分段函数的常见题型及解法(广东用)

1、 分段函数的常见题型及解法分段函数; 定义域; 值域或最值; 函数值; 解析式; 图像; 奇偶性; 方程; 不等式. 1求分段函数的定义域和值域2求分段函数的函数值3求分段函数的最值4求分段函数的解析式5作分段函数的图像7判断分段函数的奇偶性8判断分段函数的单调性9解分段函数的方程10解分段函数的不等式1求分段函数的定义域和值域例1求函数的定义域、值域. 【解析】作图, 利用“数形结合易知的定义域为, 值域为. _2_x3yxO.练习fx 是定义在上的奇函数，当时，fx 的图象如右图所示，那么fx 的值域是 2求分段函数的函数值1、设，那么的值为 A. B. C. D.2、给出函数，那么 A.

2、 B. C. D. 3求分段函数的最值例4求函数的最大值方法1先求每个分段区间上的最值，后比较求值。当0时,=2+3,此时显然有maX= =3;当0<1时，=+3,此时max=4当>1时，=+5，此时无最大值.比较可得当=1时,max=4.方法2 利用函数的单调性Y4321 0 1 2 3 4 5 x由函数解析式可知，在(,0)上是单调递增的，在(0,1)上也是递增的，而在(1,+)上是递减的，由的连续性可知当=1时有最大值4方法3利用图像，数形结合求得作函数=的图像图1，显然当=1时max=4.说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得.例3求函数的最大值. 【解析】当时, , 当

3、时, , 当时, , 综上有. 4求分段函数的解析式例奇函数fx (xR)，当x>0时，fx= x(5x)+1.求fx在R上的表达式。解fx是定义域在R上的奇函数， f0=0.又当0时，>0,故有fx=x 5(x)+1=x (5+x)+1。再由fx是奇函数,fx=fx=(5+)1.练习1某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当居民用水超过4吨时，超过局部每吨3.00元。假设某月某用户用水量为x吨，交水费为y元。1求y关于x的函数关系2假设某用户某月交水费为31.2元，求该用户该月的用水量。2如图，动点从单位正方形顶点开始，顺次经、绕边界一周，当表示

4、点的行程，表示之长时，求关于的解析式，并求的值3等腰梯形的两底分别为，作直线交 于，交折线于，记，试将梯形位于直线左侧的面积表示为的函数，并写出函数的定义域.5作分段函数的图像1函数1在图5给定的直角坐标系内画出的图象；2写出的单调递增区间图56求分段函数得反函数例6是定义在上的奇函数, 且当时, , 设得反函数为, 求的表达式. 【解析】设, 那么, 所以, 又因为是定义在上的奇函数, 所以, 且, 所以, 因此, 从而可得. 7判断分段函数的奇偶性例1判断函数的奇偶性. 【解析】当时, , , 当时, , 当, , 因此, 对于任意都有, 所以为偶函数. 练习函数1判断并证明函数的奇偶性；

5、2判断函数在上的单调性并加以证明8判断分段函数的单调性例写出函数的单调减区间. 【解析】, 画图易知单调减区间为. 练习函数假设在上单调递增，那么实数的取值范围为A B C D 9解分段函数的方程例1001年上海设函数, 那么满足方程的的值为 【解析】假设, 那么, 得, 所以舍去, 假设, 那么, 解得, 所以即为所求. 练习1，假设，那么 2函数假设，那么实数的值等于A1 B2 C3 D43函数 那么函数的零点个数为A1 B2 C3D410解分段函数的不等式例设函数, 假设, 那么得取值范围是 【解析1】因为, 当时, , 解得, 当时, , 解得, 综上的取值范围是. 应选D. 【解析2】首先画出和的大致图像, 易知时, 所对应的的取值范围是. 例12设函数, 那么使得的自变量的取值范围为 A B. C. D. 【解析】当时, , 所以, 当时, , 所以, 综上所述, 或, 应选A项. 【点评：】 以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 假设能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显. 7、设函数，假设，那么关于的方程 的解的个数为 A1 B2 C3 D4例8