弹性力学 用差分法和变分法解平面问题

1、弹性力学用差分法和变分法解平面问题用差分法和变分法解平面问题第五章第五章合肥工业大学本科生教学合肥工业大学本科生教学弹性力学弹性力学主讲教师：袁海平主讲教师：袁海平 (副教授、博士后副教授、博士后)弹性力学一、差分公式的推导一、差分公式的推导二、弹性体的形变势能和外力势能二、弹性体的形变势能和外力势能三、位移变分方程三、位移变分方程四、位移变分法四、位移变分法五、位移变分法例题五、位移变分法例题第五章用差分法和变分法解平面问题第五章用差分法和变分法解平面问题内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学用差分法和变分法解平面问题3 弹性力学的基本解法是，根据

2、静力平衡条件，形变与位移弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程和边界条件。和边界条件。 因此，因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解，通过求解，得出函数表示的精确解答。得出函数表示的精确解答。 对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函数式的解答。为此，人们探讨数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，弹性力学的各种近似解法，主要主要有有差分法、变分法和有限单元法

3、。差分法、变分法和有限单元法。差分公式的推导差分公式的推导一一弹性力学用差分法和变分法解平面问题4fxo 21 ff3f 1x2x3x)(xf21, ff差分法差分法是微分方程的一种数值解法，是微分方程的一种数值解法， 它不是去求解函数它不是去求解函数f(x)，而是求函数在一些结点上的值而是求函数在一些结点上的值 。;dd1212xxffxfxf将将导数导数用有限用有限差商差商来代替来代替将将微分微分用有限差分来代替用有限差分来代替将将微分方程微分方程用差分方程（代数方程）代替，求解微分方程问用差分方程（代数方程）代替，求解微分方程问题化为求解差分方程问题。题化为求解差分方程问题。差分公式的推

4、导差分公式的推导一一12xxxdx12fffdf弹性力学用差分法和变分法解平面问题5NoImage 在弹性体上，用相隔等间距h而平行于坐标轴的两组平行线织成正方形网格。 设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续函数，该函数在平行于x轴的一根网线上，如在3-上，它只随x坐标的改变而变化。在邻近结点处，函数f可展为泰勒级数如下：.)(! 31)(! 21)(3003320022000 xxxfxxxfxxxfff差分公式的推导差分公式的推导一一(a)弹性力学用差分法和变分法解平面问题6 只考虑离开结点充分近的那些结点，即（x-x0）充分小。于是可不计（x-x0）的三次及更高次幂的各项，则上式简写为

5、：20022000)(! 21)(xxxfxxxfff在结点，x=x0-h；在结点1， x=x0+h。代入(b) 得：02220032xfhxfhff02220012xfhxfhff联立（c）、（d），解得差分公式： 130(1)2fffxh21302202(2)ffffxh差分公式的推导差分公式的推导一一(b)(c)(d)弹性力学用差分法和变分法解平面问题7同理，在网线4-0-2上可得到差分公式：2402240220(3)22(4)fffyhffffyh 以上（）（）是基本差分公式，从而可导出其它的差分公式如下：22136857001() ()(5)24ffyyffffffx yxyhh 差

6、分公式的推导差分公式的推导一一弹性力学用差分法和变分法解平面问题8)()( 46 1) 6 ()()( 241)()( 46 112104204044876543210402241193104044fffffhyffffffffffhyxffffffhxf 差分公式()及()是以相隔2h的两结点处的函数值来表示中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。 以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值，可称为端点导数公式。 应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在无法应用

7、前者时才不得不应用后者。差分公式的推导差分公式的推导一一弹性力学一、差分公式的推导一、差分公式的推导二、弹性体的形变势能和外力势能二、弹性体的形变势能和外力势能三、位移变分方程三、位移变分方程四、位移变分法四、位移变分法五、位移变分法例题五、位移变分法例题第五章用差分法和变分法解平面问题第五章用差分法和变分法解平面问题内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学用差分法和变分法解平面问题10弹性力学变分法弹性力学变分法，因其泛函就是弹性体的能量（如形变势能、，因其泛函就是弹性体的能量（如形变势能、外力势能），又称为外力势能），又称为能量法能量法。泛函泛函是

8、以函数为自变量的一类函数。是以函数为自变量的一类函数。 变分法，变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。是研究泛函及其极值的求解方法。 弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能二二弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独立解法，分为：立解法，分为：位移变分法：位移变分法：取位移函数为自变量，并以势能极小值条取位移函数为自变量，并以势能极小值条件导出变分方程。件导出变分方程。应力变分法：应力变分法：取应力函数为自变量，并以余能极小值条取应力函数为自变量，并以余能极小值条件导出变分方程。件导出变分方程。弹性力学用差分法和变分法解

9、平面问题11（2）因应力和应变均从）因应力和应变均从0增长到增长到 ，故，故单位体积上，单位体积上，应力所做的功是应力所做的功是 非线性非线性 关系关系 线线 性性 关系关系,d01U.211U（1）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作用力，）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作用力，可看成是作用于微小单元上的可看成是作用于微小单元上的“外力外力”。、应力的功和形变势能（内力势能）、应力的功和形变势能（内力势能） 弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能二二弹性力学用差分法和变分法解平面问题12 线性的应力与应变关系非线性的应力与应变关系弹性体的形变势能和外力势

10、能弹性体的形变势能和外力势能二二、应力的功和形变势能（内力势能）、应力的功和形变势能（内力势能） 弹性力学用差分法和变分法解平面问题13（3）对于平面应力问题平面应力问题 或平面应变问题平面应变问题 单位体积上应力所做的功单位体积上应力所做的功都是 )0(zyzxz),0(zyzxz(c) 弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能二二、应力的功和形变势能（内力势能）、应力的功和形变势能（内力势能） zxzxyzyzxyxyzzyyxxU211xyxyyyxxU211弹性力学用差分法和变分法解平面问题14NoImageNoImage1U弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力

11、势能二二、应力的功和形变势能（内力势能）、应力的功和形变势能（内力势能） （4）假设没有转化为非机械能和动能，则应力所做的功全部）假设没有转化为非机械能和动能，则应力所做的功全部转化为弹性体的转化为弹性体的内力势能内力势能，又称为，又称为形变势能形变势能，或，或应变能应变能， 存贮于物体内部。存贮于物体内部。 -单位体积的形变势能（单位体积的形变势能（形变势能密度形变势能密度）。）。（5）整个弹性体的形变势能）整个弹性体的形变势能.dd)(21dd1AxyxyyyxxAyxyxUU(d)弹性力学用差分法和变分法解平面问题15（6）将物理方程代入，）将物理方程代入，平面应力问题的形变势能密度平面

12、应力问题的形变势能密度 ，可，可用用形变形变表示为表示为对于平面应变问题，对于平面应变问题， 将将222121(2).(e)2(1)2xyxyxyEU 21EE变为，.1变为1U1U22121()()2() .(f)22 1EuvuvvuUxyxyxy再将几何方程代入，再将几何方程代入， 可用可用位移位移表示为表示为1UU d xd y整个弹性体的形变势能为整个弹性体的形变势能为弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能二二、应力的功和形变势能（内力势能）、应力的功和形变势能（内力势能） (5-16)弹性力学用差分法和变分法解平面问题16（1 1）U U 是应变或位移的二次泛函，是应

13、变或位移的二次泛函，故不能应用叠加原理。故不能应用叠加原理。 （2 2）应变或位移发生时，）应变或位移发生时，U U 总是正的，即总是正的，即 （3 3）U U 的大小与受力次序无关。的大小与受力次序无关。 （4 4） 对应变的导数，等于对应的应力：对应变的导数，等于对应的应力： . 0U. , ,111xyxyyyxxUUU1U(5-15)弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能二二2 2、形变势能、形变势能的性质的性质弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的改变率，等于相应的应力分量。改变率，等于相应的应力分量。弹性力学用差分

14、法和变分法解平面问题17外力势能外力势能外力做了功，必然消耗了相同 值的势能。当取 时的外力功和能为零，则：()d d()d . (a)xyxyAsWf uf vxyf uf vs0 vuWV.d)(dd)(syxAyxsvfufyxvfuf(b)外力功：外力功：弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能二二3 3、弹性体上的外力功和外力势能弹性体上的外力功和外力势能 弹性力学用差分法和变分法解平面问题18NoImage弹性体的总势能弹性体的总势能，是外力势能和内力（形变）势能之和，.pVUE(h)弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能二二4 4、弹性体的总势能弹性体的

15、总势能弹性力学用差分法和变分法解平面问题19弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能二二例题例题1 试证明，在同样的应变分量试证明，在同样的应变分量 下，平面应变情况下下，平面应变情况下单位厚度的形变势能大于平面应力情况下的形变势能。单位厚度的形变势能大于平面应力情况下的形变势能。xyyx,对于平面应变情况，只需将上式中对于平面应变情况，只需将上式中 ， 变换为变换为22221(3).22 1xyxyxyAEUdxdy 2,.(b )1EE1E解：解：平面应力情况下，单位厚度的形变势能：平面应力情况下，单位厚度的形变势能：(a)弹性力学用差分法和变分法解平面问题20 代入，得 显然

16、，方括号内 将式(a)中的 ， 都作为式(b)的变换，整理后得平面应变情况下的形变势能公式， 222222211()()(),111121EEE推出.12112AyxEU)(21)1 (12222.21)211(22dxdyxyyxE(c)弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能二二弹性力学用差分法和变分法解平面问题21 从式(c)可见，在平面应变情况下，形变势能 中的第1，2，3项均大于平面应力情况下的值，而第4项 不变。因此，平面应变的形变势能 大于平面应力的形变势能U 。2xy21UU弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能二二弹性力学用差分法和变分法解平面问题2

17、2lCDEFAB弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能二二例题例题2图示一板块，在铅直方向均布拉力作用下发生拉伸变形，并图示一板块，在铅直方向均布拉力作用下发生拉伸变形，并使之两端固定下来，若在其中切开一小口使之两端固定下来，若在其中切开一小口AB时，试说明板的形变时，试说明板的形变势能将发生什么变化？势能将发生什么变化？解：解： 当当AB线切开时，线切开时，AB线上的应线上的应力趋于力趋于0，而形变势能是正定，而形变势能是正定， ，当应力当应力 时，相应的形变势时，相应的形变势能也失去。因此，板的总的形变势能能也失去。因此，板的总的形变势能减少。减少。0U0趋近于弹性力学用差分

18、法和变分法解平面问题23弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能二二 当当AB线切开后，边界线切开后，边界CD和和EF仍是固定的，我们可以比较仍是固定的，我们可以比较两种状态：两种状态： AB切开后，切开后， AB线仍然处于闭合状态，不发生张开，这是线仍然处于闭合状态，不发生张开，这是不稳定的平衡状态。不稳定的平衡状态。 AB线张开，出现裂纹，这是稳定的平衡状态。由于系统的线张开，出现裂纹，这是稳定的平衡状态。由于系统的稳定平衡状态与邻近的状态相比，总势能处于极小值，而稳定平衡状态与邻近的状态相比，总势能处于极小值，而(a)，(b)两种状态的外力势能不变，因此，两种状态的外力势能不

19、变，因此，(b)的形变势能的形变势能小于小于(a)，即形变势能将减少。，即形变势能将减少。弹性力学一、差分公式的推导一、差分公式的推导二、弹性体的形变势能和外力势能二、弹性体的形变势能和外力势能三、位移变分方程三、位移变分方程四、位移变分法四、位移变分法五、位移变分法例题五、位移变分法例题第五章用差分法和变分法解平面问题第五章用差分法和变分法解平面问题内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学用差分法和变分法解平面问题251.1.实际平衡状态的位移实际平衡状态的位移 ， ，必须满足，必须满足 用位移表示的平衡微分方程（在A中）; 用位移表示的应力边界条件

20、（在 上); 位移边界条件（在上）。ussu v(a) 其中，属于静力平衡条件静力平衡条件，属于约束条件约束条件。 对于实际位移，可将看成是必要条件，而，是充分条件。 位移变分方程位移变分方程 三三弹性力学用差分法和变分法解平面问题26（在 上）。 2. 2.虚位移状态虚位移状态 虚位移（数学上称为位移变分） ， 表示在约束条件允许下，平衡状态附近的微小位移增量，虚位移应满足 上的约束边界条件，即 ,v, 0 vu(b)ususu位移变分方程位移变分方程 三三弹性力学用差分法和变分法解平面问题27 虚位移不是实际外力作用下发生的，而是假想由其他干扰产生的。因此，虚位移状态 就构成实际平衡状态附

21、近的一种邻近状态。,*vvvuuu(c)位移变分方程位移变分方程 三三弹性力学用差分法和变分法解平面问题28.dddyyuxxuu(d) 变分与微分的比较变分与微分的比较位移变分方程位移变分方程 三三微分微分是在同一状态下，研究由于位置是在同一状态下，研究由于位置(坐标坐标)改变而引起函数改变而引起函数的改变。其中的自变量为坐标变量的改变。其中的自变量为坐标变量x,y，而因变量为函数，而因变量为函数，如位移，有如位移，有变分变分是在同一点位置上，是在同一点位置上，由于状态改变而引起泛函的改变。由于状态改变而引起泛函的改变。 其中的自变量为状态函数，如位移；而因变量为泛函，其中的自变量为状态函数

22、，如位移；而因变量为泛函，如如 ， ， ，有，有U VpE. vvUuuUU(e)弹性力学用差分法和变分法解平面问题29由于微分和变分都是微量，所以 a.它们的运算方式相同运算方式相同，如式(d)，(e)； b.变分和微分可以交换次序变分和微分可以交换次序，如 ).()(uxxu( f ) 位移变分方程位移变分方程 三三弹性力学用差分法和变分法解平面问题30当发生虚位移虚位移（位移变分） 时，()d d()d . (g)yxyxAsWf uf vx yfufvs. (h)VW , , . (i)xyxyuvvuxyxyvu, 由于虚位移引起虚应变虚应变，外力势能的变分外力势能的变分：外力的虚功

23、外力的虚功（外力功的变分）：3.3.在虚位移上弹性体的功和能在虚位移上弹性体的功和能 位移变分方程位移变分方程 三三弹性力学用差分法和变分法解平面问题31 形变势能的变分形变势能的变分，即实际应力在虚应变上的虚功, 由于实际应力在虚应变之前已存在, 所以作为常力计算，故无 系数。.dd)(AxyxyyyxxyxU21( j )位移变分方程位移变分方程 三三弹性力学用差分法和变分法解平面问题32NoImage（1）在封闭系统封闭系统中，假设没有非机械能的改变，也没有动能的改变，则按照能量守恒定律，在虚位移过程中形变势能的增加在虚位移过程中形变势能的增加 应等于外力势能的减少应等于外力势能的减少（

24、即等于外力所做的虚功 ）。所以)( UW . (k)UW4.4.弹性力学中位移变分方程的导出弹性力学中位移变分方程的导出 位移变分方程位移变分方程 三三弹性力学用差分法和变分法解平面问题33（2）位移变分方程位移变分方程 将式(g)的 代入上 式，得它表示，在实际平衡状态发生位移的变在实际平衡状态发生位移的变 分分 时，所引起的形变势能的变时，所引起的形变势能的变 分分 ，等于外力功的变分，等于外力功的变分 。 ()d d()d . (l)xyxyAsUfufvxyfufvsW),(vu)( U)( W位移变分方程位移变分方程 三三(5-22)弹性力学用差分法和变分法解平面问题34NoImag

25、eU()dd()dd()d . (m)xxyyxyxyAxyxyAs xyf uf vxyf uf vs（3）虚功方程虚功方程 将式(j)的 代入上 式，得位移变分方程位移变分方程 三三虚功方程表示：如果在虚位移发生之前，弹性体处于虚功方程表示：如果在虚位移发生之前，弹性体处于平衡状态，则在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚平衡状态，则在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。功等于应力在虚应变上所做的虚功。(5-24)弹性力学用差分法和变分法解平面问题35其中 形变势能的变分，如式( j )所示， 外力功的变分, 如式( g )所示。 0 , (n)UW0 ,

26、(o)UWWU（4）最小势能原理最小势能原理式(k)可写成其中U弹性体的形变势能，如5-4式(d), W弹性体的外力功， 如5-4式(a)。可以证明，式(n)可以写成为 位移变分方程位移变分方程 三三弹性力学用差分法和变分法解平面问题36由于弹性体的总势能为 故式(o)可以表示为 再将总势能 对其变量（位移或应变）作二次变分运算，可得,pWUVUE.0pE.0p2E(p)(q)pE位移变分方程位移变分方程 三三极小势能原理：在给定的外力作用下，在满足位移边界条极小势能原理：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移对应于总势能实际存在

27、的一组位移对应于总势能为极小值。为极小值。弹性力学一、差分公式的推导一、差分公式的推导二、弹性体的形变势能和外力势能二、弹性体的形变势能和外力势能三、位移变分方程三、位移变分方程四、位移变分法四、位移变分法五、位移变分法例题五、位移变分法例题第五章用差分法和变分法解平面问题第五章用差分法和变分法解平面问题内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学用差分法和变分法解平面问题38 位移变分法是取位移为基本未知函数位移变分法是取位移为基本未知函数的。的。 位移函数应预先满足位移函数应预先满足 上的位移边界上的位移边界条件，然后再满足位移变分方程。条件，然后再满

28、足位移变分方程。us位移变分法位移变分法 四四弹性力学用差分法和变分法解平面问题39mmmmmmyxvByxvvyxuAyxuu).,(),(),(),(00(a) （1）因位移函数是未知的，在变分法中采用设定位移试函数的方法设定位移试函数的方法，令 位移变分法位移变分法 四四弹性力学用差分法和变分法解平面问题40其中 和 均为设定的x，y的函数，并在边界 上，令 mmvuvu, ,00. 0)( , 0)(,)( ,)(00smsmssvuvvuu（在 上）（在 上）(c)(b) ususus位移变分法位移变分法 四四弹性力学用差分法和变分法解平面问题41 所以 已满足了 上的位移边位移边界

29、条件界条件。而 ， 用来反映位移状态的变化，故位移的变分为位移的变分为mAmB.,mmmmmmBvvAuu(d)us, u v位移变分法位移变分法 四四弹性力学用差分法和变分法解平面问题42( )d d( )d . (e)xyxyAsUfufvx yfufvs() . (f)mmmmmUUUABABmAmB 位移的变分通过 ， 的变分来反映，故形变势能的变分为（2）位移(a)还必须满足位移变分方程.,mmmmmmBvvAuu(d)将式(d)，( f )代入(e)得 位移变分法位移变分法 四四弹性力学用差分法和变分法解平面问题43AsmmmAsmmmBsvfyxvfBUAsufyxufAUmym

30、ymxmx0dddddd因虚位移（位移变分）中的 ， 是完全任意的，独立的，为了满足上式，必须:mAmB位移变分法位移变分法 四四弹性力学用差分法和变分法解平面问题44ddd ,(1,2) (g)ddd .mmmxxAsmymyAsmUf uxyf usAmUf vxyf vsBmAmBmAmB式(g)是瑞利瑞利- -里茨变分方程里茨变分方程。它是关于 ， 的线性代数方程组，由上式可解出 ， ,从而得到位移的解答。 位移变分法位移变分法 四四弹性力学一、差分公式的推导一、差分公式的推导二、弹性体的形变势能和外力势能二、弹性体的形变势能和外力势能三、位移变分方程三、位移变分方程四、位移变分法四、位移变分法五、位移变分法例题五、位移变分法例题第五章用差分法和变分法解平面问题第五章用差分法和变分法解平面问题内容提要内容提要弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)弹性力学用差分法和变分法解平面问题46 例例1 1 图示矩形板ab，在上边及右边受有均布压力 及 ，而左边和下边受有法向连杆的约束。