弹性力学-05(gai)

1、要点：要点：（1）弹性体形变势能的计算、变分法）弹性体形变势能的计算、变分法的基本思想的基本思想 最小势能原理、里兹（最小势能原理、里兹（Ritz）法、）法、（2）位移变分法）位移变分法（3）位移变分法的应用）位移变分法的应用 主要内容主要内容5-1 弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能 5-2 位移变分方程位移变分方程 5-3 位移变分法位移变分法 5-4 位移变分法的解题位移变分法的解题 引引 言言1. 弹性力学问题的微分提法及其解法：弹性力学问题的微分提法及其解法：（1）平衡微分方程）平衡微分方程0,jiijX（2）几何方程）几何方程)(21,ijjiijuu（3）物理方

2、程）物理方程ijkkijijE)1 (1（4）边界条件）边界条件jiijXn iiuu 应力边界条件；应力边界条件；位移边界条件。位移边界条件。定定解解问问题题求解方法：求解方法：（1）按位移求解）按位移求解基本方程：基本方程：（a）以位移为基本未知量）以位移为基本未知量的平衡微分方程的平衡微分方程;（2）按应力求解）按应力求解基本方程：基本方程：（a）平衡微分方程；）平衡微分方程；（b）边界条件。）边界条件。（b） 相容方程；相容方程；（c） 边界条件。边界条件。（a） 归结为求解联立的微分归结为求解联立的微分方程组；方程组；求解特点：求解特点：（b） 难以求得解析解。难以求得解析解。 从研

3、究微小单元体入手，考察其平衡、从研究微小单元体入手，考察其平衡、变形、材料性质，建立基本方程：变形、材料性质，建立基本方程：2. 弹性力学问题的变分提法及其解法：弹性力学问题的变分提法及其解法：基本思想：基本思想： 在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；将定解问题转变为求解线性方程组。将定解问题转变为求解线性方程组。弹性力学中的变分原理弹性力学中的变分原理 能量原理能量原理 直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）变分

4、方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题。值的变分问题。（变分解法也称能量法）（变分解法也称能量法）（a）以位移为基本未知量，）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。得到最小势（位）能原理等。（b）以应力为基本未知量，）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。得到最小余能原理等。（c）同时以位移、应力、应变为未知量，）同时以位移、应力、应变为未知量，得到得到 广义（约束）变分原理。广义（约束）变分原理。 位移法位移法 力力 法法 混合法混合法 有限单元法、边界元法、离散元法有限单元法、边界元法、离散元法 等数值解法的理论基础。等数值解法的理论基础。求解方法：

5、求解方法：里兹（里兹（Ritz）法，）法，伽辽金（伽辽金（Galerkin ）法，）法， 加权残值（加权残值（ 余量）法等。余量）法等。3. 弹性力学问题的数值解法：弹性力学问题的数值解法：（a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程） 有限差分法；有限差分法；基本思想：基本思想： 将导数运算近似地用差分运算代替；将导数运算近似地用差分运算代替；将定解问题转变为求解线性方程组。将定解问题转变为求解线性方程组。典型软件：典型软件：FLAC实质：实质：将变量离散。将变量离散。（b）对变分方程进行数值求解）对变分方程进行数值求解 有限单元法、边界单

6、元法、离散单元法有限单元法、边界单元法、离散单元法 等等典型软件：典型软件： ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS 等；等； 基于有限元法的分析软件；基于有限元法的分析软件；UDEC 基于离散元法的分析软件；基于离散元法的分析软件；基本思想：基本思想：将求解区域离散，将求解区域离散， 离散成有限个小区域（单元），离散成有限个小区域（单元），在小区域（单元）上假设可能解，在小区域（单元）上假设可能解，最后由能量原理最后由能量原理（变分原理）确定其最优解。（变分原理）确定其最优解。 将问题转变为求解大型的线性方程组。将问题转变为求解大型的线性方程组。5-1 5-1

7、 弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能变分法，主要是研究泛函及其极值的求解方法。变分法，主要是研究泛函及其极值的求解方法。所谓泛函，就是以函数为自变量的一类函数，简单地讲，泛函就是函数的函数。所谓泛函，就是以函数为自变量的一类函数，简单地讲，泛函就是函数的函数。函数：函数：)(xfy x 自变量；自变量；y 因变量，或称自变量因变量，或称自变量 x 的函数。的函数。泛函：泛函：)(yFU x 自变量；自变量；y 为一变函数；为一变函数；F 为函数为函数 y 的函数，的函数，称为泛函。称为泛函。例例1：P1)(xMEI)(xMM 弯矩方程弯矩方程梁的形变势能：梁的形变势能：ldx

8、EIxMU02)(21ABlx 泛函泛函)(xfF弹性体的形变势能密度，是指单位体积内的应变能，又称为弹性体的形变势能密度，是指单位体积内的应变能，又称为比能，它可分别用应力分量、应变分量及其乘积形式来表示。比能，它可分别用应力分量、应变分量及其乘积形式来表示。弹性力学变分法中所研究的泛函，就是弹性体的能量，如形弹性力学变分法中所研究的泛函，就是弹性体的能量，如形变势能、外力势能等。因此，弹性力学中的变分法，又称为变势能、外力势能等。因此，弹性力学中的变分法，又称为能量法。能量法。例例2：zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyzyz),(,),(zyxzyxyzyzxx因为因为所以，

9、所以，U 被称为形变势能泛函。被称为形变势能泛函。1. 形变势能的一般表达式形变势能的一般表达式Pxl0l单向拉伸：单向拉伸：PlOPl外力所做的功：外力所做的功：lPW21 由于在静载（缓慢加载）条件下，由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，外力功全部转化杆其它能量损失很小，外力功全部转化杆件的形变势能（变形能）件的形变势能（变形能）U：lPWU21)(21lAllAP )(21lAxx杆件的体积杆件的体积xxU211令：令： 单位体积的变形能，单位体积的变形能，称为比能。称为比能。三向应力状态：三向应力状态：一点的应力状态：一点的应力状态：xyzxyzzyx, xyzyzzyyx

10、xyxzzx三向应力状态：三向应力状态：一点的应力状态：一点的应力状态：,zyx xyzyzzyyxxyxzzx 由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序无关，只取决于最终的状态。无关，只取决于最终的状态。 假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加，假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加，此时，单元体的形变比能：此时，单元体的形变比能：zzyyxxU2121211xyxyzxzxyzyz212121xyzxyz,（a）整个弹性体的形变势能：整个弹性体的形变势能：dxdydzUU1zzyyxxU21dxdydzxyxyzxzxyz

11、yz（b）zzyyxx(21)xyxyzxzxyzyz5-1平面问题弹性体的形变比能平面问题弹性体的形变比能：)(211xyxyyyxxU平面问题弹性体的形变势能：平面问题弹性体的形变势能：yxyuxvyvxuyvxuEUdd)(21)(2)()()1 (22222外力势能：由于外力做了功，消耗了外力势能，因此，在实际位移时，弹性外力势能：由于外力做了功，消耗了外力势能，因此，在实际位移时，弹性体的外力势能为：体的外力势能为：svfufyxvfufWyxyxd)(dd)(svfufyxvfufWVyxyxd)(dd)(外力的功：外力的功：2222212)1 (2xyyxyxE2222)(21)

12、(2)()()1 (2yuxvyvxuyvxuEc5-2 5-3设：设：)(xfy 当自变量当自变量 x 有一增量：有一增量：01xxx函数函数 y 也有一增量：也有一增量：01yyy)()(01xfxfxxfy)( dy 与与 dx ，分别称为自变量，分别称为自变量 x 与与函数函数 y 的的 微分。微分。 研究自变量的增量与函数增量研究自变量的增量与函数增量的关系的关系 微分问题微分问题P1)(xMABlx)(xy)(1xyy设：设：)(xyUU 函数函数 y 有一增量：有一增量：yyy1泛函泛函 U 也有一增量：也有一增量：)()(1xyUxyUUyUdxxfdy)( 函数的增量函数的增

13、量y 、泛函的增量、泛函的增量 U 等称为变分等称为变分。 研究自变函数的增量与研究自变函数的增量与泛函的增量泛函的增量 间关系间关系 变分问题。变分问题。5-2 5-2 位移变分方程位移变分方程2. 变分概念及性质变分概念及性质 微分是变量的增量，变分是函数的增量，通常用表示，具有以下的性质：SuudSuxxuwuwud)(2. 位移变分方程位移变分方程建立：弹性体的形变势能与位移间变分关系建立：弹性体的形变势能与位移间变分关系 位移变分方程位移变分方程qP应力边界应力边界 S位移边界位移边界 Su设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。设弹性体在外力作用下，处于平衡状态。边界：边界：uSSS位

14、移场：位移场：);,(yxuu );,(yxvv 应力场：应力场：);,(yxxx);,(yxyy满足：平衡方程、几何满足：平衡方程、几何方程、物理方程方程、物理方程、边界条件。、边界条件。 称为真实解称为真实解（1）任给弹性体一微小的位移变化：）任给弹性体一微小的位移变化：vu,满足两个条件：满足两个条件：（1）不破坏平衡状态；）不破坏平衡状态；（2）不破坏约束条件，即为约束所允许。）不破坏约束条件，即为约束所允许。任给弹性体一微小的位移变化：任给弹性体一微小的位移变化：vu,满足两个条件：满足两个条件：（1）不破坏平衡状态；）不破坏平衡状态；（2）不破坏约束条件，即为）不破坏约束条件，即为

15、约束所允许。约束所允许。qP应力边界应力边界 S位移边界位移边界 Su变化后的位移状态：变化后的位移状态：, uuu, vvvvu, 称为位移的变分，或虚位移。称为位移的变分，或虚位移。（2）考察弹性体的能量变化：）考察弹性体的能量变化：由能量守恒原理：由能量守恒原理：弹性体变形势能的增加，等于外力势能的减少。弹性体变形势能的增加，等于外力势能的减少。（在没有温度改变、动能改变的情况下）（在没有温度改变、动能改变的情况下）设：设：U 表示弹性变形势能的增量；表示弹性变形势能的增量；W 表示外力在虚位移上所做的功，它在数值上等于外力表示外力在虚位移上所做的功，它在数值上等于外力势能的减少。势能的

16、减少。则有：则有：WU外力的虚功：外力的虚功：体力：体力：;,yxff面力：面力：yxff , 外力外力代入前式：代入前式：WU（5-4）表明：表明：物体形变势能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。物体形变势能的变分，等于外力在虚位移上所做的虚功。 式（式（5-4）称为位移变分方程，也称）称为位移变分方程，也称 Lagrange 变分方程。变分方程。dsvfufyxvfufUsyxAyx)(dd)(dsvfufyxvfufWsyxAyx)(dd)(3. 虚功方程虚功方程AdxdyUU1两边求变分两边求变分:dxdyUUA1dxdyUA1将将 U1 视为应变分视为应变分量的函数量的函数dxdy

17、UUUxyxyyyAxx111由格林公式由格林公式:xyxyyyxxUUU111,dxdyUAxyxyyyxx)表示：表示： 实际应力在虚应变上所做的虚功实际应力在虚应变上所做的虚功 内力的虚功内力的虚功将上式代入位移变分方程（将上式代入位移变分方程（5-4），有），有（5-5）虚功方程虚功方程：如果在虚位移发生前，弹性体处于平衡状态，则在虚位移发生过程中，如果在虚位移发生前，弹性体处于平衡状态，则在虚位移发生过程中，外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。外力在虚位移上所做的虚功，等于应力在虚应变上所做的虚功。虚功方程虚功方程 是有限单元法的理论基础，也是许多变分原理的基础。

18、是有限单元法的理论基础，也是许多变分原理的基础。svfufyxvfufyxyxyxxyxyyyxxd)(dd)(dd)(4. 最小势能原理最小势能原理 位移变分方程的一个应用位移变分方程的一个应用由位移变分方程：由位移变分方程： 由于虚位移为微小的、为约束所允许的，所以，可认为在虚位移发生由于虚位移为微小的、为约束所允许的，所以，可认为在虚位移发生过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点位置有微小变化。过程中，外力的大小和方向都不变，只是作用点位置有微小变化。 于是，有：于是，有：外力在可能位移上所做的功外力在可能位移上所做的功W，即，即代入前式，有代入前式，有0VUsvfufyxvfufU

19、yxyxd)(dd)(dsvfufyxvfufUyxyx)(dd)(0)(dd)(dsvfufyxvfufUyxyxsvfufyxvfufVyxyxd)(dd)(5-60VU其中：其中：VU 形变势能与外力势能的总和，形变势能与外力势能的总和， 称为系统的总势能称为系统的总势能 在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能的一阶变在给定的外力作用下，实际存在的位移应使系统的总势能的一阶变分为零。分为零。等价于总势能等价于总势能 U+V 取驻值。取驻值。 极值势能原理极值势能原理平衡状态：平衡状态：（1）稳定平衡状态；）稳定平衡状态；（2）不稳定平衡状态；）不稳定平衡状态；（3）随宜平衡状

20、态；）随宜平衡状态；稳定平衡稳定平衡不稳定平衡不稳定平衡随宜平衡随宜平衡02VU 势能取极小值势能取极小值02VU 势能取极大值势能取极大值02VU 不定不定： 在给定的外力作用下，满足位移边界条件在给定的外力作用下，满足位移边界条件的各组位移中，实际存在的位移，应使系统的的各组位移中，实际存在的位移，应使系统的总势能成为驻值。当系统处于稳定平衡时，总总势能成为驻值。当系统处于稳定平衡时，总势能取极小值，通常也为最小值。势能取极小值，通常也为最小值。实际存在的位实际存在的位移应满足：移应满足：（1）位移边界条件；）位移边界条件；（2）平衡方程（位移形式）；）平衡方程（位移形式）；（3）应力边界

21、条件。）应力边界条件。（1）位移边界条件；）位移边界条件；（2）位移变分方程。）位移变分方程。因而，有：因而，有： 位移变分方程位移变分方程（1）平衡方程；）平衡方程；（2）应力边界条件。）应力边界条件。（可互相导出）（可互相导出）（最小势能原理）（最小势能原理）5-3 5-3 位移变分法位移变分法1. 里兹里兹（Ritz）法法基本思想：基本思想：设定位移函数的表达形式，使其满足位移边界条件，其中含设定位移函数的表达形式，使其满足位移边界条件，其中含有若干待定常数，然后利用位移变分方程确定这些常数，即有若干待定常数，然后利用位移变分方程确定这些常数，即得位移解。得位移解。设取位移的表达式如下：

22、设取位移的表达式如下：mmmuAuu0mmmvBvv0（5-7）其中：其中：mmBA ,为互不相关的为互不相关的2m 个系数；个系数；00,vu为设定的函数，且在边界上有：为设定的函数，且在边界上有：,0uusvvs0),(yxuumm),(yxvvmm为边界上为零的设定函数为边界上为零的设定函数 显然，上述函数满足位显然，上述函数满足位移边界条件。移边界条件。此时，位移的变分此时，位移的变分vu,只能由系数只能由系数 Am、Bm的变分来实现。的变分来实现。00,vu与变分无关。与变分无关。,mmmAuu,mmmBvv（a）位移的变分：位移的变分：形变势能的变分：形变势能的变分：由式（由式（5

23、-2），可知：），可知：),(mmBAUU （b）mmmAAUUmmmBBUmmmmmBBUAAU将式（将式（a）、（）、（b）代入位移变分方程（）代入位移变分方程（5-4），有：），有：mmmmmBBUAAUmmAmymmxdxdyBvfAuf)(dsBvfAufmmymmmsx)(dsvfufyxvfufUsyxAyx)(dd)(将上式整理、移项、合并，可得：将上式整理、移项、合并，可得：0mmsmyAmymmmsmxAmxmBdsvfdxdyvfBUAdsufdxdyufAUmmBA,完全任意，且互相独立，完全任意，且互相独立，要使上式成立，则须有：要使上式成立，则须有：svfyxvfB

24、UsufyxufAUmymymmxmxmdddddd5-8（5-8） Ritz 法方程法方程或称或称 Rayleigh- Ritz 法方程法方程说明：说明：（1）由由 U 的位移表达式（的位移表达式（5-2）可知，）可知，U 是系数是系数mmBA ,的二次函数，的二次函数，因而，方程（因而，方程（5-8）为各系数的线性方程）为各系数的线性方程 组。组。mmBA ,互不相关，因而，总可以求出全部的系数。互不相关，因而，总可以求出全部的系数。（2）mmBA ,求出了系数求出了系数就可求得其它量，如位移、应力等就可求得其它量，如位移、应力等（3） 在假定位移函数时，须保证其满足全部位移边界条件。在假

25、定位移函数时，须保证其满足全部位移边界条件。svfyxvfBUsufyxufAUmymymmxmxmddddddyxyuxvyvxuyvxuEUdd)(21)(2)()()1 (22222例：例：图示薄板，宽为图示薄板，宽为 a，高度为，高度为 b，左边和下边受连，左边和下边受连杆支承，右边和上边分别受有均布压力杆支承，右边和上边分别受有均布压力 q1和和 q2 作用，不计体力。试求薄板的位移。作用，不计体力。试求薄板的位移。解：解：（1）假设位移函数）假设位移函数),(321yAxAAxu),(321yBxBByv（a）满足边界条件：满足边界条件： , 00 xu 00yv试在式（试在式（a

26、）中只取两个系数：）中只取两个系数：A1、B1 ，即，即,111xAuAuyBvBv111（b）（2）计算形变势能）计算形变势能 U将式（将式（b）代入（）代入（5-2），有），有（平面应力情形下形变势能公式）（平面应力情形下形变势能公式） abBAEU00212121dxdyBA112积分得：积分得：112121221BABAEabU（c）11-4 11-4 位移变分法的例题位移变分法的例题112121221BABAEabU（c）（3）代入）代入Ritz 法方程求解法方程求解体力体力, 0yxff, 1m有有,11dsufAUxdsvfBUy11,1qfx在右边界：在右边界：,1axudyd

27、s adyqdsufbx011;1abq,2qfy在上边界：在上边界：,1byvdxds bdyqdsvfay021;2abq于是有：于是有：,11abqAU,21abqBU将式（将式（c）代入，得）代入，得dSufdxdyufAUmxmxmdSvfdxdyvfBUmymym（11-15）,)22(121112abqBAEab,)22(122112abqABEab联立求解，得：联立求解，得：,211EqqA,121EqqB（f）代入位移表达式（代入位移表达式（b），得：），得：,21xEqquyEqqv12（g）讨论：讨论：（1）如果在位移式（如果在位移式（a）中再多取一此）中再多取一此系数如

28、：系数如：A2、B2等，但是经计算，等，但是经计算，这些系数全为零。这些系数全为零。（2）位移解（位移解（g）满足几何方程、平衡）满足几何方程、平衡方程和边界条件。方程和边界条件。表明：位移解（表明：位移解（g）为问题的精确解。）为问题的精确解。Ritz 法解题步骤：法解题步骤：位移变分法的解题思路：位移变分法的解题思路：1 1设定位移分量设定位移分量u u、v v 的表达式（一般来说，表达式为已知）；的表达式（一般来说，表达式为已知）；xvyuyvxu 、mmBUAU、2 2计算计算 ，因而求出弹性体的形变势能，因而求出弹性体的形变势能U U ，并求出，并求出 ,(,(对于简单问题，对于简单

29、问题，m m=1=1）；）；mmBUAU、3 3根据体力及边界上面力情况，求出根据体力及边界上面力情况，求出mmBUAU、4 4联立求解第联立求解第2 2、3 3步中的步中的 ，因而得到待定系数，因而得到待定系数AmAm、BmBm的具体结果，的具体结果，并将此结果代回位移分量并将此结果代回位移分量u u、v v的表达式中，得出位移分量的表达式中，得出位移分量u u、v v的解答。的解答。 例例:图示矩形薄板，宽为图示矩形薄板，宽为2 a，高度为，高度为2 b，左右两，左右两边和下边均被固定，而上边的给定位移为：边和下边均被固定，而上边的给定位移为：, 0u,122axv（h）不计体力。试求薄板

30、的位移和应力。不计体力。试求薄板的位移和应力。解解:（1）假设位移函数）假设位移函数取取 m =1, 将位移分量设为：将位移分量设为：bybyaxaxAu11221byaxv221bybyaxB11221（i）显然，可满足位移边界条件：显然，可满足位移边界条件： , 0 axu , 0 axv , 00yu , 00yv , 0byu 221axvby该问题中，无应力边界条件，体力为零，故：该问题中，无应力边界条件，体力为零，故：, 01AU01BUdxdyyuxvyvxuyvxuEUab 002222)(21)(2)()(2)1 (2bybyaxaxAu11221byaxv221bybyax

31、B11221,131321bybyaxaAxubybaxaxAyu2111221bybyaxBbyaxxv122212bybaxBbaxyv21111122122,)1 (2042)1 (351baabA)1 (216)1 (5221baB代回位移式代回位移式, 有：有：baabu)1 (2042)1 (35bybyaxax1122)1 (216)1 (522babyaxv221bybyax1122（3）求应力分量）求应力分量应用几何方程及物理方程，可求得应力为：应用几何方程及物理方程，可求得应力为：yvxuEx21ayaxaE095. 0161. 0122,31754. 02222ayaya

32、xxuyvEy21ayaxaE473. 0805. 0122,31302. 02222ayayaxyuxvExy12yuxvExy1222189. 0644. 0ayayaxaEayaxax21302. 033在在aby处，处， 相应的面力：相应的面力：221278. 1axaEfayyy33302. 0531. 0axaxaEfayxyx例例:如图所示简支梁，中点处承受有集中如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。试求的梁的挠曲线方程。 PEIABlxy解解:（1）假设位移试探函数）假设位移试探函数（必须满足位移边界条件）（必须满足位移边界条件）设位移试探函数为（取一项）：

33、设位移试探函数为（取一项）：xlawsin)0(lx 式中：式中：a 为待定常数。为待定常数。0)(, 0)0(lww（2）计算形变势能）计算形变势能 U：dxdxwdEIUl20222)(xw（ a）（ b）alEIaU342显然，式（显然，式（a）满足端点的位移边界条件）满足端点的位移边界条件:（3）代入）代入Ritz 法方程，求解法方程，求解（ c）2344alEI dSufdxdydzufmxmx2sinllPP dSufdxdydzufmxmxmAUPaUPalEI342（ d）P)(xMEIABlxy)(xwxlEIPlwsin243讨论：讨论： （1） 中点的挠度：中点的挠度：（

34、 e）,2432EIPlwlx而材料力学的结果：而材料力学的结果：,4832EIPlwlx两者比较：两者比较：式（式（a）的结果偏小）的结果偏小2%。如果取如下位移函数：如果取如下位移函数：mmxlmAwsin式中项数式中项数 m 取得越多，则求得精度就越高。取得越多，则求得精度就越高。（2）所取的位移函数必须满足位移边界条件。所取的位移函数必须满足位移边界条件。（3）位移函数选取不是唯一的，如：位移函数选取不是唯一的，如：),1 (lxlxAwEIPla432lxlxAAlxlxw1)1 (21P)(xMEIABlxy)(xw例例:如图所示简支梁，中点处承受有集中如图所示简支梁，中点处承受有集中P，试求的梁的挠曲线方程。试求的梁的挠曲线方程。 解解:（1）假设位移试探函数）假设位移试探函数lx