建立函数模型的常用方法

1、建立函数模型的常用方法函数是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题，另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，对此发展趋势进行预测，下面对建立函数模型解决实际问题常用的方法举例说明。一、 列表法例1、某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元，可获得利润22元；每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元；已知该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利尽量大，若每月按30天计算，应安排生产童装和西服各多少天？（天数为整数），并求出最大利润。分析：通过阅读、审题找出此问题的主要关系（目标与条件的关系），即“生产童

2、装与西服的天数”决定了“利润”，所以将生产童装的参数变量设为x天，则生产西服的天数为（30x）天，于是每项利润即可表示了。在把“问题情景”译为“数学语言”时，为便于数据处理，运用表格或图形处理数据，有利于寻找数量关系。生产天数每月情况生产童装的天数x天生产西服的天数（30x）天每月套数（套）200x50（30x）每月成本（元）40200x15050（30x）每月利润（元）22200x8050（30x）解：设生产童装的天数为x天，则生产西服的天数为（30x）天，从而建立总利润模型为：y22200x8050（30x），化简得有400x120000，同时注意到每月成本支出不超过23万元，据此可得40

3、200x15050（30x）230000，从中求出x的取值范围为，且x为正整数，显然当x10时赢利最大，最大利润元。点评：现实生活中很多事例可以用一次函数知识和方法建模解决，对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长，即为增函数，一次项系数为负时，为减函数。二、 拟合法 例2、某地西红柿从2月1日起上市，通过市场调查得到西红柿种植成本（单位：元/kg）与上市时间（单位：天）的数据如下表：时间/50110250种植成本/150108150根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系：（1）；（2）；（3）；（4）利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上

4、市天数及最低种植成本。 解：（1）由提供的数据知道，描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数； ； 中的任意一个进行描述时都应有，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合，所以，选取二次函数进行描述。以表格所提供的三组数据分别代入，得到解上述方程组得所以，描述西红柿种植成本与上市时间的变化关系的函数为。（2）当天时，西红柿种植成本最低为（元/kg）。点评：本题求解的关键是利用表格中的数据，选择正确的函数模型进行拟合。三、 图象法 例3、甲商店某种商品4月份(30天,4月1日为第一天)的销售价格(元)与时间(天)函数关系如图(一)所示,该商品日销售量(件)与时间(天)函数关系如图(二)所示。写出图(一)表示的销售价格与时间的函数关系式,写出图(二)表示的日销售量与时间的函数关系式,及日销售金额(元)与时间的函数关系.乙商店销售同一种商品,在4月份采用另一种销售策略,日销售金额(元)与时间(天)之间的函数关系为,比较4月份每天两商店销售金额的大小.解：(1)设价格函数是,过点（0，15）（30，30）则 销售量函数，过点则 则 (2) 即前11天甲商店销