函数的凸性与曲线的拐点-文档资料

1、12.10 函数的凸性与曲线的拐点函数的凸性与曲线的拐点问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?一、一、函数函数凸性的定义凸性的定义2xyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方xyo1x2x)(xfy 下凸下凸上凸上凸3点间的弧段，总位于连接这两点的弦之上，则称点间的弧段，总位于连接这两点的弦之上，则称设设f(x)在区间在区间a,b上连续，若曲线上连续，若曲线 y=f(x)上的任意上的任意两点间的弧段两点间的弧段,总是位于连接这两点的弦之下总是位于连接这两点的弦之下,

2、则称则称函数函数 f(x)在在(a,b)内为内为下凸下凸；若曲线；若曲线 y=f(x)上任意两上任意两函数函数 f(x)在在(a,b)内为内为上凸上凸; 函数函数下凸或上凸下凸或上凸的性质的性质统称为函数的统称为函数的凸性凸性. 定义：定义：4 12,fxC a bx xa b 定定义义设设若若对对 ,;fxa b则则称称在在内内为为下下凸凸 11221122,f t xt xt fxt fx 若若1212,0,1,t ttt 且且有有 12,xx 5 11221122,f t xt xt f xt f x 若若 ,fxa b则则称称在在内内为为上上凸凸. .凸凸6 121222f xf xx

3、xf 与与有时也用这两个不等式来定义有时也用这两个不等式来定义函数上凸、下凸函数上凸、下凸. 1212.22fxfxxxf 1212tt 在在不不等等式式中中若若令令 ，则则分分别别有有下凸下凸上凸上凸上凸上凸7 12,nf xC a bx xxa b 定定理理 设设且且为为下下凸凸函函数数若若对对， , , 11nniiiiiift xt fx 121,0,1,nniit ttt 且且有有琴生不等式琴生不等式12,nx xx其其中中不不全全相相等等。 121121nnntttnfxfxxxxfnn 特特别别地地，当当时时，有有8二、函数凸性的判定二、函数凸性的判定( )fx 递增递增xyo)

4、(xfy abABxyo)(xfy abBA 0 xf递递减减)(xf 0 xf 内内二二阶阶可可导导，上上连连续续，在在在在设设定定理理babaxf,1 内为下凸；内为下凸；在在，则，则若若baxfxf,01 .,02内内为为上上凸凸在在，则则若若baxfxf 证明见证明见P1879例例1 1.3的凸性的凸性判断函数判断函数xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x, 0 y(,0 曲曲线线 在在为为上上凸凸的的；时，时，当当0 x, 0 y0,) 曲曲线线 在在为为下下凸凸的的；注意到注意到: .0, 0分分界界点点是是曲曲线线由由上上凸凸变变下下凸凸的的点点10三、曲线的拐点及其

5、求法三、曲线的拐点及其求法1.1.定义定义 设设 f( (x) )在点在点x0 0附近连续，若附近连续，若 f( (x) )在点在点x0 0 的左右两侧凸性相反，则称曲线上的点的左右两侧凸性相反，则称曲线上的点(x0, f(x0)为为曲线曲线 y=f(x)的拐点的拐点.注意注意:(1)拐点拐点(x0, f(x0)在曲线上在曲线上, 必满足曲线方程；必满足曲线方程；(2)拐点拐点(x0, f(x0)是两个坐标是两个坐标, 与与 f(x)的极值点不同的极值点不同.xyoABC拐点拐点(x0, f(x0)112.2.拐点的求法拐点的求法 0000,fxxf xf x 注注只只是是为为的的拐拐点点的的

6、必必要要条条件件而而不不是是充充分分条条件件. . 400,0,00,0.yxyy 例例有有但但却却不不是是曲曲线线的的拐拐点点数数, ,则点则点是拐点的必要条件是是拐点的必要条件是 00 xf 00,xfx定理定理2 2 如果如果)(xf在在内存在二阶导内存在二阶导 00, xx12(定定理理3 3拐拐点点的的充充分分条条件件) ) 0001,;xfxxfxyfx 若若在在点点的的两两侧侧附附近近异异号号 则则点点为为曲曲线线的的拐拐点点 0002,xfxxfxyfx 若若在在点点的的两两侧侧附附近近保保持持同同号号 则则点点不不是是曲曲线线的的拐拐点点. .)()(,(,)(000的的拐拐

7、点点是是连连续续曲曲线线也也可可能能点点不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意: : . 0,00 xfbaxbaxf，内内二二阶阶可可导导，在在设设13例例2 2.3的的拐拐点点求求曲曲线线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均均不不存存在在是是不不可可导导点点yyx , 0,)0 ,( y内内但但在在;0 ,(上上是是下下凸凸的的曲曲线线在在 , 0,), 0( y内内在在.), 0上上是是上上凸凸的的曲曲线线在在 .)0 , 0(3的的拐拐点点是是曲曲线线点点xy 14综上所述可归纳出综上所述可归纳出求曲线求曲线 拐点的步骤：拐点的步骤： 1;f xfx

8、求求出出函函数数的的二二阶阶导导数数 20;fx 求求解解的的根根 3;fx 求求出出不不存存在在的的点点 423将和中求出的点分别讨论它们将和中求出的点分别讨论它们 00,.xfx则则是是拐拐点点 否否则则不不是是拐拐点点 fx 左右两侧附近的符号,左右两侧附近的符号, fx 如如果果的的符符号号相相异异15例例3 3 .14334凸凸区区间间下下的的拐拐点点及及上上求求曲曲线线 xxy解解),( D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00下凸下凸上凸上凸下凸下凸拐点拐点拐点拐点)1

9、 , 0()2711,32(1622(,0, 0, ,).33 下下凸凸上上凸凸下下凸凸1700000( ),()0,()0 ,(,()( ).f xxfxfxxf xyf x 设设函函数数在在的的邻邻域域内内三三阶阶可可导导 且且而而那那末末是是曲曲线线的的拐拐点点例例4 4.2 , 0cossin内内的的拐拐点点在在求求曲曲线线 xxy 解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( 18 231.yxx 例

10、例5 5求求函函数数的的上上 下下 凸凸区区间间及及拐拐点点解解 函数的定义域为（函数的定义域为（-，+）. 3432 5152,.39xxyyxx 10.00.5yxxy 令得当时不存在令得当时不存在下凸非拐点非拐点下凸拐点上凸+ +不存在不存在+ +0 0- -0 0yxy 1,5 15 1,05 0,19 1,00,5 1 1是是函函数数的的上上凸凸区区间间, , - -与与5 5是是函函数数的的下下凸凸区区间间. . 3161,;55250,0Ao 是是曲曲线线的的拐拐点点不不是是曲曲线线的的拐拐点点. .如如下下图图所所示示25xyo拐点拐点15 202-11 函函 数数 作作 图图

11、一、渐近线一、渐近线定义定义: :.一条渐近线一条渐近线,的距离的距离到某定直线到某定直线如果点如果点移向无穷远点时移向无穷远点时LP)(,的的就称为曲线就称为曲线那么直线那么直线趋向于零趋向于零xfyL )(沿着曲线沿着曲线上的一动点上的一动点当曲线当曲线Pxfy 1.1.铅直渐近线铅直渐近线)(轴的渐近线轴的渐近线垂直于垂直于 x.)()(lim)(lim000的一条铅直渐近线的一条铅直渐近线就是就是那么那么或或如果如果xfyxxxfxfxxxx 21例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :. 3, 2 xx222.2.水平渐近线水平渐近线)(轴的渐近线轴的渐

12、近线平行于平行于 x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy233.3.斜渐近线斜渐近线.)(),(0)()(lim0)()(lim的的一一条条斜斜渐渐近近线线就就是是那那么么为为常常数数或或如如果果xfybaxybabaxxfbaxxfxx 其中：其中： ( )limlimxxxxf xaxbfxax 或或或或记住公式记住公式24直线直线 y=a x+b是曲线是曲线 y=f(x)当当x时的时的 lim0.xxfxaxb或

13、或证证 由函数的极限与无穷小的关系可得：由函数的极限与无穷小的关系可得： ,lim0.xfxaxbxx 其其中中 limlim,xxfxbxfxaxx 因因此此 limlimxxbfxaxxfxax 同理可证同理可证x-时的情况时的情况.渐近线的充要条件是：渐近线的充要条件是：25注意注意:;)(lim)1(不不存存在在如如果果xxfx ,)(lim,)(lim)2(不不存存在在但但存存在在axxfaxxfxx .)(不存在斜渐近线不存在斜渐近线可以断定可以断定xfy 例例1 1.1)3)(2(2)(的的渐渐近近线线求求 xxxxf解解)., 1()1 ,(:D xfx1lim1 x有有铅铅直

14、直渐渐近近线线 21322limlim xxxxxxfxxa 26 xxxxaxxfxx21322limlimbxxx 41124lim42 xy有斜渐近线有斜渐近线27二、图形描绘的步骤二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形的步骤：利用函数特性描绘函数图形的步骤：域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间 .偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域,对函数进行奇对函数进行

15、奇1.和二阶导数和二阶导数求出函数的一阶导数求出函数的一阶导数 fx ;fx 求出方程求出方程在函数定义在函数定义2. 00fxfx 和和28号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综凸性与拐点凸性与拐点 （ 可列表进行讨论）；可列表进行讨论）； 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线4.合前四步讨论的结果画出函数的图形合前四步讨论的结果画出函数的图形 . 3. 确定在这些部分区间内确定在这些部分区间内的符的符 fxfx 和和5.以及其他变

16、化趋势以及其他变化趋势;描出与方程描出与方程的根对的根对 00fxfx 和和应的应的29三、作图举例三、作图举例例例2 2.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解 1:0,Dx 求求定定义义域域非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性. 34(2)2( ),xfxx .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得得驻驻点点, 0)( xf令令3.x 得点得点 3 列列表表以以确确定定单单调调性性, ,极极值值, ,凸凸性性, ,拐拐点点. .30 x)3,( ), 0( )2,3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值点极值点间间断断点点3 )926, 3( (4) 渐近线渐近线2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y得得水水平平渐渐近近线线2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x得铅直渐近线得铅直渐近线 34(2)2( ),xfxx .)3(8)(4xxxf 31（5）补充点并作图）补充点并作图-2-2x)3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极值极值点点间间断断点点3 )926, 3( .2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf32例例3 3.21)(22的图形