2016春信号27第二十五讲

1、第二十五讲 (§12.4 §12.7)2016 年 6 月 1 日“信号”课件第 1/7页电子工程系由定义建立状态方程例 12 12：人口增长的动态模型 (续) 0(n + 1) 0 1 · · · k2 k1 0(n) 1(n + 1)00 · · ·00 1(n) 2(n + 1) = 0 1 · ·.·00 2(n) . k1(n + 1) 00 · · · k20 k1(n) 无激励信号，是零输入响应 粗略模型，未考虑自然灾害、等因素由定义建立状态

2、方程例 12 12：人口增长的动态模型 将某地区人口按分组 0(n) 1(n)(n) =.k1(n)其中 i(n)(0 i < k) 表示第 n 周期的第 i 组人数，有规律i+1(n + 1) = ii(n)其中 i 1 表示第 i 组的存活率 注意 0(n + 1)从上述规律0(n + 1) = 00(n) + 11(n) + · · · + k1k1(n)其中 i 表示率由框图或流图建立状态方程例 12 11 已知流图，求状态方程和输出方程x (n) 11 E11y (n)1l1-a11x (n) 11 E1y (n)2l 12-a22解：直接看出 1

3、(n + 1) = a10 1(n) + 1 0 x1(n) 2(n + 1)0a22(n)0 1x2(n) y1(n) = 1 1 1(n) + 0 0 x1(n) y2(n)0 12(n)1 0x2(n)离散时间系统状态方程的建立离散时间系统的状态空间表示 k 个状态变量，m 个激励信号，r 个输出响应； 同连续时间系统，但用差分代替微分 状态方程k×1(n + 1) = Ak×kk×1(n) + Bk×mxm×1(n) 输出方程yr×1(n) = Cr×kk×1(n) + Dr×mxm×1

4、(n)结构示意图 (n + 1) D (n)x(n)B1 ECy (n)A提纲12.4 离散时间系统状态方程的建立由框图或流图建立状态方程 由定义建立状态方程12.5 离散时间系统状态方程的求解时域迭代法求解z 变换求解12.6 状态矢量的线性变换线性变换对 A, B, C, D 矩阵的约束关系由状态方程系统的稳定性12.7 系统的可性与可观测性可观性和可控性判别方法可控、可观和 H(s) 的关系信号第二十五讲电子工程系2016 年春季学期第二十五讲 (§12.4 §12.7)2016 年 6 月 1 日“信号”课件第 2/7页电子工程系z 变换求解 对照 z 变换时域解(

5、n) = Z 1(zI A)1z(0) + Z 1(zI A)1 B x(n)= An(0)u(n) + An1Bu(n 1) x(n)| 零输入z 解 |零状态z 解y(n) = CZ 1(zIA)1z(0)+CZ 1(zIA)1B+D(n)x(n)= CAn(0)u(n) + CAn1Bu(n 1) + D(n) x(n)| 零输入z响应 |零状态z响应 得到对应关系Anu(n) = Z 1(zI A)1zAn1u(n 1) = Z 1(zI A)1 对比连续时间系统的 L 1 (sI A)1 = eAt 类似方法可求得 H(z) = C(zI A)1B + Dz 变换求解推导步骤 状态方

6、程和输出方程(n + 1) = A(n) + Bx(n)y(n) = C(n) + Dx(n) 两侧同取 z 变换得到z(z) z(0) = A(z) + BX(z)Y(z) = C(z) + DX(z) 由 z 域状态方程解出状态变量(z) = (zI A)1z(0) + (zI A)1BX(z) 两侧同取逆 z 变换解出(n) = Z 1(zI A)1z (0) + Z 1(zI A)1 B x(n)注意和连续情况拉氏变换形式上的区别时域迭代法求解求解步骤 如果 n0 = 0，则有n1(n) = An(0)u(n) +An1iBx(i) u(n 1)i=0= An(0)u(n) + An1

7、Bu(n 1) x(n) 代入输出方程y(n) = C(n) + Dx(n)= CAn(0)u(n) + CAn1Bu(n1)+D(n) x(n)| 零输入z响应 |零状态z响应 零状态响应，得到h(n) = CAn1Bu(n 1) + D(n)定义离散状态转移矩阵 An，类似连续系统的 eAt时域迭代法求解求解步骤 由状态方程(n + 1) = A(n) + Bx(n)和给定 (n0) 可依次写出(n0 + 1) = A(n0) + Bx(n0)(n0 + 2) = A2(n0) + ABx(n0) + Bx(n0 + 1)(n0 + 3) = A3(n0) + A2Bx(n0) + ABx

8、(n0 + 1) + Bx(n0 + 2). 归纳得到n1(n) = Ann0 (n0) + An1iBx(i)i=n0由定义建立状态方程例 12 13：简单的宏观模型 建立状态方程 1 2 3 4 0 0 0 0 1 2 3 0 0 4 (n) = 2000 0 1 (n1) + 0 x(n1)0010 0 00 0100 0 0 0 0000 1 00 R. S. Pindyck (1971，MIT) 原文中还有另外 7 个变量 (非住宅与住宅投资、商业库存变动、短期利率、长期利率、 失业率和税后可支配收入) 和 2 个激励信号 (开支和附加税收)，建立了由 28 个状态变量和 3 个激励

9、信号的状态方程；输出信号是生产总值 GNP (消费、非住宅与住宅投资、库存及开支之和)由定义建立状态方程例 12 13：简单的宏观模型 宏观模型的四个关键参数：消费C、物价水平 P 、工资水平 W 、货币供应 M 由规律得到C(n) = 1C(n1) + 2P (n1) + 3W (n1) + 4W (n2) P (n) = 1P (n1) + 2W (n1) + 3W (n2) + 4M (n1) W (n) = 1P (n3) + 2C(n1)其中 n 以季度为 以 x(n) = M (n) 做为激励信号，如何选择状态变量？(n) = C(n), P (n), W (n), W (n 1)

10、, P (n 1), P (n 2)T第二十五讲 (§12.4 §12.7)2016 年 6 月 1 日“信号”课件第 3/7页电子工程系线性变换对 A, B, C, D 矩阵的约束关系解：(续) 对应于 2 = 4 的特征矢量满足 A2 = 22(A 2I)2 = 5 + 4 1 c21 = 0 = c21 = 1 31 + 4c22c221 所以变换阵为P1 = 11 P = 1 1 1 3 1231 新的 A 矩阵和 B 矩阵A = PAP1 = 1 1 1 5 1 1 1 = 2 0 2313 13 10 4B = PB = 1 1 1 2 = 7/2 231511

11、/2线性变换对 A, B, C, D 矩阵的约束关系例 12 18 将图示系统的 A 矩阵对角化-521 p1 l (t ) 5 1 2 e1e(t )3-1(t) =3 1 (t) + 5(t)51 l2 (t ) 1 p-1解： 先求 A 的特征值|IA| = 3 + 1 = (+5)(+1)+3 = 0 = 2 = 4 + 511 = 2 对应于 1 = 2 的特征矢量满足 A1 = 11(A 1I)1 = 5 + 2 1 c11 = 0 = c11 = 1 31 + 2c12c123线性变换对 A, B, C, D 矩阵的约束关系A 矩阵的对角化 A 矩阵对角化说变换成并联结构 这种结

12、构使各状态变量之间相互不影响，可以研究系统参数对状态变量的作用对角化步骤 求 A 的特征矢量并以此构造变换矩阵 P 若 k 阶矩阵 A 有 k 个线性无关的特征向量，则 A 可化为对角阵，且对角线上元素即为特征值线性变换对 A, B, C, D 矩阵的约束关系转移函数阵在状态变量线性变换下是不变的 将A = PAP1B = PBC = CP1D = D代入 H (s) 得到H (s) = C (sI A )1B + D= CP1(sI PAP1)1PB + D= CP1(sPP1 PAP1)1PB + D= CP1 P(sI A)P11 PB + D= CP1P(sI A)1P1PB + D=

13、 C(sI A)1B + D= H(s) 相似变换不改变 A 的特征值 (系统物理本质不变)线性变换对 A, B, C, D 矩阵的约束关系讨论 A, B, C, D 的变换关系 对状态方程两侧代入 = P1，有P1 (t) = AP1(t) + Be(t) 两侧P 得到 (t) = PAP1(t) + PBe(t) = A (t) + B e(t) 再输出方程r(t) = C(t) + De(t) = CP1(t) + De(t) = C (t) + D e(t) 所以有A = PAP1B = PBC = CP1D = D线性变换对 A, B, C, D 矩阵的约束关系线性变换下状态方程的特

14、性 同一系统可选择不同的状态矢量，对应于不同的 A, B, C, D 各种状态矢量之间存在某种约束，即 A, B, C, D 之间存在某种变换关系 若对状态变量 做线性变换得到 1 = p111 + p122 + · · · + p1kk 2 = p211 + p222 + · · · + p2kk.k = pk11 + pk22 + · · · + pkkk 即 = P，若 P1 存在，则 = P1第二十五讲 (§12.4 §12.7)2016 年 6 月 1 日“信号”课件第 4/

15、7页电子工程系判别方法判别方法一：利用可和可观阵判别 数学形式上更直观和严密 由-哈密顿定理导出，若M = B AB · · · Ak1B为，即 rank(M) = k ，则系统完全可控 类似的，若CN =CA.CAk1为，即 rank(N) = k，则系统完全可观 可控性只和 A, B 有关；可观性只和 A, C 有关可观性和可控性例：全可观、全可控ce(t )1 p11 p1r (t )l&2-a l2l&1-b l1 在有限的时间内，e(t) 不能将 2 从起始状态引导到零状态， 所以系统全可控ce(t )11 p1 p1r (t )l&am

16、p;2-a l2l&1-b l1 2 与输出量 r(t) 无任何因果关系，不能根据 r(t) 确定 2的状态，所以系统全可观可观性和可控性例 12 22图示 iL(t) 和 vC(t) 的性质L+iL (t )+1 p i (t )R1Rr (t )1 LLC 2- R Le (t )+ -e(t )1r (t )vC (t )1 pR3R4vC (t )- -1 RC 若 R1 = R2 = R3 = R4 = R，电桥平衡后，有 d iL(t) = R/L0 iL(t) + 1/L e(t)dt vC(t)01/RCvC(t)0r(t) = 0 1 iL(t) vC(t) iL(t

17、) 不可观；vC(t) 不可控可观性和可控性例 12 22图示 iL(t) 和 vC(t) 的性质L 已知 R = R =+ i (t )+12LR3 = R4 = RR1C R2r (t ) iL(t) 不可观e (t )+ - vC(t) 不可控RvC (t )R34-可观性和可控性 可控性 (Controllability)：给定起始状态，可以找到容许的输入量 (矢量)，在有限时间内把系统的所有状态引向零状态。如果可做到这点，则称系统完全可控 可观性 (Observability)：给定输入 () 后，能在有限时间内根据系统输出唯一地确的起始状态。如果可做到这点，则称系统完全可观由状态方

18、程系统的稳定性连续时间系统的 BIBO 稳定性 系统转移函数为H(s) = C(sI A)1B + D |sI A| = 0 之根就是 H(s) 的极点 若 A 的特征值在 s 左半平面则系统稳定离散时间系统的 BIBO 稳定性 系统转移函数为H(z) = C(zI A)1B + D |zI A| = 0 之根就是 H(z) 的极点 若 A 的特征值在 z 平面的圆内则系统稳定线性变换对 A, B, C, D 矩阵的约束关系解：新的状态方程和系统流图1 p1- 7 2g1 (t ) (t) = 2 0 (t)+ 7/2 e(t)e(t )-20 411/211 21 pg (t )12-4线性

19、变换的意义 去除各个状态变量之间的耦合关系-5-1 p1 g1 (t ) 1l (t )1 p1 l (t )7 2-31e(t ) 21= e(t )-23 -11 p151 p1 l2 (t )11 21 g (t ) -1l2 (t )2-1-4第二十五讲 (§12.4 §12.7)2016 年 6 月 1 日“信号”课件第 5/7页电子工程系可控、可观和 H(s) 的关系H(s) 中的极点消失现象 (续) H(s) 原有 k 个极点，有项消失 (即零极点对消) 后则极点不到 k 个 (降阶) 零极点相消部分是不可控、不可观的部分 因而“转移函数”的描述方式只反映了系

20、统中可观可控的部分， 不能反映不可观、不可控的部分 所以用转移函数描述系统是不全面的，而用状态方程和输出 方程描述系统更全面、详尽可控、可观和 H(s) 的关系H(s) 中的极点消失现象 只考虑单输入单输出情况，假设 A 已经对角化H(s) = C(sI A)1B + D s a0· · ·0 1 b 110s . a2 ·.·.·0 b2 .=c1 c2 · · · ck. . + d00· · · s akbk= c1b1 + c2b2 + · · &

21、#183; + ckbk + d s a1s a2s akk= cibi +ds aii=1 在 A 化为对角阵形式后，如果 bi 或 ci 两者之一为零，则对应项消失，即极点消失判别方法信号流图和规范形式后矩阵的对应关系15 8- 7 4 1 p1 p1 p1 l3 -1 l3-1 l21 l1e(t ) 111 p-2 3 2 1 r (t )l&l-211 p1 8 l&5 -3 l5é-1 1 0 0 0 ùé0ùê 0 -1 1 0 0 úê0úêúê 

22、50;A = ê 0 0 -1 0 0 úB = ê1ê 0 0 0 -2 0 úê úêúê1úêë 0 0 0 0 -3ûë1ûC = é3 - 7 15 -2 1ùú24 88û判别方法判别方法二：A 矩阵规范化后判别 (续) 若有重根，则将 A 化为约当阵规范形式后再做判定 若 B 与每个约当块最后一行相应的那些行不含零元素，则完全可控 若 C 与每个约当块第一列相应的那些列不含零元素，则

23、完全可观判别方法判别方法二：A 矩阵规范化后判别 A 矩阵对角化判别 (物理概念清楚) 在 A 对角化形式中，若 B 不含零元素，则完全可控；若 C不含零元素，则完全可观例1 p 1 0 0 0 l1(t) =0 1 0 (t)+ 1 e(t)-1r (t )0 0 311 pr(t) = 1 1 0(t)l2e(t )-2 2(t), 3(t) 可控，1 p1(t), 2(t) 可观l-3 3判别方法例：判别可控性A = 11 B = 1 0 10 计算 1 11 1 1 1 M = B AB =00 100 0 因为 rank(M) = 1，不，所以全可控例：判别可观性A = 01 C =

24、 1 0计算1 0 N C 1 0 1 0 = CA = 1 0 01 = 0 11 0 因为 rank(N) = 2，所以完全可观第二十五讲 (§12.4 §12.7)2016 年 6 月 1 日“信号”课件1 0 5z1第 6/7页电子工程系课程小结主要内容 建立和求解离散时间状态方程 状态矢量线性变换和 A 矩阵对角化 系统可观性和可控性的判别方法作业 习题 125, 14, 19练习与提高 练习 习题 1215, 18, 21 复习可控、可观和 H(s) 的关系解：(续) 若只考虑输入/输出关系，原系统等价于1-1x (n) -zgy (n)11-0 50 5 由公

25、式，可直接写出传递函数为Y (z)1(1 0.5z1) + (1)z1(0.5)1=X(z)1 0.5z11 0.5z1 结论：框图、流图和状态方程是对系统的全面描述；化简后 的传递函数只反映了系统中可观可控的部分 只实现可观可控的部分称为最小实现可控、可观和 H(s) 的关系解：(续) 已知系统极点 (即 A 的特征值) 为 0.5 和 1，计算特征向量， 构造变换矩阵P1 = 2 1 P = 11 1 112 得到新的状态方程和输出方程 1(n + 1) = 0.5 0 1(n) + 1 x(n)2(n + 1)012(n)2y(n) = 0.5 0 1(n) + x(n)2(n) 绘出新流图，1可控不可观，z-1有零极点对消-1g1 -0 5x (n)0 5y (n) z-12g