对称性在微积分学中的应用20150711

1、目录 上页 下页 返回 结束 （1）如果D关于y轴(x=0)对称,则 有 ( , )x yD 10,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yxf x y dxdyf x y dxdyf x yx关于为奇函数关于为偶函数1( , )|( , ),0Dx yx yD x 2( , )|( , ),0Dx yx yD y 其中其中其中其中（2）如果D关于x轴(y=0)对称,则 有 ( , )x yD 20,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yyf x y dxdyf x y dxdyf x yy关于为奇函数关于为偶函数二重积分的对称性二重积分的对称性目录 上页

2、 下页 返回 结束 120,(,)( , ),2( , )( , )(,)( , )2( , )DDDfxyf x yf x y dxdyf x y dxdyfxyf x yf x y dxdy 或其中 同上.12,D D（3）如果D关于原点对称,则 有 ( , )x yD目录 上页 下页 返回 结束 推论推论:若若 D 关于关于 x 轴轴 和和 y 轴都对称轴都对称 ,则则10,( , )( , )4( , ),( , ),DDf x yxyf x y dxdyf x y dxdyf x yx y关于 或 为奇函数关于均为偶函数1( , )|0,0Dx yD xyD1Dxy目录 上页 下页

3、返回 结束 积分区域 D 关于 直线y=x对称，即若(x,y)D,则(y, x)D.二重积分的轮换对称性：二重积分的轮换对称性：也就是表示D不等式x,y对调不等式不变,有(1)( , )d( , )dDDf x yf y x若D1 , D2分别是 D 中关于 直线 y=x 对称的两部分，则：.),(),(21dxdyxyfdxdyyxfDD简述为“你对称，我奇偶你对称，我奇偶”.(2)( , )( , ) f x yf y x( , )d0Df x y(3)( , )( , )f x yf y x，d),(Dyxfd),(21Dyxf则D1Dxy目录 上页 下页 返回 结束 2.二重积分的对称

4、性二重积分的对称性（1）如果D关于y轴对称,则 有 ( , )x yD 10,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yxf x y dxdyf x y dxdyf x yx关于为奇函数关于为偶函数1( , )|( , ),0Dx yx yD x 2( , )|( , ),0Dx yx yD y 其中其中其中其中（2）如果D关于x轴对称,则 有 ( , )x yD 20,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yyf x y dxdyf x y dxdyf x yy关于为奇函数关于为偶函数目录 上页 下页 返回 结束 120,(,)( , ),2( , )( ,

5、 )(,)( , )2( , )DDDfxyf x yf x y dxdyf x y dxdyfxyf x yf x y dxdy 或其中 同上.12,D D（4）如果D关于直线 对称，则yx( , )( , )DDf x y dxdyf y x dxdy（3）如果D关于原点对称,则 有 ( , )x yD目录 上页 下页 返回 结束 (1)( , )( , )DDf x y dxdyf y x dxdy称为关于积分变量的轮换对称性若 D 关于直线y = x对称，则简述为“你对称，我奇偶你对称，我奇偶”运用对称性是要兼顾被积分函数和积分区域两个方面，(2)( , )( , ) f x yf y

6、 xD 位于 y=x 轴右下方的部分为D1 , ( , )d0Df x y(3)( , )( , )f x yf y x，则d),(Dyxfd),(21Dyxf则目录 上页 下页 返回 结束 补充：补充：利用对称性化简三重积分计算利用对称性化简三重积分计算12( , , ):( , , )0:f x y z dvfzf x y z dvfz的偶函数的奇函数yozxxozy1,(:)I若关于三坐标面都对称卦限 则：1212,xoy 若且、关于面对称，则：18( , , ): , ,( , , )0:f x y z dVfx y zf x y z dVf的偶函数任一变量的奇函数关于z是偶函数( ,

7、 ,)( , , )f x yzf x y z( , , )f x y z关于z是奇函数( , ,)( , , )f x yzf x y z ( , , )f x y z目录 上页 下页 返回 结束 三重积分的轮换对称性三重积分的轮换对称性: :(, )d d d(, )d d d .fx y zx y zfy x zx y z 1.(两字母轮换两字母轮换) 如果将如果将x,y换为换为y,x积分域积分域 不变不变,则则2.(三字母轮换三字母轮换) 如果将如果将x,y,z换为换为y,z,x积分域积分域 不变不变,则则(, )d d d(, ,)d d d .fx y zx y zfy z xx

8、y z 目录 上页 下页 返回 结束 注注: :关于对弧长的曲线积分的对称性关于对弧长的曲线积分的对称性若 L 关于 y 轴对称( , )Lf x y ds对(1)(, )( , )( , )0Lfx yf x yf x y ds当时1(2)(, )( , )( , )2( , )LLfx yf x yf x y dsf x y ds当时其中L1 是L 的关于 y 轴对称的部分弧段1( , )|( , ),0Lx yx yL x若 L 关于直线 y = x 对称(即x与y对调后L表达式不变)( , )( , )LLf x y dsf y x ds原理原理: 积分值与被积变量用什么字母表示无关积

9、分值与被积变量用什么字母表示无关xy01LL目录 上页 下页 返回 结束 注注 关于对弧长的曲线积分的对称性关于对弧长的曲线积分的对称性若 L 关于xoy 平面对称( , , )f x y z ds对(1)( , ,)( , , )( , , )0f x yzf x y zf x y z ds当时1(2)( , ,)( , , )( , , )2( , , )f x yzf x y zf x y z dsf x y z ds当时其中 是 的关于 xoy 平面平面对称的部分弧段1( , , )|( , , ),0 x y zx y zL z 1目录 上页 下页 返回 结束 如果以如果以y代代x,

10、以以z代代y,以以x代代z后后, ( , )d( , ,)d .f x y zsfy z xs 1.(两字母轮换两字母轮换) 如果将如果将x,y换为换为y,x, ( , , )d( , , )d .f x y zsf y z xs2.(三字母轮换三字母轮换) 表达式不变表达式不变,则则的表达式不变的表达式不变,则则目录 上页 下页 返回 结束 补充：利用对称性简化对面积的曲面积分计算12( , , ):( , , )0:f x y z dSfzf x y z dSfz的偶函数的奇函数yozxxozy1,(:)I若 关于三坐标面都对称卦限 则：1212,xoy 若且、关于面对称，则：18( ,

11、, ): , ,( , , )0:f x y z dSfx y zf x y z dSf的偶函数任一变量的奇函数关于z是偶函数( , ,)( , , )f x yzf x y z( , , )f x y z关于z是奇函数( , ,)( , , )f x yzf x y z ( , , )f x y z目录 上页 下页 返回 结束 对面积的的曲面积分的轮换对称性对面积的的曲面积分的轮换对称性: :(, )(, ).fx y z dSfy x z dS 1.(两字母轮换两字母轮换) 如果将如果将x,y换为换为y,x积分域积分域不变不变,则则2.(三字母轮换三字母轮换) 如果将如果将x,y,z换为换

12、为y,z,x积分域积分域 不变不变,则则(, )(, ,).fx y z dSfy z x dS 完全类似于三重积分的对称性目录 上页 下页 返回 结束 利用对称性化简对坐标的曲线积分利用对称性化简对坐标的曲线积分若 分段光滑曲线L 关于 y 轴对称,且L在y轴右半部分和在y轴左半部分的方向相反( , )Lf x y dx对(1)(, )( , )( , )0Lfx yf x yf x y dx当时, 1(2)(, )( , ),( , )2( , )LLfx yf x yf x y dxf x y dx当时其中L1 是L 的关于 y 轴对称的部分弧段1( , )|( , ),0Lx yx y

13、L x,Ly设分段光滑的关于 轴对称 且对称的两个子曲线曲线相向为反方则：0,( ,)2( ,)LLfxf x y dxf x y dxfx右若 是 的奇函数，若 是 的偶函数xy01LL注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴(y)对称就关于谁对称就关于谁(y轴轴)的方向相反的方向相反目录 上页 下页 返回 结束 利用对称性化简对坐标的曲线积分利用对称性化简对坐标的曲线积分若 分段光滑曲线L 关于 x 轴对称,且L在x轴上半部分和在x轴下半部分的方向相反( , )Lf x y dx对(1)( ,)( , )( , )0Lf xyf x yf x y dx当时,

14、 1(2)( ,)( , ),( , )2( , )LLf xyf x yf x y dxf x y dx 当时其中L1 是L 的关于 x 轴对称的部分弧段1( , )|( , ),0Lx yx yL y,Lx设分段光滑的关于 轴对称 且对称的两个子曲线曲线相向为反方则：0,( ,)2( ,)LLfyf x y dxf x y dxfy上若 是 的偶函数，若 是 的奇函数xy01LL注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴(x)对称就关于谁对称就关于谁(x轴轴)的方向相反的方向相反目录 上页 下页 返回 结束 ,Ly设分段光滑的关于 轴对称 且对称的两个子曲线曲

15、线相向为同方则：0,( ,)2( ,)LLfxf x y dxf x y dxfx右若 是 的偶函数，若 是 的奇函数( , )Lf x y dx对,Lx设分段光滑的关于 轴对称 且对称的两个子曲线曲线相向为同方则：0,( ,)2( ,)LLfyf x y dxf x y dxfy上若 是 的奇函数，若 是 的偶函数xy01LLxy01LL注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴对称就关于谁的方向相同注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴对称就关于谁的方向相同目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算,dLxyx其中L 为沿抛物线xy 2解法解法1 取 x 为参数, 则OBAOL:01:,:xxy

16、AO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxd2dLOBxy xxy xxyxy 解法解法2 从点xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1 , 1(B)1, 1( A,x设分段光滑的关于 轴对称 且对称的两个子曲线方向曲线为相反,xyy被积函数是 的奇函数.54d21023xx目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算d ,Lx yx其中L 为沿抛物线xy 2解解:d0.Lx yxxyxy 从点的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1 , 1(B)1, 1( A,Lx设分段光滑的关于 轴对称且对称的两个

17、子曲线方向曲线为相反,x yy被积函数是 的偶函数.目录 上页 下页 返回 结束 ,Ly设分段光滑的关于 轴对称 且对称的两个子曲线曲线相向为反方则：0,( ,)2( ,)LLfxf x y dyf x y dyfx右若 是 的偶函数，若 是 的奇函数,Lx设分段光滑的关于 轴对称 且对称的两个子曲线曲线相向为反方则：0,( ,)2( ,)LLfyf x y dyf x y dyfy上若 是 的奇函数，若 是 的偶函数xy01LLxy01LL( , )Lf x y dy对目录 上页 下页 返回 结束 ,Ly设分段光滑的关于 轴对称 且对称的两个子曲线曲线相向为同方则：0,( ,)2( ,)LL

18、fxf x y dyf x y dyfx右若 是 的奇函数，若 是 的偶函数( , )Lf x y dy对,Lx设分段光滑的关于 轴对称 且对称的两个子曲线曲线相向为同方则：0,( ,)2( ,)LLfyf x y dyf x y dyfy上若 是 的偶函数，若 是 的奇函数xy01LLxy01LL注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴对称就关于谁的方向相同注意：这里的方向相反是指：关于哪个轴对称就关于谁的方向相同目录 上页 下页 返回 结束 （逆时针方向）（逆时针方向）. .其中其中C: : 求求22,Cdydxxy 1xy 解：解：oyx220,Cdyxy,Lx关于 轴对称 且对称的两曲线个

19、子曲线221xxy被积函数是的偶函数.220,Cdxxy,Ly关于 轴对称 且对称的两个子曲线曲线方向为相反,221yxy被积函数是的偶函数.方向为相反,220Cdydxxy目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲面积分满足轮换对称性, 不满足一般的对称性如果积分区域满足轮换对称性，则被积函数进行轮换后积分值不变,不过要同时轮换 dxdy，dydz，dzdx( , , )( , , )f x y z dxdyf y z x dydz( , , )( , , )f x y z dydzf y z x dzdx( , , )( , , )f x y z dzdxf y z x dxdy,0,2xo

20、yRzRdxdyRdxdyRz上设分片光滑的闭曲面 关于面对称 方向为外侧 则：若 是 的偶函数，若 是 的奇函数补充：利用对称性简化第二类曲面积分的计算补充：利用对称性简化第二类曲面积分的计算目录 上页 下页 返回 结束 ,),xoy设分片光滑的关于面对称 方向为外(面内曲侧闭则：补充：利用对称性简化第二类曲面积分的计算补充：利用对称性简化第二类曲面积分的计算,xoy设分片光滑的关于面对称 且对称的两个子曲面曲面相向为同方则：0,2RzRdxdyRdxdyRz上若 是 的奇函数，若 是 的偶函数0,2RzRdxdyRdxdyRz上若 是 的偶函数，若 是 的奇函数,xoy设分片光滑的关于面对

21、称 且对称的两个子曲面曲面相向为反方则：0,2RzRdxdyRdxdyRz上若 是 的偶函数，若 是 的奇函数目录 上页 下页 返回 结束 轮换对称性在微分学中的应用轮换对称性在微分学中的应用1.(两字母轮换两字母轮换) 如果将如果将x,y换为换为y,x函数的表达式不函数的表达式不变变,即即(, )ufx y z 函数,如果满足(, )xxufx y z 只需将上式中的将将x,y换为换为y,x,就得到就得到对变量y的偏导数:(, )yyufx y z (, );yfy x z 则称此函数关于自变量则称此函数关于自变量 x,y具有轮换对称性具有轮换对称性(, )(, )fx y zfy x z

22、目录 上页 下页 返回 结束 轮换对称性在微分学中的应用轮换对称性在微分学中的应用2.(三字母轮换三字母轮换) 如果将如果将x,y,z换为换为y,z,x函数的表达式不变函数的表达式不变(, )ufx y z 函数,如果满足则称此函数关于自变量则称此函数关于自变量 x,y,z具有轮换对称性具有轮换对称性只需将上式中的将将x,y,z换为换为y,z, x就得到就得到对变量y的偏导数:(, )zzufx y z ( ,)zfz x y (, )yyufx y z (, ,);yfy z x 即即(,)(, ,)fx y zfy z x ( ,)fz x y ( , , )xxufx y z 只需将上式

23、中的将将y,z, x 换为换为z,x,y 就得到就得到对变量z的偏导数:目录 上页 下页 返回 结束 例例1 . 求223yyxxz解法解法1xz)2, 1 (xz解法解法2) 2, 1(xz在点(1 , 2) 处的偏导数.) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz先求后代先代后求目录 上页 下页 返回 结束 函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00注

24、意：注意：但在该点不一定连续不一定连续.上节例 目录 上页 下页 返回 结束 ( , ) |,f x yxy 00|0|(0,0)limlimxxxxxfxx不存在00|0|(0,0)limlim.yyyyyfyy不 存 在目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明函数222,1zyxrru满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：证：xu22xu利用对称性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0目录 上页 下页 返回 结束 练习P69，6（1）44224,

25、zxyx y zx3248,xxyyz3248,yx y22zx22128,xy22zy22128,yx2zx y 16.xy解解 :目录 上页 下页 返回 结束 zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(例例4. 设,coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41利用轮换对称性 , 可得41)0 , 0 , 0()0 , 0 , 0(zyff)dd(d41zyx注意注意: x ,

26、 y , z 具有 轮换对称性轮换对称性 目录 上页 下页 返回 结束 zfyfxffzyyd)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(d)0 , 0 , 0(例例4. 设,coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: xxxfcos3)0 , 0 ,(0cos3)0 , 0 , 0(xxxfx41利用轮换对称性 , 1(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)4yzxfff)dd(d41zyx注意注意: x , y , z 具有轮换对称性轮换对称性 ( , , )( , , )( , , )f x y

27、zf y z xf z x y(0, ,0)( ,0,0),fyf y可得(0,0, )( ,0,0)fzf z目录 上页 下页 返回 结束 三重积分的计算：根据积分区域和被积函数的特点选择：合适的坐标系：直角坐标系，柱面坐标系，球面坐标系；在各种坐标系系下相应的先一后二(穿针法)与先二后一(截面法)；恰当的积分次序，从而正确地确定积分限；二重积分的计算：根据积分区域和被积函数的特点选择：合适的坐标系；恰当的积分次序，从而正确地确定积分限。*2在掌握基本运算的基础上，还应了解如何根据对称性及轮换对称性等方法来计算重积分. 此外,还要会用对称性,交换积分次序,变量代换以及重积分性质来解决一些较难

28、的问题(计算题及证明题).*1计算的难点：各种坐标系下积分限的确定目录 上页 下页 返回 结束 利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性计算各种积分计算各种积分目录 上页 下页 返回 结束 例例5., ,)(aaCxf设证证:(1) 若, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)(2) 若, )()(xfxf0d)(aaxxf则xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(20 xxfa时)()(xfxf时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令利用对称性计算定积分利用对称

29、性计算定积分目录 上页 下页 返回 结束 ( )()bbaaf x dxf abx dx,abxtdtdx ()( )baabf abx dxf t dt ,xatbxbta当时，；当时( )baf t dt练习练习 P253 2. ( ) , ,f xC a b 设设( )baf x dx分析分析 (1) 积分区间相同积分区间相同；(2) 被积函数不同被积函数不同. .目录 上页 下页 返回 结束 x 轴(y=0) 对称，(1) ( ,) f x yy若被积函数关于是偶函数，即( ,)( , ).f xyf x y(2) ( , ) f x yy若被积函数关于是奇函数，即).,(),(yxf

30、yxf 利用对称性计算二重积分利用对称性计算二重积分xyO1DDD 位于 x 轴上方的部分为D1 , 则),(yxf在 D 上在闭区域上连续, 设区域D 关于1( , )|( , ),0Dx yx yD y 则d),(Dyxf0d),(Dyxfd),(21Dyxf目录 上页 下页 返回 结束 证证: (1) 不妨假设积分区域是X-型的 ).()(,:21xyyxybxaD由积分区域 D 关于 x 轴对称性:12( )( ).y xy x oxyab)(1xyy )(2xyy 1D21( )( ) ( , ) ( , )byxayxDf x y ddxf x y dy22( )( ) ( , )

31、byxayxf x y dy dx 2( )02 ( , )byxaf x y dy dx 1 2( , ) .Df x y d(1) ( ,) f x yy若被积函数关于是偶函数，即( ,)( , ).f xyf x y1 ( , ) 2( , ) .DDf x y df x y d则则目录 上页 下页 返回 结束 是奇函数，即是奇函数，即关于关于若被积函数若被积函数 ),( )2(yyxf).,(),(yxfyxf . 0 ),( dyxfD则则证证 （2）积分区域 ).()(,:21xyyxybxaD由积分区域 D 关于 x 轴对称性:).()(21xyxy )()(21),( ),(

32、xyxybaDdyyxfdxdyxf oxyab)(1xyy )(2xyy 1D dxdyyxfbaxyxy )()(22),( 是是奇奇函函数数关关于于 ),( )()(22yfdyyxfxyxy 于是， dyxfD ),( dxdyyxfbaxyxy )()(22),( dxba 0 20. . 0目录 上页 下页 返回 结束 (, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x yf(x, y) 关于关于 x 为奇函数：为奇函数：f(x, y) 关于关于 x 为偶函数：为偶函数：1( , )|0Dx yD x命题命题:（1）如果D关于y轴(x=0)对称,则 有 ( ,

33、)x yD 10,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yxf x y dxdyf x y dxdyf x yx关于为奇函数关于为偶函数1( , )|( , ),0Dx yx yD x其中其中D 位于 y 轴右方的部分为 目录 上页 下页 返回 结束 证证 不妨假定不妨假定D的右半部分的右半部分D1为为X型区域：型区域：1:,( )( )Daxbxyx由由D关于关于y轴的对称性，轴的对称性，D的左半部分的左半部分D2为：为：2:, ()()Dbxaxyx 2()()( )( )( )( )( )( )( , )( , )(, )()(, )=(, )=axbxDxtatbtb

34、tbxataxf x y dxdyf x y dy dxft y dydtft y dy dtfx y dy dx 换元交换变量则目录 上页 下页 返回 结束 ( ,)( , )f xyf x y 若21( )( )( , )( , )( , )bxaxDDf x y dxdyf x y dy dxf x y dxdy 12( , )( , )( , )0DDDf x y dxdyf x y dxdyf x y dxdy则则所以( ,)( , )f xyf x y若21( )( )( , )( , )( , )bxaxDDf x y dxdyf x y dy dxf x y dxdy 则则1(

35、 , )2( , )DDf x y dxdyf x y dxdy目录 上页 下页 返回 结束 命题命题:（1）如果D关于y轴(x=0)对称,则 有 ( , )x yD 10,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yxf x y dxdyf x y dxdyf x yx关于为奇函数关于为偶函数1( , )|( , ),0Dx yx yD x 2( , )|( , ),0Dx yx yD y 其中其中其中其中（2）如果D关于x轴(y=0)对称,则 有 ( , )x yD 20,( , )( , )2( , ),( , )DDf x yyf x y dxdyf x y dxdyf

36、x yy关于为奇函数关于为偶函数目录 上页 下页 返回 结束 120,(,)( , ),2( , )( , )(,)( , )2( , )DDDfxyf x yf x y dxdyf x y dxdyfxyf x yf x y dxdy 或其中 同上.12,D D（3）如果D关于原点对称,则 有 ( , )x yD目录 上页 下页 返回 结束 推论推论:若若 D 关于关于 x 轴轴 和和 y 轴都对称轴都对称 ,则则10,( , )( , )4( , ),( , ),DDf x yxyf x y dxdyf x y dxdyf x yx y关于 或 为奇函数关于均为偶函数1( , )|0,0D

37、x yD xyD1D目录 上页 下页 返回 结束 积分区域 D 关于 直线y=x对称，即若(x,y)D,则(y, x)D.二重积分的轮换对称性：二重积分的轮换对称性：也就是表示D不等式x,y对调不等式不变,有(1)( , )d( , )dDDf x yf y x若D1 , D2分别是 D 中关于 直线 y=x 对称的两部分，则：.),(),(21dxdyxyfdxdyyxfDD简述为“你对称，我奇偶你对称，我奇偶”.(2)( , )( , ) f x yf y x( , )d0Df x y(3)( , )( , )f x yf y x，d),(Dyxfd),(21Dyxf则D1D目录 上页 下

38、页 返回 结束 D2D3D4D4. 则yxyxyxDdd)sincos(yxyxADddsincos2)(1yxyxBDdd2)(1yxyxyxCDdd)sincos(4)(10)(D1D提示提示: 如图 ,4321DDDDD由对称性知0ddyxyxD在43DD yxsincos上是关于 y 的奇函数在21DD 上是关于 x 的偶函数A,),(ayxaxayxD),(1yxD ,0ayxaxxyaaaOP182 1(2) 目录 上页 下页 返回 结束 关于关于 轴解解: 积分区域如图所示，将区域分成 设设 是以是以 为顶点的三角形区为顶点的三角形区D(1,1),( 1,1),( 1, 1) 域

39、，域， 是区域是区域 在第一象限部分在第一象限部分.D1D1ddsincos2dd)sincos(DDyxyxyxyxxy四个小区域，由于区域21DD y轴对称，区域43DD x，0dddddd4321DDDDDyxxyyxxyyxxy4. 证明证明轴对称，故D2D3D4D1Dxya11O0809B 目录 上页 下页 返回 结束 而0ddsincos43DDyxyx故Dyxyxxydd)sincos(1ddsincos2DyxyxDyxyxddsincos21ddsincosDDyxyxD2D3D4D1DxyaaaO目录 上页 下页 返回 结束 xyo解：解： 利用对称性简化计算 因为D关于

40、x 轴对称，( ,)( , ),f xyf x y 且且0.I 所所以以cos()sin(),xyDIxexy dxdy 11cos()11xydxde 1coscos10 xxeedx Ccos()sin(),xyDIxexy dxdy3. 设设其中其中:1,1,D xy().I 则则1.;.;.0;.AeBeCD 目录 上页 下页 返回 结束 A解：解：2 2xyoD 利用对称性简化计算,因为D关于 y 轴对称，(, )( , )fx yf x y且0.I 所以272222020.3xxIdxxy dydx2,DIxy dxdy3. 设设其中其中2:0,2,Dyxx().I 则则3264.

41、0;.;.;.256.33ABCD目录 上页 下页 返回 结束 xyo解解1=4DDxy dxdyxy dxdy32004cos sinadd 32004cos sinadd 42201sin2a 41.2a 222:,0,0,xyxyD由由于于被被积积函函数数是是 和和 的的偶偶函函数数, ,积积分分域域关关于于 轴轴和和 轴轴都都对对称称, ,记记则则有有xyaxy1D目录 上页 下页 返回 结束 计算二重积分221()d d ,Dyxf xyxy2yx所围成的闭区域.例例5.1y 和1y 2yx解解:D211,:1,xxy （画出积分区域草图）.其中D 为 利用对称性简化计算利用对称性简

42、化计算, 因为因为D关于关于 y 轴对称，轴对称， 且且22() ()yx fxy22()yxf xy 22()d d0.Dyxf xyxy221()d dDyxf xyxyd dDyxy11dx21dxy y11 dx1411221dxx4.521221yx1011B目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所围成.Oyx124xyxy32D1D1x解解: 令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示)显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxD

43、dd)1ln(224目录 上页 下页 返回 结束 ( , , )f x y z dv当当 f(x, y, z) 关于关于 z 为奇函数为奇函数当当 f(x, y, z) 关于关于 z 为偶函数为偶函数012( , , )f x y z dv( , ,)( , , )f x yzf x y z( , ,)( , , )f x yzf x y zf(x, y, z) 关于关于 z 为奇函数：为奇函数：f(x, y, z) 关于关于 z 为偶函数：为偶函数：1( , , )|0 x y zz 命题命题 4 若空间区域若空间区域关于关于 xOy 面面 (z = 0) 对称，则对称，则 目录 上页 下页

44、 返回 结束 证证 不妨假定不妨假定的上半部分的上半部分1为为XY型区域：型区域：1( , , )|( , ),( , )( , )x y zx yDx yzx y 由由关于关于xOy坐标面的对称性，坐标面的对称性，的下半部分的下半部分2为：为：2( , , )|( , ),( , )( , )x y zx yDx yzx y 目录 上页 下页 返回 结束 2( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , , )( , , )( , ,)()( , ,)=( , ,)=x yx yDztx yx yDx yx yDx yx yDf x y z dvdf

45、x y z dzdf x ytdtdf x yt dtdf x yz dz换元改变变量则目录 上页 下页 返回 结束 ( , ,)( , , )f x yzf x y z若2112( , )( , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )0 x yx yDf x y z dvdf x y z dzf x y z dvf x y z dvf x y z dvf x y z dv 则所以目录 上页 下页 返回 结束 ( , ,)( , , )f x yzf x y z若21121( , )( , )( , , )( , , )( , , )( , ,

46、)( , , )( , , )2( , , )x yx yDf x y z dvdf x y z dzf x y z dvf x y z dvf x y z dvf x y z dvf x y z dv则所以目录 上页 下页 返回 结束 利用积分曲线的对称性利用积分曲线的对称性和被积函数的奇偶性和被积函数的奇偶性计算对计算对弧长的曲线积分弧长的曲线积分目录 上页 下页 返回 结束 ( , )Lf x y ds命题命题 5若曲线若曲线 L 关于关于 y 轴轴 (x = 0) 对称，则对称，则当当 f(x, y) 关于关于 x 为奇函数为奇函数当当 f(x, y) 关于关于 x 为偶函数为偶函数

47、012( , )Lf x y ds(, )( , )fx yf x y (, )( , )fx yf x yf(x, y) 关于关于 x 为奇函数：为奇函数：f(x, y) 关于关于 x 为偶函数：为偶函数：1( , )|0Lx yL xL1Lxy目录 上页 下页 返回 结束 证证 设设 L 的右半部分的右半部分 L1 由以下参数方程给出：由以下参数方程给出：1:( ),( ),Lxtytatb 由由 L 关于关于 y 轴的对称性，轴的对称性，L 的左半部分的左半部分 L2 的参的参数方程为：数方程为：22222( , )=( ),( ) ( )( )=( ),( ) ( )( )Lbabaf

48、 x y dsfttttdtfttttdt于是2:( ),( ),Lxtytatb 目录 上页 下页 返回 结束 (, )( , )fx yf x y 若211222( , )( ( ),( ) ( )( )( , )( , )( , )( , )0LbaLLLLf x y dsfttttdtf x y dsf x y dsf x y dsf x y ds 则所以目录 上页 下页 返回 结束 (, )( , )fx yf x y若2112122( , )( ( ),( ) ( )( )( , )( , )( , )( , )2( , )LbaLLLLLf x y dsfttttdtf x y

49、dsf x y dsf x y dsf x y dsf x y ds则所以目录 上页 下页 返回 结束 ( , )Lf x y ds命题命题 5若曲线若曲线L关于关于 x 轴轴 (y = 0) 对称，则对称，则当当 f(x,y) 关于关于 y 为奇函数为奇函数当当 f(x, y) 关于关于 y 为偶函数为偶函数 012( , )Lf x y ds( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x yf(x, y) 关于关于 y 为奇函数：为奇函数：f(x, y) 关于关于 y 为偶函数：为偶函数：1( , )|0Lx yL yL1Lxy目录 上页 下页 返回 结束 ( ,

50、, )f x y z ds当当 f(x, y, z) 关于关于 z 为奇函数为奇函数当当 f(x, y, z) 关于关于 z 为偶函数为偶函数 012( , , )f x y z ds( , ,)( , , )f x yzf x y z( , ,)( , , )f x yzf x y zf(x, y, z) 关于关于 z 为奇函数：为奇函数：f(x, y, z) 关于关于 z 为偶函数：为偶函数：1( , , )|0 x y zz 命题命题 6 若空间曲线若空间曲线 关于关于 xOy 面面 (z = 0) 对称，则对称，则目录 上页 下页 返回 结束 证证 设设 的上半部分的上半部分 1 由以

51、下参数方程给出：由以下参数方程给出：1:( ),( ),( ),xx tyy tzz tatb 由由 关于关于xOy面的对称性，面的对称性， 的左半部分的左半部分 2 的的参数方程为：参数方程为：2222222( , , )=( ( ), ( ),( ) ( )( )( )=( ( ), ( ),( ) ( )( ) ( )babaf x y z dsf x ty tz tx ty tz tdtf x ty tz tx ty tz tdt 于是2:( ),( ),( ),xx tyy tzz tatb 目录 上页 下页 返回 结束 ( , ,)( , , )f x yzf x y z 若211

52、2222( , , )( ( ), ( ), ( ) ( )( )( )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=0baf x y z dsf x ty tz tx ty tz tdtf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z ds 则所以目录 上页 下页 返回 结束 ( , ,)( , , )f x yzf x y z若21121222( , , )( ( ), ( ), ( ) ( )( )( )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=2( , , )baf x y z dsf x ty tz tx ty tz td

53、tf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z dsf x y z ds 则所以目录 上页 下页 返回 结束 利用积分曲面的对称性利用积分曲面的对称性和被积函数的奇偶性和被积函数的奇偶性计算对计算对面积的曲面积分面积的曲面积分目录 上页 下页 返回 结束 ( , , )f x y z dS当当 f(x, y, z) 关于关于 z 为奇函数为奇函数当当 f(x, y, z) 关于关于 z 为偶函数为偶函数 012( , , )f x y z dS( , ,)( , , )f x yzf x y z( , ,)( , , )f x yzf x y zf(x, y, z

54、) 关于关于 z 为奇函数：为奇函数：f(x, y, z) 关于关于 z 为偶函数：为偶函数：1( , , )|0 x y zz 命题命题 7 若曲面若曲面 关于关于 xOy 面面 (z = 0) 对称，则对称，则目录 上页 下页 返回 结束 证证 设设 的上半部分的上半部分1由以方程给出：由以方程给出：1:( , ),( , )zz x yx yD由由 关于关于xOy面的对称性，面的对称性， 的下半部分的下半部分2的方的方程为：程为：22222( , , )( , ,( , ) 1 ( , )( , )( , ,( , ) 1 ( , )( , )xyDxyDf x y z dSf x yz

55、 x yzx yzx ydxdyf x yz x yzx yzx ydxdy 于是1:( , ),( , )zz x yx yD 目录 上页 下页 返回 结束 211222( , , )( , , ( , ) 1 ( , )( , )( , , )( , , )=( , , )+( , , )=0 xyDf x y z dSf x y z x yzx yzx ydxdyf x y z dSf x y z dSf x y z dSf x y z dS 则所以( , ,)( , , )f x yzf x y z若目录 上页 下页 返回 结束 2112122( , , )( , , ( , ) 1

56、( , )( , )( , , )( , , )=( , , )+( , , )2( , , )xyDf x y z dSf x y z x yzx yzx ydxdyf x y z dSf x y z dSf x y z dSf x y z dSf x y z dS则所以( , ,)( , , )f x yzf x y z若目录 上页 下页 返回 结束 利用对称性计算三重积分利用对称性计算三重积分1.1.关于积分区域关于积分区域 的对称性的对称性: :2.关于函数关于函数f(x,y,z)的奇偶性的奇偶性( , , )( , ,),( , , ),( , ,)f x y zf x yzx y

57、zx yz若若则称则称f(x,y,z)在在 上是关于上是关于z的奇或偶函数的奇或偶函数* *类似地可定义类似地可定义f(x,y,z)在在 上是关于上是关于z的奇或偶函数的奇或偶函数.若若(x,y,z)(x,y,z), ,有有(x,y,z)(x,y,z), ,则则 关于关于xoyxoy坐标面对称。坐标面对称。* *类似地可定义类似地可定义 关于关于yoz,zoxyoz,zox坐标面的对称性。坐标面的对称性。( , , )( ,),( , , ),( ,)f x y zf xyzx y zxyz若若则称则称f(x,y,z)在在 上是关于上是关于y,z的奇或偶函数的奇或偶函数.* *类似地可定义其他

58、类似地可定义其他. .目录 上页 下页 返回 结束 ( , , )(,),( , , ),(,)f x y zfxyzx y zxyz 若若则称则称f(x,y,z)在在 上是关于上是关于x,y,z的奇或偶函数的奇或偶函数4. 利用对称性计算三重积分的有关结论利用对称性计算三重积分的有关结论:若若 关于关于xoyxoy坐标面对称坐标面对称, , f(x,y,z)在在 上是关于上是关于z的奇或偶函数的奇或偶函数, 10( , , )2( , , )fzf x y z dvf x y z dvfz为的奇函数为的偶函数.* *类似地可表示其他一些结果类似地可表示其他一些结果. .3.3.积分区域积分区域 , ,被积函数被积函数f(x,y,z) 的轮换对称性的轮换对称性: :将积分区域积分区域 的边界曲面方程的边界曲面方程( (或或被积函数被积函数f(x,y,z) )中中, ,变变量量x,y,zx,y,z依此轮换依此轮换, ,方程方程( (或或函数函数f(x,y,z)的形式不变的形式不变目录 上页 下页 返回 结束 若若 关于三