应力与应变之间的关系

1、10-5 10-5 应力与应变之间的关系应力与应变之间的关系1 1、各向同性材料的广义胡克定律、各向同性材料的广义胡克定律 P时，时，ExEyEz2 2）纯剪应力状态：纯剪应力状态：Gxxy P1 1）单向应力状态：）单向应力状态：横向线应变：横向线应变： stxgxy时，时，3 3）空间应力状态：空间应力状态：对图示空间应力状态：对图示空间应力状态：; , ,zyx 正负号规定：正应力分量同前，拉为正、压正负号规定：正应力分量同前，拉为正、压为负；切应力分量重新规定，正面（外法线与坐为负；切应力分量重新规定，正面（外法线与坐标轴指向一致）上切应力矢与坐标轴正向一致或标轴指向一致）上切应力矢与

2、坐标轴正向一致或负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为负面上切应力矢与坐标轴负向一致时，切应力为正，反之为负。正，反之为负。六个应力分量，六个应力分量，zxyzxy , ,dxdydzxyxzxyxyyzxyzzxxyxxzzyzzxyxyyz对应的六个应变分量，对应的六个应变分量，zxyzxyzyx, 正负号规定：正应变分量同前，拉为正、压为正负号规定：正应变分量同前，拉为正、压为负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。负；切应变分量以使直角减小为正，反之为负。 对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下，对各向同性材料，在线弹性、小变形条件下，正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力

3、正应力只引起线应变，切应力只引起切应变，应力分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：分量和应变分量的关系可由叠加原理求得：三个正应力分量单独作用时，三个正应力分量单独作用时，x方向的线应变为：方向的线应变为：ExxEyx Ezx yxzzE1zyxxxxxE 1zxyyE1同理可得：同理可得：则则可得：可得：对切应力分量与切应变的关系，有：对切应力分量与切应变的关系，有：GxyxyGyzyzGzxzx 上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性上述六个关系式即为空间应力状态下，线弹性和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。和小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律。对对平面应力状态：设平面应力状态

4、：设 z=0， xz=0， yz=0，有：有：yxzEyxxE1xyyE1xyxyG1若用若用主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：主应力和主应变来表示广义胡克定律，有：213331223211111EEE21312221111EEE二向应力状态：二向应力状态：, 03设设有有12EG可见，即使可见，即使 3 =0，但，但 3 0而且各向同性材料有而且各向同性材料有例例7-5 已知一受力构件自由表面上某点处的已知一受力构件自由表面上某点处的两主应变值为两主应变值为 1=24010-6， 3=16010-6。材料的弹性模量材料的弹性模量E =210GPa，泊松比泊松比 =0.3。求该点处的主应力

5、值数，并求另一应变求该点处的主应力值数，并求另一应变 2的的数值和方向。数值和方向。解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：解：因主应力和主应变相对应，则由题意可得：02即为即为平面应力状态，有平面应力状态，有3111E1331E联立两式可解得：联立两式可解得：MPa3 .44101603 . 02403 . 011021016293121EMPa3 .20102403 . 01603 . 011021016291323E669312103 .34103 .203 .44102103 . 0E主应变主应变 2为：为：其其方向必与方向必与 1和和 3垂直，沿构件表面的法线方向。垂直，沿构件表面

6、的法线方向。1. 1. 基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律xxE Exxy xy yx x1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律横向变形横向变形2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 G 10-5 10-5 广义胡克定律广义胡克定律2 2、三向应力状态的广义胡克定律、三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法23132111E1231E1E2E323132111E13221E21331E)(1zyxxE Gxyxy 3 3、广义胡克定律的一般形式、广义胡克定律的一般形式)(1xzyyE )(1yxzzE Gyzyz Gzxzx x y z xy yx yz zy zx xz123单元体体积变化：4.abccbaVVabc1123111()()()abc()1123单位体积的体积改变为:V