因式分解教学设计

1、专题五 拓展阅读9、因式分解教学设计 初中数学课程团队(z0503) 发表于 2007-11-07 18:03:10 地址： 因式分解教学设计 北大附中  鲍敬宜                                   

2、0;  一.  背景介绍 因式分解，这是初中数学传统的经典，因式分解是代数式中的重要内容，它与前一章整式和后一章分式联系极为密切。因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。在新课标的理念下，必须要重新理解它深刻的内涵，重新审视因式分解的教育价值。传统的因式分解，是数学的工具，使学生熟练掌握一些因式分解技能技巧，本来十分简单的问题

3、演绎得十分复杂（如分组法，拆项法，十字相乘法,待定系数法）,新课程把因式分解作为培养学生逆向思维，全面思考，灵活解决问题的载体。主要解决三个方面的问题，一是了解因式分解的必要性,深刻理解因式分解的概念，二是与整式乘法的相互关系。通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理. 掌握从整式乘法得出因式分解的方法.三是因式分解的方法。为此，就要淡化理论,简化难题, 掌握最基本的教学方法（提取公因式法和公式法即可）.这是新课程体现教育价值最明显的变化。通过整式乘法与因式分解互为逆向变换，使学生澄清这种逆是反过来的变换，不是逆运算-是教学的难点（逆运算，是在一个算式中，以两种形式不同,实质不变的两种运

4、算，而因式分解是一种恒等变换的两种说法）、二、教学设计(一)【教学目标】1、认知目标：（1）理解因式分解的意义和概念             （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系?相反变形，并会运用它们之间的      相互关系寻求因式分解的方法，培养学生创编因式分解题目的能力            

5、60;   (3) 掌握因式分解的基本方法:提公因式法、公式法.明确公式法分解因式是乘法公式的逆用,提高代数式的恒等变形能力。 2、能力目标：在因式分解的教学中，注意揭示数学中的可逆关系，培养学生的辨证思维以及创造性思维能力, 提高学生的综合运用能力。  3、情感目标：培养学生独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。激发学习兴趣，使学生满腔热忱，科学积极地投入到这部分内容的学习,让学生体验到成功的喜悦.(二)教学重点、难点：教学重点：熟练运用提取公因式和公式法这两种方法解题以及灵活掌握因式分解的应用。教学难点：1.正确寻找公因式2. 灵活

6、运用公式法分解因式，正确理解公式中a、b    公式中a、b是变量，可以表示数也可以表示单项式或多项式（三）教学过程一：因式分解的的概念练习、比一比，看谁算得快（抢答）：(1) 20072+2007能被2008整除吗？ (2)已知：a=101,b=99,求a2-b2的值。 (3)若a=89,b=-11, 求a2-2ab+b2值(4) 已知a-b=2，求的值。(5) 绿湖公园有两块长方形的草地，这些长方形的长分别是13.2m、16.8m,宽都是9.7 m,求这两块草地的总面积请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。 (1) 20072+2007=2007（20

7、07+1）=2007(2)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400；(3)a2-2ab+b2=(a-b) 2=(89+11)2 =10000；(4) =ab(a-b)=7(5) 依题意列式    有简便算法吗?如果长方形的长分别是a、b,宽都是 m, 则这两块草地的总面积为：mamb =m(ab)观察上面这五道题的做法，你有什么发现？这几个等式的左边都是整式的和，右边都是整式乘积的形式.将上面的恒等式从右向左看就是我们已经学过的整式乘法公式。   我们把上面这种从左式到右式的恒等变形叫做多项式的因式分解.

8、60;  多项式的因式分解的概念把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解.  多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形.复习我们曾经学过整式乘法及乘法公式：如单项式与多项式相乘，得      ()；多项式与多项式相乘  ()()2+(n)n.平方差公式：                ()()22.完全平方公式  

9、0;             ()2222，()2222.如果我们把上面的乘法运算及乘法公式中的等号左边的式子与等号右边的式子互换，就得到下列各式()，2()()()，2-2()(-)，222()2，222()2，这些式子中，从等式左边到等式右边的变形就是多项式的因式分解.例1请你利用整式乘法与因式分解之间的这种关系编出一道因式分解的题目(如：由(x+1)(x-1)=x2-1得x2-1=(x+1)(x-1)     由(x+2)(x-1

10、)=x2+x-2得x2+x-2=(x+2)(x-1)等等)例2  根据因式分解的概念，判断下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？    (1) a(2)2a-a(2) 922-1(3)(3)-1；(3)26(2)(3)；(4)()()；(5) 32()-6332(a)=-3ba2.    (6)(7)  x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；在学生的实践过程中，认识到多项式的因式分解是有条件限制的，不是所有的多项式都能因式分解。二.提公因式法分解因式  

11、0; 用两个的?回顾前面的数值例题？给字母赋不同的值，可以出不同的题；整式乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc  逆变形得到因式分解：ma+mb+mc=m(a+b+c)说明：多项式ma+mb+mc各项都有的公因式m可以提到括号外面，写成m（a+b+c）的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。提公因式法分解因式的关键是确定多项式各项的公因式确定公因式一般可以从以下二个方面来考虑： (1) 先提取数字因数。若多项式的各项系数都是整数，那么公因式的系数是这些

12、系数绝对值的最大公约数；若有分数因数，则最好先提取分数因数，使多项式系数转化为整数，使解题过程简化(2)  再提取相同的字母。若多项式的各项含有相同的字母（因式），就应把它作为公因式提取，相同字母（因式）的指数取该字母（因式）在各项中最低的指数。例1 把下列各式分解因式（如何检验你分解得是否正确性呢？）（1）-   （2）4x3y2+14x2y-2xy     （3）-4a3b2+16ab3c-12a2b2c2 （4）2am-1bn-4ambn+1例2 把下列各式分解因式（1）    （2）&#

13、160;   （3）（4）                                 （5）5x3y(x-y)3-15x4y3(y-x)2(6) (7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)(7a-8b)+(a-8b)=(a-2b)

14、(8a-16b)=8(a-2b)(a-2b)=8(a-2b)2.通过此题的练习让学生归纳出与的关系：    当为偶数时=    当为奇数时=说明：当多项式的一项是公因式时，这项应看成它与1的积，提公因式后剩下的是1，不能漏掉。公因式不仅可以是单项式也可以是多项式，找公因式时要注意观察。三运用公式法分解因式我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式：         a2-b2=(a+b)(a-b) 两个数的平方差，等于

15、这两个数的和与这两个数的差的积        a2+2ab+b2=(a+b)2       a2-2ab+b2=(a-b)2两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。 把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。  这种分解因式的方法叫做运用公式法。（这种方法的关键是弄清公式的形式和特点，熟练地掌握公式）（1）利用平方差公式进行因式分解：平方差公式的特点左边：多项式为二项式；两项的符号相反；每

16、项都可化为某数（或某式）的平方形式。即形如（ ）2（ ）2右边：这两个数（或式）的和与这两个数（或式）的差的积。例1、    把下列各多项式分解因式：1） m? - 16                    2)    4x?  - 9y?3）    4）例2下列多项式能否用平方差公式分解因式？说说你的理由

17、。1）4x2+y2                     2) 4x2-(-y)2  3) -4x2-y2                    4) -4x2+y2 通过例题的讲解归纳步

18、骤先判断能否用此公式，并确定、；再套用公式分解；化简。例3 把下列多项式分解因式：1） ( x + z )?- ( y + z )?2） 4( a + b)? - 25(a - c)?3） (x + y + z)? - (x ? y ? z )?4)  (4a+5b)2?(2a-b)25）9x2-(x-2y)2=(3x) 2-(x-2y)2=3x+(x-2y)3x-(x-2y)           =(3x+x-2y)(3x-x+2y)=(4x-2y)(2x+2y) 注意：式子中还有公因式。 &

19、#160;         =2(2x-y)?2(x+y)=4(2x-y)(x+y) 公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式.分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项。例4 把下列多项式分解因式：1）8a? -2a        2)  -x4 +1       3) 27a3bc-3ab3c综合运用提公因式法和公式法分解多项式（有助于培养学生分析问题

20、能力）初次让学生体会到因式分解方法的考虑顺序是一“提”二“套”。综合运用提公因式，公式法公解因式时，同学们千万要注意分解完毕后对结果进行检查，看是否分解彻底了。（2）利用完全平方公式进行因式分解：a2+2ab+b2=(a+b)2 工        a2-2ab+b2=(a-b)2 公式特点：（左边）1、多项式为三项式；2、其中有两项同号，且能写成两数（或式）的平方形式；3、另一项是这两数（或式）的积的二倍，符号可正可负。（右边）这两数（或式）的和或差的平方形式。即：（ ）2±2（ ）（ ）+（ ）2例1下列各式是否

21、为完全平方式：                                        16a2+1.          &

22、#160;             4x2-6xy+9y2 例2 填空：  （  ）2+12m+4=（        ）2    若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k=       . 9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2，±kxy=2?3x?6y=36xy.k=±36.

23、例3把下列多项式分解因式1）  (x+y)2-6(x+y)+9          2)                3)            4)       

24、60;          例4把下列多项式分解因式1)  x3-4x2+4x   2)  3) 4) 四 因式分解方的应用选讲1计算（1）（2）9.982-4×4.492（3）7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9；（4）(分析) 本题旨在考查因式分解的灵活运用,即=a-b(a+b0).解:原式=+           =(1-2)+(3-4)+(5-6)+(2003-2004)           =(-1)×(2004÷2)       &