透视解析几何中角的处理

1、透视解析几何中“角”的处理解析几何中有关角的问题，涉及的知识点多，解决方法综合而灵活，是学习的一个难点，同时，又是高考的一个热点。下文通过对一个实例多层面剖析并变式引伸，从中透视处理“角”的一般思维程序，以展示问题求解的一般策略，并由此建构解决“角”的方法体系，最终击破难点，轻取热点。已知：椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上的任意一点，试求F1MF2的最大值。分析：所求解的目标角，已学习过的哪些知识（如概念、公式、定理等）与角相关联？向量的数量积，余弦定理，到角公式，解法一：设M（x,y）, 由得：cos=把代入上式，化简得=0x2a2 b2=a2-c2a2-a2 2 当x2=0时，

2、F1MF2取为最大值arccos()解法二：根据焦半径公式 ，由余弦定理得cos= =（下同解法一）解法三：cos= 这里，2a=|MF1|+|MF2| |MF1|·|MF2|a2 当且仅当|MF1|=|MF2|即（M位于短轴顶点B顶点）时等号成立（下略）评注：定义是构筑知识体系的基础，利用定义解题，如同抓住了“纲”，能收到“纲举目张”的效果，可靠而灵巧。解法四：由椭圆的对称性，可设M（x,y）为第一象限内“椭圆弧”上的任意一点，即0x<a,0<yb(当M位于点A时=0) ，可看作MF1到MF2的角tanF1MF2=令g(y)=，则g'(y)=在其定义域内恒正,，

3、故tanF1MF2单调递增，当y=b即x=0时，就是点M位于上顶点B2，F1MF2达到最大值*。（下略）上述探索异途同归：在点M从右顶点A2往上顶点B2移动过程中，F1MF2逐渐增大，并且当M位于顶点B2时达到最大。变式：已知椭圆，M是椭圆上任意一点，A1、A2是椭圆的左、右顶点，求A1MA2的最大值。分析：|MA1|、|MA2|不是焦半径，公式|MA1|=a+ex、定义|MA1|+|MA2|=2a不能用，并且 |MA1|=不能通过配成完全平方而化简。故前三种解法都不可行。解：tanA1MA2= tanA1MA2单调递增，当y=b时，即点M位于上B2时A1MA2最大，其值为。至此，凸现了处理角

4、的常用方法：到角公式，余弦定理，（向量）数量积的定义。 引伸1：已知椭圆长轴的两端点是、，且在椭圆上存在点M，使，则椭圆离心率e的取值范围为（ ） A（0，1） B C D不能确定，因结论不仅仅与e有关解：选C。在椭圆上存在点M，使， 即 故 引伸2：椭圆的焦点为F1、F2，点M为其上的动点，则当F1MF2为钝角时，点M横坐标的取值范围是_.解：找出分界点P：的横坐标即可。解且联立的方程组 在“有着适度潜在距离”的相关问题之间建立精当的序列关系，会将知识结构化、网络化，使得知识体系简约，易于理解，可以避免因知识繁杂而不得要领，并且结构化、网络化的知识给联想提供线索和桥梁，具有迁移和应用的活力。 详细理由如下：（一）当b>c时，b2>c2且b2y2>0 b4>c2y2 tanF1MF2=为正且在上单调递增 锐角F1MF2在y=b时取得最大值，（二）当b=c时 （）当y=b时，tanF1MF2不存在，即F1MF2=（）当0<y<b时，b4-c2y2>0，锐角F1MF2 当y=b时，F1MF2取得最大值（三）当b<c时，（）当0<y<时，b4>c2y2 tanF1MF2=为正且在（0，）上单调递增 锐角F1MF2（）当y=时，tanF1MF2不存在，即F1MF2=（）当&