固体物理基础课后习题答案吴

1、1-1试证理想六方密堆结构中c/a=1.633O证：配位数12；令OA = a; OF = c22333AF =´a =a;FA23OF =a c =a12若晶胞基矢 rr互相垂直，试求晶面族a, b, c(hkl )的面间距。rrrr解：令a = ai ;b = bj; c = ck ;且V = a × b × cr则：b1r2 rr 2= b ´ c ×V=i ;arb2rb32 rrr 2= c ´ a ×V=j;br2 rr2= a ´ b ×V=kcrrr+ lb3rör那么，

2、0; h rrklG = hb1 + kb2= 2çi +j +k ÷abcèø d = 2 =1rGæ h ö2æ k ö2æ l ö2+ ç b ÷+ ç c ÷ç a ÷èøèøèø13若在体心立方晶胞的每个面中心处加上一个同类如何选取？其，试说明这种结构的基元应晶格是什么格子？解：将整个晶体看成是5个简单立方格子套构而成。格子：简单立方；基元：顶点、体心、三个相邻面心1

3、4试求面心立方结构的(111)和(110)面的面密度。解：(111)面：顶点3个，每个1/6；边上3个，每个1/2；= 1 ×3 ×3 a22a ×2a =S1112223´ 1 + 3´ 14=62 =面密度s1113a23a22同理，(110)面：顶点4个边上2个，每个1/4;，每个1/2;=2a × a =2a2 S1104 ´ 1 + 2 ´ 12=42 =2a2s110a215设二维矩形格子的基矢为rr=ai , a2 = 2aj , 试画出a1头三个区。r解：倒格子基矢： b1r2 r r=jai ,

4、b2a1- 6六方密堆结构的原胞基矢为a rraj;r3=i +2a12a rraj;r3= -i +2a22r= ck ;ra3试求倒格子基矢并画出第一区。解：u = rr ´ r3 a2c;× (a2=a1a3 )22rb1rb2rb32 rrj;2rr= u (a2 ´ a3 ) =i +a3a2 rrj;2rr2= u (a3 ´ a1 ) = -i +a3a2 rrr2= u (a1 ´ a2 ) =k ;c第一区为六棱柱17试求石的结构因子，并讨论X射线衍射消失的条件。共有8个：顶点一个、的坐标为：解：考虑一个晶胞，独立的心四个；8

5、个面心三r = (0r= a (10);1);1);3);3);r10r514æ aöra2= ç2r0÷= a (3r2r63èæ aø4a4a4a örr= ç÷r30(3(1=r1è 22 ø7ræa öa2r= ç 02 ÷r4=r83èørr则S(G)r；其中，Grrr82råiG×r=(n i + n j + n k )f ejj123aj =1； f1 =f2 =f8简单立方的倒f

6、1+ ei(n1 +n2 ) + ei(n1 +n3 ) + ei(n2 +n3 ) S(G) =i(n +n +n )i(3n +3n +n )i(3n +n +3n )+ e 2123+ e 2123+ e 2123i(n +3n +3n )+ e 2123f 1+ ei(n1 +n2 ) + ei(n1 +n3 ) + ei(n2 +n3 ) =i(n +n +n )×1+ e 2123ì n1 + n2+ n3 = 2(2N +1), N为整数；消光条件为：íîn1 , n2 , n3中有二奇一偶或二偶一奇2 -1证明一维NaCl晶格的常数a=

7、2 ln 2.证明：任选一参考离子i，则左右两侧对称分布，令rij= a ja；这里a为晶格常数（正负离子最近距离）那么，有：aå ± 1 = 2é1 - 1 + 1 - 1 + .úùêë1a234ûjj其中，异号为；同号为-.4利用展开式：ln(1+ x) = x -+ .234令x = 1，得：ln 2 = 1- 1 + 1 - 1 + .234a = 2 ln 222若离子间的排斥势用le-r/r来表示，只考虑最近邻离子间的排斥作用，试导出离子晶体结，并讨论参数l和r应如何决定。合能的表解：设最近邻离子间距

8、离为r，则rij = a jr（以i离子为原点）ìe2-r/ rle-，（最近邻，r = r）ijïij4eru(r ) = ï0 ijíije2ïïî±，（最近邻以外）4e0rij总相互作用能为：N é-r / rùe2N1å±- åle最近邻U = -êú2 êë 4e0ra júûj (¹i )N é-r / rùae2U =ê-+ Zle24erú；

9、.(1)ëû0其中Z为最近邻离子数æ ¶U ö= 0；得：由平衡条件：ç ¶r÷èør =r0rae2l -r / r= Z e.(2)04er 20 0érùae2N得：U =-1ú.(3)ê r4er2ëû0 00结合能Ec = -U (r0 )对于NaCl等离子晶体：æ ¶2U ö1ç÷K =.(4)ç÷¶29Nrr0 èør =r

10、0é- 2ae2-r / rù1 + Zl1 K =eú.(5)ê04er2r318rëû000将(2)代入(5)得：é1 ù2ae2ae21K =18r-+× rú.(6)êerer3244ëû00 00 0ae2rr= 0.(7)2ae2 + 72er 4 K0 0rae2r / r由(2)得：l=e.(8)04er 2Z0 02 - 3如果NaCl晶体中离子的电荷增加一倍，假定排斥势不变，试估计晶体的结合能以及离子间的平衡距离将产生多大变化？N æB

11、 öae2ç÷.(1)解：总相互作用能U = -2 ç 4er÷rnèø0N ænB öæ ¶U öae2ç÷ = 0.(2)ø=-ç ¶r÷n+er 21èør =r02 è 4r0 001eæö4nBn-1得：r ='ç÷0.(2 )ae20èøae2n-1 0得：B =(2)r.(3)由en40Nae2æ

12、1 ö) = -ç1-÷.(4)n(3)代入(1)得：U (r0er8èø0 0当电荷由e变为2e时，由(2' )和(4)可知 1 r (2e)= 41-n 0r0 (e)U (2e) n = 4 n-1U (e)3 -1在一维单格中， 若考虑每与其余的色散关系所有都有作用，在近似下求解：在近似下：12+ 1 å båf(xU =- u) = U0u 2ijij0ijij4i¹ ji¹ j第n个的运动方程：¶U¶d2u1åi¹ j= -= -b2mn(u )

13、ijij¶u4 ¶udt 2nn右边 = - 1 ¶ ( å b+ å bu 2u 2)ininnjnj4 ¶ui (¹n)j (¹n)n= - 1 ¶ ( åb (u- u )2 + åb (u- u)2 )inninjjn4 ¶ui (¹n)j (¹n)n= - 1 ( åb (u- u ) - åb (u- u)inninjjn2i (¹n)j (¹n)= åbin (ui - un )i (

14、5;n)= åbp (un+ p + un- p p- 2un )= Ae-i(wt -naq)代入上式得：设unå p- mw2 Ae-i(wt -naq)-i(wt -(n+ p)aq) + Ae-i(wt -(n- p)aq)=b ( Ae- 2u)np整理，得：= 2 åb (1- cos paq)w2pmp3 - 2设有一维双格， 两种的质量相等， 最近邻间的力常数交错地等于b1和b2，试求解：的色散关系d2u= b1 (un-1 - un ) + b2 (un - un )mndt 2= b1un-1 + b2un - (b1 + b2 )und2u=

15、 b2 (un -un ) + b1 (un+1 -un )mndt 2= b2un + b1un+1 - (b1 + b2 )un= Ae-i(naq-wt ) ;un= Be-i(naq-wt )试探解：un代入方程，得：- mw2 A = bBeiaq + bB - (b + b ) A1212- mw2 B = bAe-iaq + b A - (b + b )B1212(b + b ) - mw2- (beiaq + b )= 01212b + be-iaqmw2 - (b + b )2112经计算，得：b + b ±b2+ b2 + 2bb cos aqw2=121212m

16、3 - 3已知一维单格的色散关系为b2w (q)=- cos qa)2(1M的模密度 g (w)；试求：(1)(2)低温下晶格热容与温度的比例关系。解：一维时，模密度g(w) = lò d)2由色散关系，得：cos aq = 1- M w2 ;2b2wdw= 2ba sin aqdqMwdwdq =ö1/ 2ba æ MM 2çw2-w4 ÷M ç b÷4b2èøwml)g(w) =× 2 òw(q)dw(2ö1/ 2ba æ MM 20çw2 (q) -

17、w4 (q) ÷M ç b÷4b2èøwl=ö1/ 2 ba æ MM 2çw4 ÷w2-M ç b÷4b2èøwmò g(w)dwæ ¶E ö¶hw晶格热容：C= ¶Tç÷u¶Texp(hw/ k T ) -1èøuB0略去w4项，（因为低温，w<< 1）¶whwhwlwm0òC=dwu¶T baM×w-

18、1e kBTbM¥hwhw¶lMb¶T òdw=a0-1e kBT(因为低温，频率低的占主要，所以上限可以近似为无穷大)¥k 2Tx2exlMb Bò=dx-1)x2ah(e0lk 2MbCu=×T B3ah2经计算，上面33 - 4将德拜模型用于一维晶格，求低温下晶格热容 与温度的关系，并和上题的结果进行比较，讨论德拜 模型的合理性。解：对于德拜模型，有色散关系：w= cqdw= cdq+¥l g(w) =ò d 2)-¥l1 ¥l=ò dw ×(w - w(q)

19、 c=c0¥¥¶hwk 2Tx2exl Bò¶T ò=C=dw× g(w)dxu(e -1)x2hwch00e kBT-12lkBCu=×T3ch2上面3与上题结果比较，都与 T成正比，说明德拜模型有其合理性，尤其是低 温的情况下。35设想在一维单格中，只激发出一个动量为¹ 0)的声子，试证明晶体并不因此而获得物理动量证明：先证下面的式子：hì1,l = l 'l ¹ l '1åeina()= d= íl''llNî0,nl

20、 =l '时，显然成立。l -l '2N1N1N'ina×(l -l )ånånin2l ¹ l 时，左边='eeNaNl -l 'l -l 'i2i2N(1- e1 × e) = 0NN=l -l 'Ni21- eN晶体物理动量p = å Mu&n= 0= -iwMe-iwt åeinqann结论成立。3 - 6设有晶格常数为a的一维单格，考虑波矢落在区边界上的振动模式：1）画出这种振动模式在某一时刻的位移方向；2）若在某一温度下这种振动模式的频率趋于零，这时

21、的位移被“冻结” ，晶体结构发生变化， 试说明所形成的新结构。= Ae-i(wt -naq)解：(1)一维晶格位移un区边界，有q = ± ,对于a= Ae-i(wt m n)Ae-iwtun= (-1)n任何时刻相邻un+1(2)当w® 0时，振动至不能恢复， 此时的位移为(-1)nA，形成的新晶格是两原子互相靠近。41铜的空位形成能约为1.26eV，间隙试估计接近熔点（1300K）时空位和间隙两者的数量级。的形成能约为4eV，的浓度，并比较解：对于空位，主要由肖脱基缺陷引起u-= NekBTn空1.26´1.6´10-191.38´10-2

22、3´1300- u kBTn-= 1.32 ´10-5空位浓度 空N= e= e对于间隙，由夫伦克尔缺陷引起：uu1= ( NN ' ) 2 e-» Ne2kBT2kBTn间4´1.6´10-192´1.38´10-23´1300-u2kBTn-= 1.79 ´10-8间隙= e= e浓度 间N二者差约3个量级。4 - 2试求产生n个肖脱基缺陷后晶体体积的变化以及对晶体热容的贡献。解：产生n个肖脱基缺陷就意味着有n个从晶体内移动到表面上，这样，晶格的格点就由原来的N个增加到N + n个，所占的体积

23、为V0 ，令原来的晶体体积为V ，那么每个0Næn ö+ V0后来的体积V = Vn = V0 ç1+N ÷0Nèø= V0体积变化为V - Vn0N产生n个肖脱基缺陷，晶体的能量变化为nu，= æ ¶E öç ¶T ÷而CVèøV= æ ¶DE ö= æ ¶nu ö= u ¶n DCç÷ç ¶T÷V¶T¶Tè

24、;uøVèøV-而n = NekBT- u kBT- u kBTæö¶n(-1)uNu×ç-÷ ×= Ne=eç÷¶TT 2T 2kkèøBB- u kBTNu2nu 2DC=eVT 2T 2kkBB5 -1导出一维、二维和三维自由电子气的能态密度g(E)，画出g(E)随E的变化曲线，并讨论体系维度对物理性质的影响。æ 2möh2k 2Þ k =解：E =çE ÷22mèhø1

25、2æöL2L2m一维：E以下的状态数Z = 2 ×× 2k =ç÷E221èhø2L2m=E 2h- 1- 1L2mN2mg(E) =EE22hnhL ö2L2L2æ2m二维：Z = 2ç× k 2=×k 2÷Eh2è 2 ø22L2mNm g(E) =h2nh2333æL ö4 æ 2mE ö 2Væ 2mE ö 2三维：Z =×=322ç 2 ÷

26、;ç÷ç÷h2h2èø3èøèø31× E 2æ 2m ö 2V g(E) =×ç÷222è hø5 - 2证明二维自由电子气的化学势为：T lneh2n / mkBT-1m(T ) = kn为B面积上的电子数。¥证明：由N = ò f (E)g(E)dE可以求m(T )。0Nm二维自由电子气的0 ® E间的状态数Z =Enh2g(E) = dZ =Nmnh2dE¥¥

27、Nm / nh2 N = ò f (E)g(E)dE = ò e( E -m) / kBT +1 dE00æ E - mödç÷¥ò¥k TNmk TNmk Tdx èBøò=Bnh2 Bnh2 e( E -m) / kBT+1+1exm0-kBT¥¥e-xdx- d(e-x +1)Nmk TNmk Tòò=BBe- xe- x+1+1nh2nh2mm-kBTkBTéùm¥- Nmk TNmk Tln e-

28、x +1=lnêe kBT +1úBnh2Bn h2êëúû- mkBTéù+1úúûnh2 mnh2Þ= lnêe kBTêëmkBTæöç-1÷Þ m = kmkTT ln eBç÷Bèø5 - 3试根据自由电子气量子理论的结果导出Lorentz数L的表，并与经典理论的结果比较。æ k T ö2nkB çB÷=解：

29、根据量子理论： Ces= ne t22EFèøm132EF t1313热导率K =C u=C ut=2lCeeemæ kT ö 2Enk 2t1 22nkB çB÷F t= B×T m32EFm3èønk 2t2 B×TK22æ kBö= 3m= ×Tç÷ne2ts3èeømö22æ k兹数L =çB÷3èeø与书上经典结果对比。传导电子的碰撞阻力用- p 来表示，p

30、是电子5 - 4若t动量，试求金属在交变电场中的电导率。解：在电场E作用下电子的运动方程（假定E沿x方向）m du= -eE - p = -eE - muttdtæ duuö mç+÷ = -eEtøè dt设：E = E e-iwt ,u=ue-iwt , x = x e-iwt，则：000（电子能够跟上电场的 频率）æ- iw+ 1 öu= - e Eç÷tøèmu= - (iwt+1) etEw2t2+1m- neu1+ iwtne2tjs(w) =×1+w2

31、t2EEm6 -1设有单价组成的一维晶格，晶格常数为a，晶体中的单电子势V (x)由V (x) = -å A(x - na)n势叠加而成，即式中A为，是函数势的强度， n为整数，自由的归一化电子波函数为j(x) = b1/ 2e-bx能量为E0，试用紧近似证明价电子的能量为E(k ) = E - 2 Abe-ba cos ka0rrrrå(n,n)ik ×R近似， E(k ) = E'- b' -g(R'e)解：由紧(1)求b' :m0mDV (x) = -å A(x - na) + A(x)n= -òj* (x

32、)DV (b'= -bò dx × e-2bx -å A(x - na) + A(x)n= - Ab+ bò dx × e-2bx å A(x - na)n= - Ab+ Abåe-2bn an= Abåe-2ba n n¹0(2)求g' := -òj*(x)DV (x)j(x - na)dx；（n ¹ 0, n = ±1）g'òb1/ 2e-bx×b1/ 2e-bx-a当n = 1时，g' = -×DV (x)d

33、x1×-å A(x - n'a)dxn' ¹0= -bò e-bx× e-bx-a= bAåen' ¹0-ba n'+ n' -1 = bAe-ba（忽略高阶项）波函数在其它原子上几率小，e-ba为小量）（同理：g'= bAe-ba-1= E - 2bAe-bacos ka E(k ) = E' - 2bAe-2ba+ e-ikag'-eikag'0-1016 - 2利用紧r近似导出的s带能量的一般公式rrråik ×RE(k ) =

34、 E' - b'-g(R'e)m0m(n,n)对m的求和只限于最近邻， 试求bcc和fcc晶格s带的能量E(k ).解：（1）对于bcc :数8个；坐标（± a ,± a ,± a ）最近邻代入上式，得：222ré) ùúûi(k a +ka +ka ) 2i(- a k + a k + a k )i(- a k - a k - a kE (k ) = E- b-gêe+ e+ . + ex 2yzxyzxyz2222222ssë= E - b- 8gcos 1 k a cos 1

35、 k a cos 1 k asxyz222(2)对于fcc :数12个。最近邻坐标(0,± a ,± a ), (± a ,0,± a ), (± a ,± a ,0)2代入，得：22222réùi(ka +ka ) 2-i(ka +ka ) 2E (k ) = E- b-gêeëyz+ eyz+ .úû22ss= E - b- 4gæ cos 1 k a cos 1 k a + cos 1 k a cos 1 k a + cos 1 k a cos 1 k a &

36、#246;ç÷sxyxzyzè222222ø6 - 3已知简单立方晶格s带的能量为rE(k ) = Es - b- 2g(cos kxa + cos kya + cos kza),试求：能带极值附近电子的有效质量及能态密度。解：带顶：(± ,± ,± ),带底：(0,0,0)aaa¶2 E =2ga2cos kxa¶k 2x¶2 E =2ga2cos kya¶k 2y¶2 E =2ga2cos kza¶k 2z对于带顶：- h2h2=*zz*xxmyymm=

37、82;2 E=2ga2*mxx¶k 2xæ ö附近，有：ç aa ÷aèør111E(k ) = Es - b- 2g(-1+ 2 a (kx - a )-1+a (ky -)2a-1+a (kx 2-) )a222222éæ ö2 ù ö2 ö2ææ= E- b+ 6g- a2gêç k-+ ç k-+ ç k-÷÷÷úúûsxyzê&

38、#235;èa øèa øèa øa- a令：E = E- b+ 6g；k ' = k-= k'y；k0sxxy- a= kk 'zz则：E(k ) = E(k ' ) = E- a2gk '20r'= E - E(k ' )= -11 rÞ k'2'0；dkdE(k )ga22ga2E - E(k ' ) 0ga2r'g(E) = V ò (E - E(k ) d k3')43Vr¥ò (E - E

39、(k ' )4k '2dk '=34 r0rr-¥E - E(k ' ) æ-1öVò (E - E(k ' )4=ç÷dE(k ' )ø0gaè 2ga3224E0r'rrE0æöE - E(k )V1ò=(E - E(k ' )4ç÷ø'0dE(k )è 2ga2ga243-¥E0 - EV1=× 4 ×2ga2ga243V1g(E) =-

40、E)1/ 2(E0(ga)3/ 222V1(ga)3/ 2(E - b + 6g - E)1/ 2=s22对于带底：h2h2h2= ¶2 E=2ga2*yy*zzmxx；mmg22a¶k 2x(00)附近，有：0r111E(k ) = Es - b- 2g(1- 2 a kx +1- 2 a ky +1- 2 a kz )222222= Es - b - 6g + gk a22= E' + gk 2a20rE(k ) - E'1dk =rdE(k ) k=2 0ga22 ga2 ×E(k ) - E'0r g(E) = V ò (

41、E - E(k )d k343r¥Vò (E - E(k )4k 2dk=340r¥E(k ) - E'VdE(k )ò (E - E(k )4=×r0ga3242 ga2 ×E(k ) - E'E'00V1=× (E - E' )1/ 2022 (ga)3/ 2V1g(E) =(E - E+ b+ 6g)1/ 2s(ga)3/ 22264设有一维晶格，在t = 0时电子处在能带底（设能量为零），此时沿晶格方向加静电场，试说明：r1）电子在k空间中的运动是周期性的，并求出周期；r空间中的运动是

42、否也是周期的?2）电子在rr解：(1)电子在k空间的运动方程为： hrrdk= -eedtee k (t) = -t(k (t = 0) = 0)h只要证明k (t)与k (t + T )对应相同的状态，那么每经历时间T，r就达到相同的状态，那可以说明在k空间的运动是以T为周期的。在晶体中，k与k + G对应相同的状态，那么k (t)随时间增长一定会达到k (t + T ) = k (t) + Grrrreer2 r而 =(令er = -ei )即：G = -TGiahT = 2heea(2)在真实空间中，有：rr1 rru(k ) =Ñ r E(k )khtrrr (t) = òu(t)dt0t +Tt +Ttrr (t + T ) = òu(t)dt = òu(t)dt + òu(t)dt00tk (t +T )òu(k )dkk (t )rt +Tt +Tdth而 òu(t)dt = ò u(k (t) dk dk = - eertt由于u(k )是k的奇函数，所以k变化一个周期0 r (t + T ) = r (t)即：电子在真实空间的运动也是周期性的，其周期与在k空间相同。