材料力学第3章-扭转

1、第三章第三章 扭扭 转转汽车传动轴汽车传动轴3-1 3-1 概概 述述 圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动；圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动； 杆表面上的纵向线变成螺旋线。杆表面上的纵向线变成螺旋线。受力特点受力特点：圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用垂直于杆的轴线的外力偶作用变形特点变形特点：Me Me 3-2 3-2 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图、传动轴上外力偶矩的计算、传动轴上外力偶矩的计算转速转速：n(转转/分分)输入功率输入功率：P(kW)Me1分钟输入功：分钟输入功：PPW6

2、00001000601分钟分钟me作功作功eeenMnMMW2) 12(WW mN9550nPMe主动轮主动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向上的外力偶矩转向与传动轴的转向相同相同从动轮从动轮上的外力偶矩转向与传动轴的转向上的外力偶矩转向与传动轴的转向相反相反。Me1 Me2 Me3 n从动轮主动轮从动轮、扭矩及扭矩图、扭矩及扭矩图 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩扭矩，用符号用符号T表示。表示。 扭矩大小可利用扭矩大小可利用截面法截面法来确定。来确定。 仿照轴力图的做法，可作仿照轴力图的做法，可作扭矩图扭矩图，表明沿杆轴，表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化

3、情况。线各横截面上扭矩的变化情况。扭矩扭矩T的的正负正负规定规定右手螺旋法则右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为 正正(+), (+), 反之为反之为 负负(-)(-)例例 一传动轴如图，转速一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输主动轮输入的功率入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分，三个从动轮输出的功率分别为：别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。试作轴的扭矩图。 首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩mkN9 .15mN)3005001055. 9(31Mm

4、kN78. 4mN)1001501055. 9(332 MMmkN37. 6mN)3002001055. 9(34M解：解：221133M1 M2 M3 M4 ABCD分别计算各段的扭矩分别计算各段的扭矩mkN78. 421MTm9.56kN)(322MMTmkN37. 643 MT221133M1 M2 M3 M4 ABCDT111xM2AT2AM2 BM3 22xT333DM4 x扭矩图扭矩图Tmax = 9.56 kNm 在在BC段内段内M1 M2 M3 M4 ABCD4.789.566.37T 图(kNm)3-3 3-3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转通常指通常指 的圆筒，可假定其的圆筒

5、，可假定其应力应力沿壁厚方向均匀沿壁厚方向均匀分布分布100r内力偶矩内力偶矩扭矩扭矩TeMT 薄壁圆筒薄壁圆筒nnMeMe lT Me nnr0圆筒两端截面之间相对转过圆筒两端截面之间相对转过的圆心角的圆心角 相对扭转角相对扭转角 表面正方格子倾斜的角度表面正方格子倾斜的角度直角的改变量直角的改变量 切应变切应变 tanlr即lr/ lABDCMe Me 薄壁圆筒受扭时变形情况：薄壁圆筒受扭时变形情况：ABC D B1A1D1 C1 DD1C1CMe Me 圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距不变；不变；表面变形特点及分析：表面变形特点及分

6、析：横截面在变形前后都保持为形状、大小未改横截面在变形前后都保持为形状、大小未改变的平面，变的平面，没有正应力没有正应力产生产生所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同。所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同。横截面上有与圆轴相切的横截面上有与圆轴相切的切应力切应力且沿圆筒周且沿圆筒周向向均匀分布均匀分布ABDCMe Me 1 1、横截面上、横截面上无正应力无正应力；2 2、只有与圆周相切的、只有与圆周相切的切应力切应力，且且沿圆筒周向均匀沿圆筒周向均匀分布；分布； 薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析：薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析：ABDCABC D B1A1D1 C1 DD1C1C nnMe r0

7、xt 3 3、对于薄壁圆筒，可认为、对于薄壁圆筒，可认为切切应力沿壁厚应力沿壁厚也也均匀均匀分布。分布。薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式薄壁圆筒横截面上切应力的计算公式：ATrA0dtArT0t静力学条件静力学条件因薄壁圆环横截面上各点处的因薄壁圆环横截面上各点处的切应力相等切应力相等02 rA 202 rTArArTA00dtt得得t dAnnMe r0 xr0剪切胡克定律剪切胡克定律t202 rTlr /0由前述推导可知由前述推导可知薄壁圆筒的扭转实验曲线薄壁圆筒的扭转实验曲线Me Me ABDC钢材的切变模量值约为：钢材的切变模量值约为：GPa80G时时即即ptttG这就是这就是剪切胡克

8、定律剪切胡克定律其中：其中：G材料的材料的切变模量切变模量t p剪切屈服极限剪切屈服极限3-4 3-4 等直圆杆扭转时的应力等直圆杆扭转时的应力强度条件强度条件、横截面上的应力、横截面上的应力几何方面几何方面表面变形情况表面变形情况 相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、形状、间距都未变；形状、间距都未变；纵向线倾斜了同一个角度纵向线倾斜了同一个角度 ，表面上所有矩形均变，表面上所有矩形均变成平行四边形。成平行四边形。(a)Me Me (b) 杆的横截面上杆的横截面上只有只有垂直于半径的垂直于半径的切应力切应力，没，没有正应力产生。有正应力产生

9、。平面假设平面假设 等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆的轴线转动。样绕杆的轴线转动。推论：推论：(a)Me Me (b)横截面上任一点处的切应力随点的位置的变化规律横截面上任一点处的切应力随点的位置的变化规律abdxabTT 变形几何关系变形几何关系xdd MeMedxO2d 物理关系物理关系(剪切虎克定律剪切虎克定律)xGGddttGOr 静力学关系静力学关系p2ddddIxGdAxGdATAAtttdAdA称为极惯性矩极惯性矩其中 2pAdAIxdd相对扭转角沿杆长的变化率，对于给相对扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面为常量定的横截面为常

10、量pddGITx由上式得由上式得ppITGITGtxGddtpddGITx剪切胡克定律剪切胡克定律tGxGddt物理方面物理方面xdd静力学方面静力学方面AdtTATAxGAddd2AAId2ppddGITx称为横截面称为横截面的的极惯性矩极惯性矩ttdA tdA rO令令得得T：点到圆心的距离：横截面上的扭矩tTIT pppmaxWTITRtRIWpp 圆轴扭转圆轴扭转切应力切应力公式公式1)横截面上任意点：横截面上任意点：2)横截面边缘点：横截面边缘点：其中：其中：抗扭截抗扭截面模量面模量324pdI163pdW)1 (32324444pDdDI)1 (1643pDW空心圆空心圆实心圆实心

11、圆tmaxOdtT圆截面的极惯性矩圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数和扭转截面系数WpAAId2p162/3ppddIW)d2(202d324dd2dA2/04)4(2d实心圆截面：实心圆截面：几何性质几何性质Odd223pd2DdI4344pp116162/DDdDDIW空心圆截面：空心圆截面：d2dA4432dD 44132DDdDdOd注意：对于空心圆截面注意：对于空心圆截面33p16dDW44p32dDIDdOd、强度条件、强度条件maxtt等直圆轴等直圆轴pmaxtWT材料的许用切应力材料的许用切应力tmax例例 ：图示阶梯状圆轴，：图示阶梯状圆轴，AB段直径段直径 d1=120mm

12、，BC段直径段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩。扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的许用切应材料的许用切应力力 t = 8 0 M P a ， 试 校 核 该 轴 的 强 度 。， 试 校 核 该 轴 的 强 度 。解：解： 1、求内力，作出轴的扭矩图、求内力，作出轴的扭矩图2214T图（kNm）MA MBMC ACBBC段段MPa3 .71mm10016mmN1014362p2max, 2WTtAB段段1p1max, 1WTt2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度MPa8 .64mm12016mmN1

13、02236MPa80t即该轴满足强度条件。即该轴满足强度条件。2214T图（kNm）（补（补）例例： 某汽车主传动轴钢管外径某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁，壁厚厚t=2.5mm，传递扭矩，传递扭矩T=1.98kNm，t t=100MPa，（1）试校核轴的强度。（）试校核轴的强度。（2）若换为实心轴，在）若换为实心轴，在同同样强度下样强度下其直径为何？二者重量比？其直径为何？二者重量比？ 33pp4444pmm103 .202/mm101 .77)1 (32DIWDIMPa5 .97PttWTmaxmax解解：（：（1）计算截面参数：计算截面参数： 由强度条件：由强度条件：故轴的强度满足

14、要求。故轴的强度满足要求。 可见：同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴可见：同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故的三分之一，故空心空心轴较轴较实心实心轴合理轴合理。 MPa5 .9716/1098. 133pdWTmaxmaxt31334. 044)2(222dtDDAA实空MPa5 .97maxt（2）若将空心轴改成实心轴，仍使）若将空心轴改成实心轴，仍使 则：则：由上式解出：由上式解出：d=46.9mm。空心轴与实心空心轴与实心轴的截面面积轴的截面面积比比(重量比重量比)为：为： 3-5 等直圆轴扭转时的变形等直圆轴扭转时的变形刚度条件刚度条件、扭转时的变形、扭转时的变形 两

15、个横截面的两个横截面的相对扭转角相对扭转角扭转角沿杆长的变化率扭转角沿杆长的变化率pddGITxxGITddp相距相距d x 的微段两端截面间的微段两端截面间相对扭转角为相对扭转角为Me Me dDTTO1O2ababdxDA等直圆杆仅两端截面受外力偶矩等直圆杆仅两端截面受外力偶矩 Me 作用时作用时pGITl称为等直圆杆的称为等直圆杆的扭转刚扭转刚度度相距相距l 的两横截面间相对扭转角为的两横截面间相对扭转角为llxGIT0pddMe Me peGIlM(单位：单位：rad)例例 图示钢制实心圆截面轴，已知：图示钢制实心圆截面轴，已知： M1=1592Nm, M2=955 Nm，M3=637

16、 Nm， d =70mm， lAB=300mm，lAC=500mm，钢的切变模量，钢的切变模量G=80GPa。求横截面。求横截面C相相对于对于B的扭转角的扭转角CB。解：解： 1、 先用截面法求各段轴的扭矩：先用截面法求各段轴的扭矩：mN9551TmN6372TBA段段AC段段M1M3 BACM2 dlABlACP2GIlTACCAp1GIlTABAB2、 各段两端相对扭转角：各段两端相对扭转角：433mm7032MPa1080mm300mmN10955rad1052. 1343370mm32MPa1080mm500mmN10637rad1069. 13CAABM1M3 BACM2 dlABl

17、AC3、 横截面横截面C相对于相对于B的扭转角：的扭转角：CAABCB310)69. 1(52. 1 rad1017. 03ABCAM1M3 BACM2 dlABlAC*例例 ： 图示空心圆杆图示空心圆杆 AB，A端固定，底板端固定，底板 B为刚性为刚性杆，在其中心处焊一直径为杆，在其中心处焊一直径为d2的实心圆杆的实心圆杆CB。空心。空心杆的内、外径分别为杆的内、外径分别为 D1和和 d1，外力偶矩，外力偶矩 Me、两杆、两杆的长度的长度l1、l2 及材料的切变模量及材料的切变模量G 均为已知。试求：均为已知。试求：1、两杆横截面上的切应力分布图；、两杆横截面上的切应力分布图；2、实心杆、实

18、心杆C端的绝对扭转角端的绝对扭转角C。ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I刚性刚性板板解：解：1、分析两轴的受力、分析两轴的受力如图，求出其扭矩分别如图，求出其扭矩分别为为e1MTe2MT ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I刚性刚性板板MeMeABMeB CMe32e32e2p2max, 21616/dMdMWTt)1 (1616/ )1 (431e431e1p1max, 1tDMDMWT)1 (1632/ )1 (2/2/431e4411e1p11min, 1tDMDdMIdT2、求横截面上的切应力、求横截面上的切应力空心圆轴空心圆轴实心圆轴实心圆轴32emax, 216dMt)1

19、 (16431emax, 1tDM)1 (16431emin, 1tDM空心圆轴空心圆轴实心圆轴实心圆轴t2,maxt1,maxt1,minT1T23、计算绝对扭转角、计算绝对扭转角CBCABCp222p111GIlTGIlT422e4411e32)1 (32dGlMDGlMABCMeMeMeB CABMeMeACCBACB、刚度条件、刚度条件max等直圆杆在扭转时的刚度条件：等直圆杆在扭转时的刚度条件：180pmaxmaxGIT对于精密机器的轴对于精密机器的轴对于一般的传动轴对于一般的传动轴m/30. 015. 0常用单位：常用单位： /mm/2例例 由由45号钢制成的某空心圆截面轴，内、外

20、直径之号钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比比 = 0.5。已知材料的许用切应力。已知材料的许用切应力t = 40MPa ，切，切变模量变模量G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为。轴的横截面上最大扭矩为Tmax=9.56 kNm ，轴的许可单位长度扭转角，轴的许可单位长度扭转角 =0.3 /m 。试选择轴的直径。试选择轴的直径。解：解：1、按强度条件确定外直径、按强度条件确定外直径D34max116tTDpmaxmaxWTt43max116DTt346MPa405 . 01mmN1056. 916mm1092、由刚度条件确定所需外直径、由刚度条件确定所需外直径D44max1180)-(132GTD180pmaxmaxGIT180)1 (3244maxDGTmm5 .125m/3 . 011805 . 01GPa80mmN1056. 932446mm5 .125Dmm75.63 Dd3、确定内外直径、确定内外直径 （补）例：（补）例：传动轴的转速为n=500r/min，主动轮A 输入功率P1=400kW，从动轮C，B 分别输出功率P2=160kW，P3=240kW。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。 ( 1 ) 试 确 定 A C 段 的 直 径 d1 和 B