奥数新讲义二次根式2师

1、第二讲 二次根式 2一、 基础知识（一）二次根式的定义式子 a(a ³ 0) 叫做二次根式，这里a 可以是数，也可以是代数式，但a 必须是非负的. 运算结果也是非负的.（二）二次根式的性质（1） ( a)2 = a(a ³ 0)a(a ³ 0) 的(a > 0)ì a= ï 0(a = 0)（2）=a2aíï-a(a < 0)î（三）二次根式的化简与运算（1） ab =a ×(a ³ 0,b ³ 0)baab（2）=b(a ³ 0, b > 0)（3）若 a

2、 ³ b ³ 0 ，则 a ³b（4）最根式（5）同类二次根式与根式的加减法： a c + b c = (a + b) c(c ³ 0)（四）共轭因式例如 a +b与 a - b 就是一对共轭因式，又叫互为有理化因式.（五）复合二次根式的化简我们把二次根式中套叠着二次根式的式子叫做复合二次根式.如 6 + 7二次根式，把复合二次根式化简需要灵活运用二次根式的性质和运算法则.a ， a + b -c 都是复合复合二次根式 a ±b 可以简化为两个简单根式的代数和的条件是：（1） a > 0, b > 0 ；（2） a2 - b = k

3、 2 (k为正数）.复合二次根式化简的方法有以下三种：（1）配方法比如，若 a + 2 b 中的 a + 2 b 能配成( x +y )2（ x > 0, y > 0, x > y ），这样就可以把原复合二次根式化为 x +y ，这就要求找到 x, y(x > y) ，使得 x + y = a, xy = b（2） 待定系数法（3） 公式法由待定系数法设 a ±b =x ±y ，即可推出公式a +a 2 - ba -a 2 - ba ±b =±22（4）化二、经典例题（一）二次根式的概念与性质例 1（2005 年锦州市中考题）已知

4、 - 2 < x < 1 ，化简根式的常用方法有因式分解法、公式法、换元法、利用非负数的性质等(32)2 - 1- 4x + 4x2 + 5x .32解答：若0 £ x < 1 ，则原式 = 10x + 1；若- 2 < x < 0 ，则原式123+4赛试题）若 x ¹ 0 ,求例 2（初中数的最大值.x:在分数中当定时,分母越小则分数值越大,但在原题中,直接观察不出结果,想到将进行有理化,再进行观察,从而求出最大值.+4x原式= 此时分母大于x1+ xx ¹ 0, 它的值可正，可负。显然在 x > 0 的范围内取得最大值x11

5、=11+x4+ 1+ x42 + 1 1+x4+ x4x2而 x2 += (x - 1 )2 + 2 当 x - 1 =0 时最小，最小值为 2，此时 x2 +1也达到最小值 311x2x2xx11即 1+值为 3 +2 ，故原分式的最大值是=3 - 23 +2（二）二次根式的化简与运算例 3（南昌市数学竞赛试题）计算 3633´3635´3639´3641+ 36 - 3636´3638：此题是较麻烦得 数字计算，直接计算运算量太大，想到用字母来代数，以达到简化计算的目的。令 3637= a原式=(a - 4)(a - 2)(a + 2)(a + 4)

6、 + 36 - (a -1)(a +1)=(a2 -10)2 +1- a2= a2 -10 +1- a2 = -92 6例 4（美国竞赛试题）化简2 + 3 + 5:原式= (2 + 2 2 3 + 3) - 52 + 3 + 5= ( 2 + 3)2 - ( 5)22 + 3 + 5= ( 2 + 3 + 5)( 2 + 3 - 5)2 + 3 + 5=2 + 3 - 5例 5（2006 年“希望杯”培训题）已知c > 1, x =比较 x、y、z 的大小. 解答： x > y > zc - c -1 ， y =c +1 - c ， z =c + 2 - c +1 ，1的整

7、数部分是 a，小数部分是 b，求a2 + (1+ 7)ab 的值.例 6（1992 年金杯邀请赛）若3 - 7解答：分母有理化， a = 2, b =7 - 1 ，故原式 = 102111例 7（2001 年全美竞赛题） P =+ . +，求 P 的值.2 1 +23 2 + 2100 99 + 993100n + 1 -n1111=-解答：(n + 1) n + nn + 1n(n + 1)( n + 1 +n(n + 1)nn + 1n )910故原式=（三）复合二次根式的化简例 8（“希望杯”培训题）已知 a + b =1992 +1991 ， a - b =1992 - 1991，求

8、ab .1991解答：将已知条件中两个式子分别平方，可得 ab =2例 9（北京市 8 年级数学竞赛试题）化简3 - 2 2 + 5 - 2解答:这+ 17 - 2 72是一道多个复合二次根式的化简题,只达到目的.每个复合二次根式迅速.正确化简就可原式= ( 2 -1)2 +( 3 -+ ( 6 - 5)2 +(7 -= (+(+(2 -1) + ( 3 -2) + (6 - 5) + +( 7 - 6)8 - 7 ) + ( 9 - 8) =3 + 2 2 - 3 -63 +2 - 3 -6例 10（2000 年徐州市竞赛题）（1）化简；（2）化简1 +2 - 31 +2 - 3解答：（1）

9、原式1 +2 ；（2）原式 = 1 +2 -32（四）根式运算中的一些解题方法和技巧根式运算中涉及的方法是较多的，但关键还在于掌握基本概念，灵活运用.例 11（1999 年竞赛）如果 a + b - 2 a -1 - 4 b - 2 = 3，求a, b, c 的值.解答：配方法.原式可变形为( a -1 -1)2 + ( b - 2 - 2，a = 2, b = 6, c = 12故竞赛题）化简 M =8 +40 + 85 + 8例 12（1991 年+ 2 24 - 85 = 16 +，由于 M > 0 ，解答： M故 M = 12 + 4 5 = 10 +2例 13（1981 年罗马

10、尼亚竞赛题）求根式 2 +2 +2 + . 的值.解答：设原式 x ，则 2 + x = x ，平方，得 2 + x = x2 ，由于 x > 0 ，故 x = 2x= 1 （该方程中有 2006 个 2）例 14（第 19 届）解方程x2 +x2 +2 + xOx2+1+ 1+ xx +1 -1 = 1，所以 x +1 = 2 ， x = 3解答：分母有理化，原方程很容易化成：赛 ） 设 1995x3 = 1996y3 = 1997例15 （初 中 数且有111试求 +的值。xyz9 x2 +1996y2 +1997z2 =3 113 1995解答：设1995x = 1996y = 1

11、997z = k ，则有 1995 ×x = k,=33333, 同理xk13 1996 13 1997=,=,（1）ykzk9 x2 +1996y2 +1997z2 =由已知式： 3 1结合（1）式可得k 3xk 3k 3z111+= k (+3xyz11111 k × 3 (+ ) = k × (+xyzxy111111 3 (+ ) =+(xyzxyz111由（2）式得 += 1xyz三、练习1（第 5 届“希望杯”试题）已知 a - b - 2 3 + (a + b - 2 2)2 = 0 ，求 b 的值.a故 ba解答： a =+b =-= 3232,2

12、,2 +x2 + 4x1初中数学竞赛试题）已知 x = 4 2 -, 求4 22（ 的值+ 4x解答：由已知得112x =2 +- 2, x + 2 =2 +2(2)2 = 2 + 1 + 2, x2 + 4x = 12代入原式中原式=221 +1- 1 .x数学竞赛试题）求所有实数 x, 使得3（111x -x1-= y 则x解答：构造的对偶式设ì1x + y = 2 x -(1)ïíxïxy = x -1(2)î由（2）得 y = 1- 1 代入（1）整理得xx - 1 -1)2 = 0;x0 即(1± 5 ,x > 0, x = 1+5：224（第 12 届“希望杯”竞赛题）已知 x =解答： x < y2001 -2000 ， y =2000 - 1999 ，则 x和y 的大小关系.5（第 9 届“希望杯”竞赛题）化简 8 +63 + 8 -63解答：利用平方法得3 26（2001 年呼和浩特市竞赛题）设 a + b + c + 3 = 2( a + b +1 + c -1) ，求代数式