大学物理实验(三)数 据 处 理

1、1.列表法列表法 3.逐差法逐差法 4.最小二乘法最小二乘法2.作图法作图法 在记录和处理实验测量数据时，经常把数据列成表格，它可以简单而明确地表示出有关物理量之间的对应关系，便于随时检查测量结果是否正确合理，及时发现问题，利于计算和分析误差，并在必要时对数据随时查对。通过列表法可有助于找出有关物理量之间的规律性，得出定量的结论或经验公式等。列表法是工程技术人员经常使用的一种方法。列表时，一般应遵循下列规则（1）简单明了，便于看出有关物理量之间的关系，便于处理数据。（2）在表格中均应标明物理量的名称和单位。（3）表格中数据要正确反映出有效数字。（4）必要时应对某些项目加以说明，并计算出平均值、

2、标准误差和相对误差。次数123456789105.010.015.020.025.030.335.040.045.050.010.310.5110.6410.7910.9411.0811.2211.3611.5311.66通过测量温度通过测量温度t和在温度和在温度t下铜的电阻下铜的电阻Rt来来测量铜的电阻温度系数，得到测量铜的电阻温度系数，得到t与与Rt的数的数据列表如下：据列表如下：）关关系系温温度度（）电电阻阻（tRt)(样品：铜样品：铜)( Ct)(tR表中数据均为有效数字表中数据均为有效数字 作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系，也可用作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函

3、数关系，也可用来求某些物理参数，因此它是一种重要的数据处理方法。作图时要来求某些物理参数，因此它是一种重要的数据处理方法。作图时要先整理出数据表格先整理出数据表格，并，并要要用坐标纸作图用坐标纸作图。U (V )0.741.522.333.083.664.495.245.986.767.50I (mA)2.004.016.228.209.7512.00 13.99 15.92 18.00 20.011.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小 坐标分度值的选取应能反映测量值的有效位数，一般以坐标分度值的选取应能反映测量值的有效位数，一般以 12mm对应于测量

4、仪表的仪表误差。对应于测量仪表的仪表误差。 根据表数据根据表数据U 轴可选轴可选1mm对应于对应于0.10V，I 轴可选轴可选1mm对应于对应于0.20mA，并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围），并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围） 约为约为130mm130mm。作图步骤作图步骤：实验数据列表如下：实验数据列表如下. 表表1：伏安法测电阻实验数据：伏安法测电阻实验数据2. 标明坐标轴：标明坐标轴： 用粗实线画坐标轴，用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。

5、格上的量值。I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004. 连成图线：连成图线： 用直尺、曲线板等把用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲线。点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通一般不强求直线或曲线通过每个实验点，应使图线过每个实验点，应使图线线正穿过实验点时可以在线正穿过实验点时可以在两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图点处断开。点处断开。3.标实验点标实验点： 实验点可用实验

6、点可用“ ”、 “ ”、“ ”等符号标等符号标出（同一坐标系下不同曲出（同一坐标系下不同曲线用不同的符号线用不同的符号）。）。 5.标出图线特征：标出图线特征： 在图上空白位置标明在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的实验条件或从图上得出的某些参数。如利用所绘直某些参数。如利用所绘直线可给出被测电阻线可给出被测电阻R大小：大小：从从所绘所绘直线直线上读取两点上读取两点 A、B 的坐标就可求出的坐标就可求出 R 值。值。I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.0

7、05.007.009.00电阻伏安特性曲线电阻伏安特性曲线6.标出图名：标出图名： 在图线下方或空白位在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些置写出图线的名称及某些必要的说明。必要的说明。A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上由图上A、B两点可得被测电阻两点可得被测电阻R为：为：)k(379. 076. 258.1800. 100. 7ABABIIUUR至此一张图才算完成至此一张图才算完成作图法作图法 1.1.作图规则作图规则 作图一定要用坐标纸，测量数据中的可靠数作图一定要用坐标纸，测量数据中的可靠数字在图上也应是可靠的，即图纸上一小格对应字在图上也应是可靠的，即图纸上一小

8、格对应数据中可靠数字的最后一位，而误差位在小格数据中可靠数字的最后一位，而误差位在小格之间估计。之间估计。 1.1.作图规则作图规则 标明坐标轴和图名标明坐标轴和图名1.1.作图规则作图规则 标点标点 2.2.作图规则作图规则 连线连线 不当图例展示不当图例展示：n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图玻璃材料色散曲线图图图1曲线太粗，不曲线太粗，不均匀，不光滑均匀，不光滑。应该用直尺、曲应该用直尺、曲线板等工具把实线板等工具把实验点连成光滑、验点连成光滑、均匀的细实线。均匀的细实线。n(nm)

9、1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图玻璃材料色散曲线图改正为改正为：图图2I (mA)U (V)0 02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00电学元件伏安特性曲线电学元件伏安特性曲线横轴坐标分度选取横轴坐标分度选取不当。不当。横轴以横轴以3 cm 代代表表1 V，使作图和读图都，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和数字的要求又便于作图和读图

10、，读图，一般以一般以1 mm 代代表的量值是表的量值是10的整数的整数次幂或是其次幂或是其2倍或倍或5倍。倍。I (mA)U (V)o o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00电学元件伏安特性曲线电学元件伏安特性曲线改正为：改正为：定容气体压强温度曲线定容气体压强温度曲线1.20001.60000.80000.4000图图3P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00图纸使用不当图纸使用不当。实际作图时，实际作图时，坐标原点的读坐标原点的读数可以不从零数

11、可以不从零开始开始。定容气体压强温度曲线定容气体压强温度曲线1.00001.15001.20001.10001.0500 P(105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t()改正为：改正为：3.3.作图举例作图举例 直角坐标举例。测得铜电阻与温度对应的直角坐标举例。测得铜电阻与温度对应的一组数据如表所示，试用直角坐标作图表一组数据如表所示，试用直角坐标作图表示出电阻与温度的函数关系。示出电阻与温度的函数关系。 测量次数12345678910铜电阻 Rt10.2010.2010.3510.3510.5110.5110.6410.6410.7610

12、.7610.9410.9411.0811.0811.2211.2211.3611.3611.5311.53温度 t0.00.05.05.010.010.015.015.020.020.025.025.030.030.035.035.040.040.045.045.0)()( C在图中任选两点在图中任选两点 和和 ，将两点代入式中可得：将两点代入式中可得：最后，得到电阻随温度的变化关系为：最后，得到电阻随温度的变化关系为：)(20.100314. 0 tRc0314. 00 .130 .4860.1070.11 a由于有由于有x=0的坐标点，故的坐标点，故20.10 b)70.11, 0 .48

13、(1P)60.10, 0 .13(2P 2.用电势差计校准量程为用电势差计校准量程为1mV的毫伏的毫伏表，测量数据如下（表中单位均为表，测量数据如下（表中单位均为mV）。）。在如图所示的坐标中画出毫伏表的校准曲线，在如图所示的坐标中画出毫伏表的校准曲线，并对毫伏表定级别。并对毫伏表定级别。 毫伏表读数毫伏表读数0.100 0.200 0.300 0.400 0.500 电势差计读数电势差计读数0.1050 0.2150 0.3130 0.4070 0.5100 修正值修正值U 0.005 0.015 0.013 0.007 0.010 0.600 0.700 0.800 0.900 1.000

14、 0.6030 0.6970 0.7850 0.8920 1.0070 0.003 -0.003 -0.015 -0.008 0.007 毫伏表读数毫伏表读数 电势差计读数电势差计读数 修正值修正值U NoImage%5 . 1%10000. 1015. 0%100%amax 量量程程 毫伏表的级别为：毫伏表的级别为：为为1.5级表级表 1.1.逐差法的含义逐差法的含义 把实验测量数量（因变量）进行逐把实验测量数量（因变量）进行逐项相减或依顺序分为两组实行对应项测项相减或依顺序分为两组实行对应项测量数据相减之差作因变量的多次测量值。量数据相减之差作因变量的多次测量值。然后求出最佳值然后求出最佳

15、值算术平均值的处理算术平均值的处理数据的方法。数据的方法。 逐差法是对等间距测量等间距测量的有序数据进行逐项逐项或相等间隔项相等间隔项相减得到结果的一种方法。它计算简便，并可充分利用测量数据，及时发现差错，总结规律，是物理实验中常用的一种数据处理方法。 1）逐差法的使用条件（1）自变量x是等间距离变化的。（2）被测的物理量之间的函数形式可以写成x的多项式，即 0ixiayni 2）逐差法的应用 例：例： 拉伸法测弹簧的倔强系数 设实验中等间隔地在弹簧下加砝码（如每次加一克），共加9次，分别记下对应的弹簧下端点的位置L0、L1、L2、L9，则可用逐差法进行以下处理。 （1）验证函数形式是线性关系

16、 把所测的数据逐项相减 当L1,L2、 L9基本相等时，就验证了外力与弹簧的伸长量之间的函数关系是线性的. 即F=K L 用此法可检查测量结果是否正确，但注意的是必须要逐项逐差。899122011, , ,LLLLLLLLL（2）求物理量数值 现计算每加一克砝码时弹簧的平均伸长量平均伸长量，若用上式，得： 从上式可看出，中间的测量值全部低消了，只有始末二次测量值起作用，与一次加九克砝码的测量完全等价。99)()()()(909892312019321LLLLLLLLLLLLLLL 为了保证多次测量的优点，只要在数据处理方法上作一些组合，仍能达到多次测量来减小误差的目的。因此一般使用逐差法的规则

17、如下： 通常可将等间隔所测量的值分成前后两组的，前一组为L0、L1、L2、L3、L4，后一组为L5、L6、L7、L8、L9，将前后两组的对应项相减为 再取平均值 由此可见，与上面一般求平均值方法不同，这时每个数据都用上了。但应注意，这里的 是增加五五克砝码时弹簧的平均伸长量。 , 495162051LLLLLLLLL )(51)()()(51 540491605iiiLLLLLLLLLL次数（K）12345678910电压 V（V）02.004.006.008.0010.0012.0014.0016.0018.00电流 I（mI）02.043.956.038.029.9611.9713.981

18、6.0418.062.041.912.081.991.942.012.012.062.029.969.9310.0310.0110.04伏安法测电阻伏安法测电阻,试用逐差法求出电试用逐差法求出电流流I的最佳值并算出电阻的最佳值并算出电阻R)(1mAIIKK)(5mAIIKK.若按逐项相减，则有若按逐项相减，则有 111)(1111nkkkIII 9102312.1101IIIIII 1101101II IVR 解：解：根据伏安公式根据伏安公式次数（K）12345678910电压 V（V）02.004.006.008.0010.0012.0014.0016.0018.00电流 I（mI）02.0

19、43.956.038.029.9611.9713.9816.0418.062.041.912.081.991.942.012.012.062.029.969.9310.0310.0110.04.若按顺序分为两组（若按顺序分为两组（15为一组，为一组，610为一组）为一组）mAI99. 9596. 993. 903.1001.1004.10 实行对应项相减，其结果如表：实行对应项相减，其结果如表：可以利用这种分组法计算因变量可以利用这种分组法计算因变量 的平均值的平均值根据欧姆定律得根据欧姆定律得)(1000. 11099. 900. 2533 IVR)(1mAIIKK)(5mAIIKK)( I

20、 2.2.有关逐差法的几点说明有关逐差法的几点说明 使用条件：使用条件： 自变量等间隔变化（对一次逐差必须自变量等间隔变化（对一次逐差必须 是线性关系，否则先进行曲线改直）是线性关系，否则先进行曲线改直） 用数据进行直线拟合（一次逐差）用数据进行直线拟合（一次逐差） 优点：优点： 充分利用测量数据（取平均的效果）充分利用测量数据（取平均的效果） 作用：作用： 验证函数是否线性关系（一次逐差）验证函数是否线性关系（一次逐差） 近性计算法比较：近性计算法比较：作图法：作图法： 直观、简便。但主观随意性大（粗略）直观、简便。但主观随意性大（粗略） 逐差法：逐差法： 粗略的近似计算方法（要满足一定条件

21、）粗略的近似计算方法（要满足一定条件） 回归分析法：回归分析法： 最准确的计算方法最准确的计算方法1.1.回归分析法定义：回归分析法定义： 由数理统计的方法处理数据，通过计算确定由数理统计的方法处理数据，通过计算确定其函数关系的方法。其函数关系的方法。步骤：步骤： 1.推断函数形式（回归方程）推断函数形式（回归方程）2.由实验数据确定参数由实验数据确定参数A、B、 C等的最佳值。等的最佳值。3.根据实验数据检验函数关系根据实验数据检验函数关系 是否合理。是否合理。 y=AeBx+c (指数关系）指数关系） 如如 y=A+Bx (线性关系）线性关系） 2.2.用最小二乘法进行一元线性回归用最小二

22、乘法进行一元线性回归 （1）最小二乘法原理）最小二乘法原理 给定函数关系为给定函数关系为 y = A + Bx 最小乘数最小乘数A和和B的值是能使各次的值是能使各次测量值误差平方和为最小的那个测量值误差平方和为最小的那个值。数学表达式为：值。数学表达式为： Kiiyy12min)(最小二乘法最小二乘法 由一组实验数据找出一条最佳的拟合直线（或曲线），常用的方法是最小二乘法。所得的变量之间的相关函数关系称为回归方程回归方程。所以最小二乘法线性拟合亦称为最小二乘法线性回归。本章只讨论用最小二乘法进行一元线性回归问题，有关，请参考其他书籍。1）一元线性回归 最小二乘法所依据的原理是：在最佳拟合直线上

23、，各相应点的值与测量值之差的平方和应比在其他的拟合直线上的都要小。 假设假设所研究的变量只有两个：x和y，且它们之间存在着线性相关关系，一元线性方程为： y=A+BX , 实验中测得的一组数据是： 需要解决的问题是：根据所测得的数据，如何确定上式中的常数A和B。实际上，相当于作图法求直线的斜率和截距。 由于实验点不可能都同时落在上式表示的直线上，为使讨论方便，限定： 所有测量值都是等精度的。只要实验中不改变实验条件和方法，这个条件就可以满足。 只有一个变量有明显的随机误差。因为xi和yi都含有误差，把误差较小的一个作为变量x，就可满足该条件。mmyyyyyxxxxx,:,:321321 假设在

24、上式中的x和y是在等精度条件下测量的，且y有偏差，记作 把实验数据代入方程y=A+BX后得： 其一般式为 , 321miiimBxAyyyBxAyyyBxAyyy22221111iiiiBxAyyy i的大小与正负表示实验点在直线两侧的分散程度，其值与A、B的数值有关。根据最小二乘法的思想，如果A、B的值使 最小，那么上式就是所拟合的直线。 求：A、B 由 对和求一阶偏导数，且使其为零得：mii122121)(iimiimiBxAy0)(20)(2121121iiimiimiiimiimixBxAyBBxAyA 令 为 x 的平均值，即 为 y 的平均值，即 为 x2的平均值，即 为xy的平均

25、值，即 代入前式中得： 解得xyimiymy11imixmx112x2121imixmxxyiimiyxmxy11002xBxAxyxBAyxByAxxxyyxB22)( 2）把非线性相关问题变换成线性相关问题 在实际问题题中，当变量间不是直线关系时，可以通过适当的变量变换，使不少曲线问题能够转化成线性相关的问题。需要注意的是，经过变换等精度的限定条件不一定满足，会产生一些新的问题。遇到这类情况应采取更恰当的曲线拟合方法。 例：若函数为X2+Y2=C,其中C为常数。 令：X=x2,Y=y2,则有：Y=C-X。 ，其中A、B为常数，将原方程化为： ， 令 则有：Y=B+AXBxAxyxABy1,

26、1 x,1xyY 3）相关系数（关联系数） 在函数形式确定以后，用回归法处理数据，其结果是唯一的，不会像作图法那样因人而异。可见用回归法处理问题的关键是函数形式的选取。 为了判断所得结果是否合理，在待定常数确定以后，还需要计算一下相关系数。对于一元线性回归，定义为：)()()()( 2222yyxxyxxy 相关系数的数值大小反映了相关程度的好坏。可以证明其值介于0和1之间，值越接近于1，说明实验数据能密集在求得的直线附近，x,y之间存在着线性关系，用线性函数进行回归比较合理。相反，如果其值远小于1而接近0，说明实验数据对求得的直线很分散，x与y之间不存在线性关系，即用线性回归不妥，必须用其他函数重新试探。在实验中，一般当 时，就认为两个物理量之间存在较密切的线性关系。9 . 0r0 拟合曲线斜率为正拟合曲线斜率为正 r0 斜率为负斜率为负 r=0 则则x和和y无线性关系无线性关系 例例 用本节作图法例子中电阻丝电阻值随温度变化的实验数据，：结合最小二乘法做以下内容（1）线性拟合，并写出直线方程：（2）求出电阻温度系数a和0时的电阻R0。（3）求出相关系数，评价相关程度。 测量次数12345678910铜电阻Rt1 10 0. .2 20 01 10