高一数学期末复习专题第四讲（平面向量）-

1、成都七中（林荫校区）高2015级上学期期末复习专题五 命题人：江海兵 审题人：廖学军知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行单位向量：模为1个单位长度的向量 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设，则+=（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；，但这时必须“首尾相连”3、向量的减法： 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差。作图法：可以表示

2、为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）4、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）； （）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=6、平面向量基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示 分别为与轴，轴正方向相同的单位向量1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。 2平面向量的坐标运算：（1） 若，则（2） 若，则（

3、3）若=(x,y)，则=(x, y) （4）若，则（4）若，则 ，若，则三平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=·cos叫做与的数量积（或内积） 规定2向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： ·等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：5乘法公式成立： ； 6平面向量数量积的运算律：交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则·=

4、8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作10两个非零向量垂直的充要条件：·O平面向量数量积的性质11、向量的三角不等关系 注意取等条件（共线）1、 教材例题选讲1、 点在线段上，且则 2、 已知任意两个不共线的向量，作，判断三点是否共线。3、 判断是否共线4、 向量成什么位置关系时，5、 已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，试求顶点的坐标 6、 设点是线段上的一点，的坐标分别是（1）

5、当是线段的中点时，求点的坐标；(2)当是线段的一个三等分点时，求点的坐标.7、 已知点及，求点的坐标.8、 已知，且不共线，为 时，与互相垂直？9、设，求之间的夹角 10、 已知，求之间的夹角 11、 求之间的夹角 12、 ，求的坐标 13、 已知求与垂直的单位向量的坐标 14、 如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 （ ）15、 对于任意向量，下列命题中正确的是 （ ） 16、 在四边形中，若，则（ ）18、 设是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是 （ ）19、教材复习参考题A组2，5，8，9，10，11，12，13，B组1，2，3，4，5，6，7，8平面几何与向量，函数与向量专题题型一：函数（三角函数）向量综合题题型二：同起点终点共线三向量关系例2：设是平面中的四个点，证明：若，则三点共线，反之亦然.变式练习1：设一直线上三点满足是空间内的一点，则可用表示为（ ）题型三：利用共线向量性质求线段比例例3.如图所示，在中，点是的中点，点在边上，且与相交于点，