杆在扭转时的变形 · 刚度条件

1、1.1.圆轴扭转时的变形是用相对扭转角圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 来度量的来度量的 3-5 杆在扭转时的变形杆在扭转时的变形 刚度条件刚度条件(Torsional deformation of circular bars & stiffness condition)一、扭转变形一、扭转变形 (Torsional deformation)其中其中 d 代表相距为代表相距为 dx 的两横截面间的相对扭转角的两横截面间的相对扭转角.长为长为 l 的一段杆两端面间的相对扭转角的一段杆两端面间的相对扭转角 可按下式计算可按下式计算pddGITx xGITllddp 2.2.单位长度扭转角单位

2、长度扭转角(Angle of twist per unit length) 扭转角扭转角GIp 称作抗扭刚度称作抗扭刚度 pTlGI () prad mTlGI 轴的扭转刚度校核是计算的轴的工作时扭转变形轴的扭转刚度校核是计算的轴的工作时扭转变形量，是用每米轴长的扭角度量的。轴的扭转变形要量，是用每米轴长的扭角度量的。轴的扭转变形要影响机器的性能和工作精度，如内燃机凸轮轴的扭影响机器的性能和工作精度，如内燃机凸轮轴的扭转角过大，会影响气门的正确启闭时间；龙门式起转角过大，会影响气门的正确启闭时间；龙门式起重机运动机构传动轴的扭转角会影响驱动轮的同步重机运动机构传动轴的扭转角会影响驱动轮的同步性

3、；对有发生扭转振动危险的轴以及操纵系统中的性；对有发生扭转振动危险的轴以及操纵系统中的轴，都需要有较大的扭转刚度。轴，都需要有较大的扭转刚度。3.3.刚度条件刚度条件（Stiffness condition)max ()maxmaxprad mTGI 称作许可单位长度扭转角称作许可单位长度扭转角(Allowable angle of twist per unit length) 对于一般传动轴，可取对于一般传动轴，可取 0.50.5 1 1 o o/m/m ；对于；对于精密传动轴，可取精密传动轴，可取 0.250.25 0.50.5 o o/m/m；对于精度要；对于精度要求不高的轴，求不高的轴

4、， 可大于可大于1 1 o o/m/m 。例题例题5 图示等直杆图示等直杆, 已知直径已知直径d = 40mm, a = 400mm, 材料的剪切材料的剪切弹性模量弹性模量G = 80GPa，DB =1. 试求：试求：（1） AD杆的最大切应力杆的最大切应力;（2）扭转角）扭转角 CAaa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me解：画扭矩图解：画扭矩图计算外力偶矩计算外力偶矩Me DB= CB+ DC =1Tmax= 3Me1180)2(pepe GIaMGIaM（1）AD杆的最大切应力杆的最大切应力MPa7 .69tmaxmax WT mkN292e M（2）扭转角）扭转角 CA33.

5、 2180)23(pepe GIaMGIaMCBBACA aa2aMe2Me3MeABCD+Me2Me3Me例题例题6 某汽车的主传动轴某汽车的主传动轴 是用是用 40 号钢的电焊钢管制成号钢的电焊钢管制成, 钢管钢管外径外径 D = 76mm, 壁厚壁厚d d 2.52.5mm, 轴传递的转矩轴传递的转矩 Me=1.98kNm,材料的许用切应力材料的许用切应力 = 100MPa, 切变模量为切变模量为 G = 80GPa,轴的许可扭角轴的许可扭角 = 2/m . 试校核轴的强度和刚度试校核轴的强度和刚度.Ddd dMeMe解：轴的扭矩等于轴传递的转矩解：轴的扭矩等于轴传递的转矩轴的内、外径之

6、比轴的内、外径之比由强度条件由强度条件 由刚度条件由刚度条件.20 934d d dDDD34ptmm1006. 22/ DIWMPa1 .96tmaxmax WT().4454p17 83 10 mm32DI ./ maxmaxp1801 81mTGImkN98. 1e MTDdd dMeMe将空心轴改为同一材料的实心轴将空心轴改为同一材料的实心轴, 仍使仍使 max= 96.1MPad = 47.2mm实心轴的直径为实心轴的直径为两轴材料、长度均相同两轴材料、长度均相同, 故两轴重量比等于两轴的横截面积比故两轴重量比等于两轴的横截面积比，在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻在最大切

7、应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻, 即节省材料即节省材料.MPa1 .9616/3maxmax dT 其截面面积为其截面面积为22mm17494 dA实实空心轴的截面面积为空心轴的截面面积为222mm5774)7176( 空空A329. 0174957712 AA例题例题7 两端固定的圆截面杆两端固定的圆截面杆AB, 在截面在截面C 处受一个扭转力偶矩处受一个扭转力偶矩 Me 的作用的作用, 如图所示如图所示.已知杆的抗扭刚度已知杆的抗扭刚度 GIp, 试求杆两端的支反试求杆两端的支反力偶矩力偶矩.CMeabABl解解:去掉约束去掉约束,代之以约束反力偶矩代之以约束反力偶矩 这是一次超静定

8、问题这是一次超静定问题,须建立一个补充方程须建立一个补充方程 ACBMeMeAMeB C 截面相对于两固定端截面相对于两固定端A和和B的相对扭转角相等的相对扭转角相等. .杆的变形相容条件是杆的变形相容条件是00eee MMMMBAxCMeabABlCMeabABl（1 1）变形几何方程）变形几何方程（2 2）由物理关系建立补充方程）由物理关系建立补充方程解得解得BCAC 1ppACT aM aGIGI e eA APeP2GIbMGIbTBBC baMMABee 0eee MMMBAlMaMlMbMBA/ee ACBMeMeAMeBAC= BC例题例题8 图图 示一长为示一长为 l 的组合杆

9、的组合杆, 由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆组由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆组成成, 内外两杆均在线弹性范围内工作内外两杆均在线弹性范围内工作, 其抗扭刚度其抗扭刚度 GaIpa 、GbIpb . 当此组当此组合杆的两端各自固定在刚性板上合杆的两端各自固定在刚性板上, 并在刚性板处受一对矩为并在刚性板处受一对矩为 Me 的扭转的扭转力偶的作用试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩力偶的作用试求分别作用于内、外杆上的扭转偶矩.MeMelAB解：列平衡方程解：列平衡方程这是一次超静定问题这是一次超静定问题. 变形相容条件是内、外杆变形相容条件是内、外杆的扭转变形应相同的扭转变形应相同.变形几何方程是变形几何方程是e0 xabMMMMBA 物理关系是物理关系是ppabABaabbM lM lG IG I MeMeMelABMaMb代入变形几何方程代入变形几何方程,得补充方程得补充方程ppaaabbbG IMMG IpppaaaaabbG IMG IG IpppbbbaabbG IMG IG IMbMaMeBA MeMelABSUMMARY Theorem of com