函数的周期性、对称性课案

1、龙文教育个性化辅导授课案ggggggggggggangganggang纲 教师: 学生: 日期: 年 月 日 星期 时段: 授课题目一.函数的对称性、周期性函数对称性、周期性根本知识一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、 周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。2、 对称性定义略，请用图形来理解。3、 对称性：我们知道：偶函数关于y即x=0轴对称，偶函数有关系式 奇函数关于0，0对称，奇函数有关系式

2、上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：1函数关于对称 也可以写成 或 简证：设点在上，通过可知，即点上，而点与点关于x=a对称。得证。 假设写成：，函数关于直线 对称 2函数关于点对称 或 简证：设点在上，即，通过可知，所以，所以点也在上，而点与关于对称。得证。 假设写成：，函数关于点 对称 3函数关于点对称:假设函数关于对称，即关于任一个值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于对称。但在曲线c(x,y)=0，那么有可能会出现关于对称，比方圆它会关于y=0对称。4、 周期性： 1函数满足如下关系系，那么 A、 B、 C、或等式右边加负号亦成立 D、其他情

3、形 2函数满足且，那么可推出即可以得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，那么函数一定是周期函数 3如果奇函数满足那么可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为以上 如果偶函数满足那么亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为 以上 4如果奇函数满足，那么函数是以4T为周期的周期性函数。如果偶函数满足，那么函数是以2T为周期的周期性函数。定理3：假设函数在R上满足，且其中，那么函数以为周期. 定理4：假设函数在R上满足，且其中，那么函数以为周期. 定理5：假设函数在R上满足，且其中，那么函数以为周期.二、

4、 两个函数的图象对称性1、 与关于X轴对称。换种说法：与假设满足，即它们关于对称。2、 与关于Y轴对称。换种说法：与假设满足，即它们关于对称。3、 与关于直线对称。换种说法：与假设满足，即它们关于对称。4、 与关于直线对称。换种说法：与假设满足，即它们关于对称。5、 关于点(a,b)对称。换种说法：与假设满足，即它们关于点(a,b)对称。6、 与关于直线对称。7、 函数的轴对称：定理1：如果函数满足，那么函数的图象关于直线对称.推论1：如果函数满足，那么函数的图象关于直线对称.推论2：如果函数满足，那么函数的图象关于直线y轴对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.8、

5、 函数的点对称：定理2：如果函数满足，那么函数的图象关于点对称.推论3：如果函数满足，那么函数的图象关于点对称.推论4：如果函数满足，那么函数的图象关于原点对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.一、几个重要的结论一函数图象本身的对称性自身对称1、函数  满足  T为常数的充要条件是  的图象关于直线  对称。2、函数  满足  T为常数的充要条件是  的图象关于直线  对称。3、函数  满

6、足  的充要条件是  图象关于直线 对称。4、如果函数  满足  且  ，  和  是不相等的常数，那么  是以为  为周期的周期函数。5、如果奇函数  满足    ，那么函数  是以4T为周期的周期性函数。6、如果偶函数  满足    ，那么函数  

7、;是以2T为周期的周期性函数。二两个函数的图象对称性相互对称利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解1、曲线  与  关于X轴对称。2、曲线  与  关于Y轴对称。3、曲线  与  关于直线  对称。4、曲线  关于直线  对称曲线为  。5、曲线  关于直线  对称曲线为  。6、曲线  关于直线  

8、对称曲线为  。7、曲线  关于点  对称曲线为  。三、试题1定义为R的函数满足，且函数在区间上单调递增.如果，且，那么的值A .A恒小于0 B恒大于0 C可能为0 D可正可负.分析：形似周期函数，但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通过适当描点作出它的图象来了解其性质.或者，先用代替，使变形为.它的特征就是推论3.因此图象关于点对称.在区间上单调递增，在区间上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移了两个单位.，且函数在上单调递增，所以，又由，有，.选A.当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人

9、也可猜想出答案为A.2：在R上定义的函数是偶函数，且.假设在区间上是减函数，那么( B )A.在区间上是增函数，在区间上是减函数B.在区间上是增函数，在区间上是减函数C.在区间上是减函数，在区间上是增函数D.在区间上是减函数，在区间上是增函数分析：由可知图象关于对称，即推论1的应用.又因为为偶函数图象关于对称，可得到为周期函数且最小正周期为2，结合在区间上是减函数，可得如右草图.应选B3.定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.假设将方程在闭区间上的根的个数记为，那么可能为 D A.0 B.1C.3D.5 分析：， ，那么可能为5，选D.4函数的图象关于直线和都对称，且当时

10、，.求的值.分析：由推论1可知，的图象关于直线对称，即，同样，满足，现由上述的定理3知是以4为周期的函数.，同时还知是偶函数，所以.5，那么，中最多有 B 个不同的值.A.165B.177C.183D.199 分析：由.又有，于是有周期352，于是能在中找到.又的图像关于直线对称，故这些值可以在中找到.又的图像关于直线对称，故这些值可以在中找到.共有177个.选B. 6：，那么 A .A. B. C. D.3 分析：由，知，.为迭代周期函数，故，.选A.7：函数在R上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，那么的值为 .解：，令，那么，即有，令，那么，其中，. 或有，得.8设函数为奇函数，那么

11、c A0B1CD5分析：答案为B。先令f1= f-1+2=f-1+f2=1/2，根据奇函数的定义可求得f-1=-1/2，所以，f2=1，f5=f3+f2=f1+f2+f2=5/2，所以，答案为c。9 设fx是定义在R上以6为周期的函数，fx在(0,3)内单调递减，且y=fx的图象关于直线x=3对称，那么下面正确的结论是 B (A)； (B)；(C)； (D)分析：答案为B。做这种带周期性、单调性的试题，通常的做法是将fx设成正弦或余弦函数，具体到此题，可将fx设成正弦函数或余弦函数，令其周期为6，通过平移使其满足在0,3内单调递减，根据图像，即可求出，答案为B。10设函数与的定义域是,函数是一

12、个偶函数，是一个奇函数，且，那么等于CA. B. C. D.分析：答案为C. 此题是考察函数奇偶性的判定，并不难，根据奇偶性的定义，即可得出答案为C 高考资源网 11：函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明: (1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减. 证明: (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0. f(x)=f(x). f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0，1)上

13、单调递减. 令0<x1<x2<1,那么f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0<x1<x2<1,x2x1>0,1x1x2>0，>0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)<0，x2x1<1x2x1,0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1). f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0 f(x)在(1，1)上为减函数.12. 函数yf (x)是定义在上的周期函数，周期T=5，函数是奇函数又知yf (x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数

14、，且在x=2时函数取得最小值. 证明：；求的解析式；求在4,9上的解析式.解：f (x)是以为周期的周期函数，又是奇函数，当时，由题意可设，由得，是奇函数，又知yf (x)在0,1上是一次函数，可设，而，当时，f (x)=-3x，从而当时，故时，f (x)= -3x，.当时，有，0. 当时，13设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称对任意，都有·，且f(1)=()求；()证明是周期函数；记，求()解：因为对，都有·x,所以0， ()证明：依题设关于直线对称，故，即，R又由是偶函数知，R，R，将上式中以代换，得，这说明是R上的周期函数，且2是它的一个周期. 解：由()知，

15、 的一个周期是2=,因此an=对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。二、试试看，练练笔1、定义在实数集上的奇函数  恒满足  ，且  时, ,那么  _。2、函数  满足  ，那么  图象关于_对称。3、函数  与函数  的图象关于关于_对称。4、设函数  的定义域为R，且满足  ，那么 &#

16、160;的图象关于_对称。5、设函数  的定义域为R，且满足  ，那么  的图象关于_对称。  图象关于_对称。6、设  的定义域为R，且对任意  ，有  ，那么  图象关于_对称，  关于_对称。7、函数  对一切实数x满足  ，且方程  有5个实根，那么这5个实根之和为    A、5  

17、0;     B、10        C、15        D、188、设函数  的定义域为R，那么以下命题中，假设  是偶函数，那么 图象关于y轴对称；假设  是偶函数，那么  图象关于直线  对称；假设 ，那么函数  图象关于直线 &

18、#160;对称；  与 图象关于直线  对称，其中正确命题序号为_。9、函数  定义域为R，且恒满足  和  ，当 时，  ，求  解析式。10、偶函数  定义域为R，且恒满足  ，假设方程  在 上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间  中的根附参考答案： ：     ：   ：      ：y轴即