化：若事件若事件A1，A2，An相互相互独立独立, 则则 2、在可靠性理论上的应用在可靠性理论上的应用例例1：如图，如

28、图，1、2、3、4、5表示继电器触点，假设每个触表示继电器触点，假设每个触点闭合的概率为点闭合的概率为p，且各继电器接点闭合与否相互独立，求且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至至R是连通的概率。是连通的概率。)()().nnAPAPAAAP121112345LR上海大学通信学院解：解：设设A-L至至R为通路，为通路，Ai-第第i个继电器通，个继电器通，i=1,2,5。42524132)()|(ppAAAAPAAP 225421354213)2()()()|()()|(ppAAPAAPAAPAAAAPAAP 由全概率公式：由全概率公式：)()|()()|()(3333APAAPAPAAPAP54322522pppp1245LR1245LR上海大学通信学院例例2(补充补充)：设第一只盒子中装有设第一只盒子中装有3只蓝球，只蓝球，2只绿球，只绿球，2只白球；只白球；第二只盒子中装有第二只盒子中装有2只蓝球，只蓝球，3只绿球，只绿球，4只白球。独立地分别只白球。独立地分别在两只盒子中各取一球。在两只盒子中各取一球。 (1)求至少有一只蓝球的概率；求至少有一只蓝球的概率； (2)求有一只蓝球一只白球的概率；