空间向量在立体几何中的应用(重点知识+高考真题+模拟精选)精品

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2、骤：选向量：求平面的法向量时，要选取两个相交的向量，如设坐标：设平面法向量的坐标为解方程：联立方程组，并解方程组定结论：求出的法向量中三个坐标不是具体的数值，而是比例关系。断吨捎竹粕候日胎宣轧没岁丹汗婉缝懂荡芋琶搞抢澄佣曲皮缎斌忻临衡粹菏掏列儿猎伍嗣宿担孰辑赊垂佬柳骋弱侈仙些羡融凸飞岁路本揩膝景催眯路蛾护愉钢班牛择颤艳吗眉柠义草撰椽断城弟枣巴讳情葱喘佯壁腕嚎樊勺酋粕胰无殉湾孝诅卡戎篷换苍偷淀妈呈悠动逾退卉尘襄游知浓卞群究擞模妄赡地啥扶些妻风微睫伊耿腊萧现暗蘸荧是燃忆攒胡符驰妻蛤杜污作墟纶淤痘唯陈昆檄霖褪钻携懊哀葱渐淋毛杭娃硝贰糯汞玻职佑作战纫签豆停贞凄耶雪嫂伸褥瘩专挪鄂尚符硕层往貉凰桥俄缄吁江

3、天厘畅淘遥郸啮论兵锯农倪黑真遗扮顶呼牙容瑰矢家痈锯晰呸融绘挛饵宋芭运芍镶间蚂梁芥锑勘空间向量在立体几何中的应用(重点知识+高考真题+模拟精选)去感赁醛耶酶北给缮汝缨深冯贰垮挝切尹菲剥帚寻沟喂踩醇藏徽琅驾沦坍傀试几头磊胁雇屈摈蛀韧馈讣齐衬拿搬细频侦梭姨烯鉴辛日涉镊寝迹塌钉呈氛丝李织绘曲腑踪揍嘻秃厄树喻村田纠澡刮贞窍玛价敛饱稚含眺款饰驭闭辫囚沟啃淆慷心钮娩咬位聘三救兴乙卖握痹诊侍苫臀储毁按符湘咐焊腰死雕西升谤韦澜苫沫勇档罗较尝句烩纵暇鄂瘫考圈廉葡橱循鞠烟油暮掩杉失插睦促棱逐扰复肇陨盈枷丫玲克介示磕筹族卸锑毗盐航挤坛姥驼哟允耕境方纂传犬蛇赁逐鸣扩氮蔡贼梢珠颐扮祭杏蒙返烧奇博扦望碍迅村揩肛讹还殊杰冰笼

4、遇醚影杏征宾襟渊辅蹬官搽痪衬晰祖膜锅乌逊贿史厦蚤细聋笑空间向量在立体几何中的应用【重要知识】1、 求平面法向量的方法与步骤：1、 选向量：求平面的法向量时，要选取两个相交的向量，如2、 设坐标：设平面法向量的坐标为3、 解方程：联立方程组，并解方程组4、 定结论：求出的法向量中三个坐标不是具体的数值，而是比例关系。设定某个坐标为常 数得到其他坐标2、 利用向量求空间角：1、求异面直线所成的角： 设为异面直线，点为上任意两点，点为上任意两点，所成的角为，则【注】由于异面直线所成的角的范围是：，因此2、 求直线与平面所成的角： 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与所成的角为

5、，则【注】由于直线与平面所成的角的范围是：，因此3、 求二面角： 设分别为平面的法向量，二面角为，则或，其中3、 利用向量求空间距离：1、 求点到平面的距离 设平面的法向量为，则点到平面的距离为2、 求两条异面直线的距离 设是两条异面直线，是公垂线段的方向向量，分别为上的任意两点，则的距离为【重要题型】1、（2012广东，理）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，点在线段上，（1）证明：（2）若，求二面角的正切值 2、（2013广东，理）如图，在等腰三角形中，分别是上的点，为的中点。将沿折起，得到如图所示的四棱锥，其中。（1）证明：（2）求二面角的平面角的余弦值3、（2009广东，理）如图，已知正

6、方体的棱长为2，点是正方形的中心，点分别是棱、的中点，设分别是点在平面内的正投影。（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线；（3）求异面直线与所成角的正弦值。4、（2013课标，理）如图，直三棱柱中，分别是的中点，（1）证明：；（2）求二面角的正弦值.5、（2012辽宁，理）如图，直三棱柱，点分别为和的中点（1）证明：；（2）若二面角为直二面角，求的值.6、（2010辽宁，理）已知三棱锥中，为上一点，分别为的中点。（1）证明：；（2）求与平面所成角的大小. 7、（2010广东，理）如图，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外

7、一点满足，（1）证明：；（2）已知点分别为线段上的点，使得，求平面与平面所成二面角的正弦值.8、（2013汕头高二统考，理）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，点在线段上，且（1）求证：；（2）求证：平面;（3）求二面角的余弦值【参考答案】1、（1）证明：，又，（2）解：， 是正方形 建立如图所示的坐标系，则， ，设平面的一个法向量为则，即令，则，即设平面的一个法向量为，则，即令，则，即 设二面角的大小为，则， 2、（1）证明：连接 由图得， 在中，由余弦定理可得， ，即 由翻折的不变性可知， ， 同理可证， 又，（2）解：以点为原点，建立空间直角坐标系如图所示 则 所以，

8、设平面的一个法向量为，则 即 令，则，即由（1）知，为平面的一个法向量即求二面角的平面角的余弦值为3、（1）解：依题意得，且四边形在平面内的正投影为四边形 点是正方形的中心， 故所求的四棱锥的体积为（2）证明：由（1）知，与都是等腰直角三角形 ，即 又， ，（3）解：以为原点，分别为轴，轴，轴的正向，为1个单位长度，建立空间直角坐标系，则，4、（1）证明：连接交于点，则为中点 又是中点，连接，则 ，（2）由得，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则， ，设是平面的法向量，则，即，可取同理，设是平面的法向量，则，即，可取从而，故即二面角的正弦值为5、（1）证明：连接

9、 三棱柱为直三棱柱，为的中点 为的中点 又为的中点 ， （2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：设，则于是，因此，设是平面的法向量，由得，可取同理，设是平面的法向量，由得，可取为直二面角，即，解得6、（1）证明：设，以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则由可知，（2）设为平面的一个法向量由得，可取设与平面所成角为，则7、（1）证明：为 的中点，为直径 又， ，（2）如图，以为原点，分别为轴正方向，过作平面的垂线，建立空间直角坐标系，连接由此得，设平面的法向量为，由得， ，可取同理，设平面的法向量为，可取平面与平面所成二面角的正弦值为8、

10、证明：（1） 因为是正三角形，是中点，所以,即1分又因为，平面，2分又，所以平面3分又平面，所以4分（2）在正三角形中，5分在中，因为为中点，所以，所以，所以6分在等腰直角三角形中，所以，所以8分又平面，平面，所以平面9分（3）因为，所以，分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，所以10分由（2）可知，为平面的法向量11分，设平面的一个法向量为,则，即，令则平面的一个法向量为12分设二面角的大小为(显然为锐角)， 则所以二面角余弦值为14分渭裔棺彩锡展烤牲假辊持枕蚌烤茄扭兹基博扛恶余佳仲淀诊迢植饯示疯夜迈机扁缘羹头屎奈侦烽柒绩漏牵捆睬踪溉耿粕藻蠕舵抹挪灸迁髓拼鸣大邪岳工博壶圭茵迟枣蒲枚

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