131函数的单调性与最值（1）

1、1.3.1 函数的基本性质函数的基本性质单调性单调性观察图象，说出下列观察图象，说出下列函数的性质：(上升或下降)oxyoxyoxyoxyoxyx1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述来描述上升上升的图象？的图象？Oxyyf(x)x2x1f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2如何用如何用x与与f(x)来描述来描述下降下降的图象？的图象？Oxyyf(x)x2x1f(x1)f(x2)函数函数f (x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函数.函数函数f (x)在给定在给定区间上为减函数区间上为减函数.x1x2 f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给

2、定区间上任取x1, x22.2.如果对于定义域如果对于定义域I I内的某个区间上的任意内的某个区间上的任意两个自变量的值两个自变量的值x x1 1, , x x2 2，当，当x x1 1x x2 2时，都有时，都有f f( (x x1 1) )f f( (x x2 2) )，那么就说，那么就说f f( (x x) )在这个区间上在这个区间上是减函数是减函数. .1.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间上的任意内的某个区间上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1, x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是增函数增函数.

3、一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间在区间I内内在区间在区间I内内图图象象 y=f(x) y=f(x)图象图象特征特征从左至右，图象上升从左至右，图象上升从左至右，图象下降从左至右，图象下降数量数量特征特征y随随x的增大而增大的增大而增大当当x1x2时，时， f(x1) f(x2) 如果函数如果函数y y= =f f( (x x) )在区间在区间D D上是增函数上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间上具或减函数，那么就说函数在这一区间上具有有( (

4、严格的严格的) )单调性，区间区间D D 叫做函数叫做函数f f( (x x) )的的单调区间。单调性与单调区间：单调性与单调区间：函数是增函数还是减函数，函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增数，而在另一些区间上不是增函数函数;函数的单调区间是其定义域的子集。函数的单调区间是其定义域的子集。注意：注意：例例1：下图是定义在区间：下图是定义在区间-5，5上的函数上的函数y=f(x)， 根据图像说出函数的单调区间以及每一单调根据图像说出函数的单调区间以及每一单调 区间上，它是增函

5、数还是减函数？区间上，它是增函数还是减函数？解：函数解：函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中其中y=f(x)在区间在区间-5,-2), 1,3)是减函数，是减函数， 在区间在区间-2,1), 3,5 上是增函数。上是增函数。例：求证：函数 在区间（0,1）上单调递减。3()fxx例2 物理学中的玻意耳定律p= (k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强P将增大.试用函数的单调性证明之.Vk三判断函数单调性的方法步骤三判断函数单调性的方法步骤 利用利用定义定义证明函数证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单调性的

6、上的单调性的一般步骤：一般步骤：1 取值取值： 设任意两个实数设任意两个实数x1、x2有，有， x1，x2D，且且x1x2；2 作差作差：f(x1)f(x2)；3 变形变形：通常是因式分解和配方；：通常是因式分解和配方；4 定号定号：即判断差：即判断差f(x1)f(x2)的正负；的正负；5 下结论下结论：即指出函数：即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的上的 单调性单调性补例 求下列函数的单调区间.3.f(x)=1x1.f(x)=-x+22.f(x)= x2+4x-5 yoxoyxyox在(-,+)上是减函数在(-,0)和(0,+)上是减函数在 上是增函数在 上是减函数-2ba，,2

7、bayoxyoxyox在(-,+)上是增函数在(-,0)和(0,+)上是增函数(0)ykx b k(0)y kx bk 1yx1yx2(0)yaxbxca2(0)yaxbxca在 上是增函数在 上是减函数-2ba，,2ba补例 讨论函数 的单调性.), 0(,1)(xxxxf解:设任意的x1,x2(0,+),且x1x2,则f(x1)-f(x2)11)()11()(11212121212211xxxxxxxxxxxx1.3.1 函数的基本性质函数的基本性质最大和最小值最大和最小值观察图像地共同特征观察图像地共同特征oxyAoxyCoxyB 在函数图像上人去一点在函数图像上人去一点P P（x x，y y），设点），设点C C的坐标为（的坐标为（x x0 0，y y0 0），如何用数学符号解释：函），如何用数学符号解释：函数的图像有最高点数的图像有最高点C C？对于定义域内任意x都有 ，即，也就是对于函数 的定义域内任意x，均有成立，判断题 已知 ，因为，所以函数是增函数 若函数满足，则函数在区间上为增函数 若函数在区间和上均为增