概率论各章PPT

1、广东工业大学广东工业大学1 1 大数定理大数定理 2 2 中心极限定理中心极限定理广东工业大学广东工业大学广东工业大学广东工业大学一、问题的提出一、问题的提出 1、频率的稳定性、频率的稳定性 2、算术平均值的稳定性、算术平均值的稳定性 二、依概率收敛二、依概率收敛 设设 是一个随机变量序列，是一个随机变量序列，a 是一个常数。是一个常数。 ,21nYYY若对任意若对任意 ，有，有 0 1|lim aYPnn0|lim aYPnn或或 则称随机变量序列则称随机变量序列 依概率收敛于依概率收敛于a。记为。记为 ,21nYYYaYPn1、定义、定义 广东工业大学广东工业大学2、依概率收敛的性质、依概

2、率收敛的性质 设设 ，且，且 在点在点 连续，则连续，则 ,aXPnbYPn),(yxg),(yx),(),(bagYXgPnn3、大数定律的概念、大数定律的概念设设 是一个随机变量序列，记是一个随机变量序列，记 ,21nXXXnXXXYnn 21 niiXn11若存在常数序列若存在常数序列 ，使得对任意，使得对任意 ，都有，都有 ,21naaa0 1|lim nnnaYP则称随机变量序列则称随机变量序列 服从服从大数定律大数定律(大数法则大数法则)。,21nXXX广东工业大学广东工业大学设随机变量设随机变量X具有数学期望具有数学期望 ，方差，方差 。 EX2 DX 22| XP221| XP

3、广东工业大学广东工业大学例例1 假设一批种子的良种率为假设一批种子的良种率为1/61/6，从中任意选出，从中任意选出600600粒，试计算粒，试计算这这600600粒种子中良种所占比例与粒种子中良种所占比例与 1/61/6之差的绝对值不超过之差的绝对值不超过0.020.02的的概率。概率。广东工业大学广东工业大学例例1 假设一批种子的良种率为假设一批种子的良种率为1/61/6，从中任意选出，从中任意选出600600粒，试计算粒，试计算这这600600粒种子中良种所占比例与粒种子中良种所占比例与 1/61/6之差的绝对值不超过之差的绝对值不超过0.020.02的的概率。概率。解：解：设设X表示表

4、示600粒种子中的良种数，粒种子中的良种数，)6/1 ,600( BX则有则有 于是于是 10061600 EX32506561600)( XD02. 0|61600| XP12|100| XP212)(1XD 4213. 0 由契比雪夫不等式，有由契比雪夫不等式，有 广东工业大学广东工业大学例例2(01) 设设X的方差为的方差为2,则根据切比雪夫不等式有估计则根据切比雪夫不等式有估计 2|EXXP广东工业大学广东工业大学1|11|lim11 niiniinEXnXnP0|11|lim11 niiniinEXnXnP1 1、切比雪夫大数定律、切比雪夫大数定律, cDXi ., 2 , 1 i,

5、 0 并且它们有公共上界，即并且它们有公共上界，即则对任意则对任意,21nXXXiDX相互独立，方差相互独立，方差设随机变量设随机变量都存在，都存在，都有都有或或意义意义: 在定理的条件下，在定理的条件下，n个随机变量的算术平均，个随机变量的算术平均，当当n无限增加时将几乎变成一个常数。无限增加时将几乎变成一个常数。 四、大数定律四、大数定律 广东工业大学广东工业大学2、切比雪夫大数定律的特殊情况、切比雪夫大数定律的特殊情况 设随机变量设随机变量 相互独立，且具有相同的相互独立，且具有相同的 ,21nXXX数学期望和方差：数学期望和方差： ,)( kXE2)( kXD), 2 , 1( k记记

6、 ,11 niiXnX, 0 则对任意则对任意有有 |lim XPn1|1|lim1 niinXnP|lim XPn0|1|lim1 niinXnP或或 广东工业大学广东工业大学1|1|lim1 pXnPniin0|1|lim1 pXnPniin1|lim pnXPn0|lim pnXPn3 3、伯努利大数定律、伯努利大数定律（2 2）设）设X为为n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A发生的次数，且每次试验发生的次数，且每次试验或或 ,21nXXX10 , 0 相互独立且都服从参数为相互独立且都服从参数为p的的分布，则对任意分布，则对任意（1）设随机变量）设随机变量都有都有或或, 0 都有都

7、有,)(pAP 中中A发生的概率为发生的概率为 则对任意则对任意广东工业大学广东工业大学11.20广东工业大学广东工业大学1|1|lim1 niinXnP0|1|lim1 niinXnP或或4、辛钦大数定律、辛钦大数定律相互独立同分布，期望存在。相互独立同分布，期望存在。,21nXXX, 0 设随机变量设随机变量记记 为它们共同的期望，则对任意为它们共同的期望，则对任意 都有都有广东工业大学广东工业大学例例1 1 设设 独立同分布独立同分布,且且 则则,21nXXX, 0)( iXE lim1nXPniin广东工业大学广东工业大学广东工业大学广东工业大学一、问题的提出一、问题的提出 例如例如:

8、 : 考虑大炮的射程考虑大炮的射程. .受风速、风向影响产生的误差；受风速、风向影响产生的误差； 在很多实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的在很多实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响。总的影响。如如大炮炮身结构导致的误差；大炮炮身结构导致的误差；发炮士兵技术引起的误差等等。发炮士兵技术引起的误差等等。对我们来说重要的是这些随机因素的总影响。对我们来说重要的是这些随机因素的总影响。大炮的射程受很多随机因素的影响大炮的射程受很多随机因素的影响:瞄准时的误差；瞄准时的误差；广东工业大学广东工业大学下面我们来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题。下面我们来研究独立随机变量之和

9、所特有的规律性问题。 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究，故我们不研究n个个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量的分布函数的极限。的分布函数的极限。设随机变量序列设随机变量序列 相互独立，相互独立，,21nXXX记记 nnXXXY 21当当n无限增大时，无限增大时， 的极限分布是什么呢？的极限分布是什么呢？nY)()(111 niiniiniinXDXEXZ niiX1)()(nnnYDYEY 广东工业大学广东工业大学1 1、李雅普诺夫中心极限定理、李雅普诺夫中心极限定理 则有则有 设随机变量设随机变量 相

10、互独立，具有数学期望和方差：相互独立，具有数学期望和方差：,21XXiiXE )(0)(2 iiXD , 2 , 1 i记记 ,122 niinB 若存在正数若存在正数 ，使得当，使得当 时，有时，有 n niiinXEB1220|1 nniiniiBX 11 近似地近似地 )1 , 0(Nlim11xBXPnniiniin )(x dtetx2/221 即，即，n 充分大时，有充分大时，有 二、中心极限定理二、中心极限定理广东工业大学广东工业大学nniiniiBX 11 近似地近似地 )1 , 0(N即，即，n 充分大时，有充分大时，有 nZ近似地近似地 ),(1nniiBN 则当则当n 充

11、分大时，有充分大时，有 niinnniiZBX11 有有,11 niinnniiZBX 定理说明：定理说明：无论各个随机变量服从什么分布，只要满足定理无论各个随机变量服从什么分布，只要满足定理的条件，那么当的条件，那么当n很大时，它们的和就近似服从正态分布。很大时，它们的和就近似服从正态分布。 二、中心极限定理二、中心极限定理1 1、李雅普诺夫中心极限定理、李雅普诺夫中心极限定理 广东工业大学广东工业大学)(lim1xxnnXPniin 2 2、林德伯格、林德伯格- -列维定理（独立同分布的中心极限定理）列维定理（独立同分布的中心极限定理）,21nXXX独立同分布，且具有数学期独立同分布，且具

12、有数学期 设随机变量设随机变量望和方差：望和方差：), 2 , 1(0)(,)(2 kXDXEkk 记记 )()(111 niiniiniinXDXEXYnnXnii 1的分布函数为的分布函数为 ， )(xFn则对任意实数则对任意实数x，有，有 )(limxFnndtetx2/221 广东工业大学广东工业大学 2 2、林德伯格、林德伯格- -列维定理（独立同分布的中心极限定理）列维定理（独立同分布的中心极限定理）)(lim1xxnnXPniin )(limxFnndtetx2/221 nnXnii 1近似地近似地 )1 , 0(N即，即，n 充分大时，有充分大时，有 nXnnii/11 近似地

13、近似地 )1 , 0(N可化为可化为 niiXnX11记记 nX/ 近似地近似地 )1 , 0(N则有则有 广东工业大学广东工业大学 2 2、林德伯格、林德伯格- -列维定理（独立同分布的中心极限定理）列维定理（独立同分布的中心极限定理）)(lim1xxnnXPniin )(limxFnndtetx2/221 nnXnii 1近似地近似地 )1 , 0(N即，即，n 充分大时，有充分大时，有 niiXnX11记记 nX/ 近似地近似地 )1 , 0(N则有则有 或或 X近似地近似地 ),(2nN 大样本统计大样本统计推断的基础推断的基础广东工业大学广东工业大学广东工业大学广东工业大学例例1 一

14、加法器同时收到一加法器同时收到20个噪声电压个噪声电压 ，设它们，设它们)20, 2 , 1( kVk是相互独立的随机变量，且都在区间是相互独立的随机变量，且都在区间 上服从均匀分布。上服从均匀分布。)10, 0(记记 ，求，求 的近似值。的近似值。 201kkVV105 VP广东工业大学广东工业大学例例2 一盒同型号螺丝钉共有一盒同型号螺丝钉共有100个，已知该型号的螺丝钉的重量个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值为是一个随机变量，期望值为100g，标准差是，标准差是10g，求一盒螺丝钉，求一盒螺丝钉的重量起过的重量起过 10.2kg的概率。的概率。广东工业大学广东工业大学例例

15、3 3 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。假设每箱平均重设每箱平均重50千克，标准差为千克，标准差为5千克。若用最大载重为千克。若用最大载重为5吨的吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于才能保障不超载的概率大于0.977.其中其中 。977. 0)2( 广东工业大学广东工业大学的分布函数的极限。的分布函数的极限。设随机变量序列设随机变量序列 相互独立，相互独立，,21nXXX记记 nnXXXY 21)()(111 niiniini

16、inXDXEXZ niiX1)()(nnnYDYEY 考虑考虑标准化标准化随机变量随机变量 广东工业大学广东工业大学1 1、李雅普诺夫中心极限定理、李雅普诺夫中心极限定理 则有则有 设随机变量设随机变量 相互独立，具有数学期望和方差：相互独立，具有数学期望和方差：,21XXiiXE )(0)(2 iiXD , 2 , 1 i记记 ,122 niinB 若存在正数若存在正数 ，使得当，使得当 时，有时，有 n niiinXEB1220|1 nniiniiBX 11 近似地近似地 )1 , 0(Nlim11xBXPnniiniin )(x dtetx2/221 即，即，n 充分大时，有充分大时，有

17、 广东工业大学广东工业大学)(lim1xxnnXPniin 2 2、林德伯格、林德伯格- -列维定理（独立同分布的中心极限定理）列维定理（独立同分布的中心极限定理）,21nXXX独立同分布，且具有数学期独立同分布，且具有数学期 设随机变量设随机变量望和方差：望和方差：), 2 , 1(0)(,)(2 kXDXEkk 记记 )()(111 niiniiniinXDXEXYnnXnii 1的分布函数为的分布函数为 ， )(xFn则对任意实数则对任意实数x，有，有 )(limxFnndtetx2/221 即，即，n 充分大时，有充分大时，有 近似地近似地 )1 , 0(N广东工业大学广东工业大学棣莫

18、弗棣莫弗-拉拉普拉斯中心普拉斯中心极限定理极限定理 2 2、林德伯格、林德伯格- -列维定理（独立同分布的中心极限定理）列维定理（独立同分布的中心极限定理）,21nXXX独立同分布，且具有数学期独立同分布，且具有数学期 设随机变量设随机变量望和方差：望和方差：), 2 , 1(0)(,)(2 kXDXEkk 记记 )()(111 niiniiniinXDXEXYnnXnii 1近似地近似地 )1 , 0(N 均服从参数为均服从参数为p的的0-10-1分布分布 于是有于是有 )1 (1pnpnpXnii 近似地近似地 )1 , 0(N广东工业大学广东工业大学,21nXXX相互独立相互独立, ,均

19、服从参数为均服从参数为p的的设随机变量设随机变量0-1分布，则对任意实数分布，则对任意实数 x，有，有 )()1(lim1xxpnpnpXPniin dtetx2/221 3 3、棣莫弗、棣莫弗- -拉普拉斯中心定理拉普拉斯中心定理 即，即，n 充分大时，有充分大时，有 )1 (1pnpnpXnii 近似地近似地 )1 , 0(N广东工业大学广东工业大学,21nXXX相互独立相互独立, ,均服从参数为均服从参数为p的的设随机变量设随机变量0-1分布，则对任意实数分布，则对任意实数 x，有，有 )()1(lim1xxpnpnpXPniin dtetx2/221 3 3、棣莫弗、棣莫弗- -拉普拉

20、斯中心定理拉普拉斯中心定理 即，即，n 充分大时，有充分大时，有 )1 (1pnpnpXnii 近似地近似地 )1 , 0(N niinXY1),(pnB广东工业大学广东工业大学)()1(limxxpnpnpYPnn 3 3、棣莫弗、棣莫弗- -拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）)1(pnpnpYn 近似地近似地 )1 , 0(N即，即，n 充分大时，有充分大时，有 设随机变量设随机变量 服从参数为服从参数为n，p的二项分布，的二项分布，nY则对任意则对任意 实数实数x，恒有，恒有 dtetx2/221 或或 近似地近似地 )1(,(pnp

21、npN nY意义：在实际应用中，只要意义：在实际应用中，只要n充分大，二项分布就可以用正态充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。分布来近似计算。广东工业大学广东工业大学（1）对任意非负整数）对任意非负整数nk, 2 , 1 , 0 kXP)1(5 . 0()1(5 . 0(pnpnpkpnpnpk 意义：在实际应用中，只要意义：在实际应用中，只要n充分大，二项分布就可以用正态充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。分布来近似计算。设设 ),(pnBX5 . 05 . 0 kXkP)1(5 . 0)1()1(5 . 0pnpnpkpnpnpXpnpnpkP n充分大充分大 广东工业大学

22、广东工业大学（2）对任意非负整数）对任意非负整数nkk 21021kXkP )1()1(12pnpnpkpnpnpk 意义：在实际应用中，只要意义：在实际应用中，只要n充分大，二项分布就可以用正态充分大，二项分布就可以用正态分布来近似计算。分布来近似计算。设设 ),(pnBX)1()1()1(21pnpnpkpnpnpXpnpnpkP n充分大充分大 广东工业大学广东工业大学广东工业大学广东工业大学例例1 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于角大于 的概率的概率 ，若船舶遭受了，若船舶遭受了9000090000次波浪冲击，问

23、其次波浪冲击，问其中有中有29500295003050030500次纵摇角度大于次纵摇角度大于 的概率是多少的概率是多少? ?333/1 p广东工业大学广东工业大学解：解： 在在90000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 的次数记为的次数记为X，3则有则有 )3/1 ,90000( BX于是，所求概率为于是，所求概率为 3050029500 XP 30500295009000090000)311()31(kkkkCknkknppCkXP )1(例例1 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于角大于 的概率的概率 ，若

24、船舶遭受了，若船舶遭受了9000090000次波浪冲击，问其次波浪冲击，问其中有中有29500295003050030500次纵摇角度大于次纵摇角度大于 的概率是多少的概率是多少? ?333/1 p广东工业大学广东工业大学例例1 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于角大于 的概率的概率 ，若船舶遭受了，若船舶遭受了9000090000次波浪冲击，问其次波浪冲击，问其中有中有29500295003050030500次纵摇角度大于次纵摇角度大于 的概率是多少的概率是多少? ?333/1 p解：解： 在在90000次波浪冲击中纵摇

25、角大于次波浪冲击中纵摇角大于 的次数记为的次数记为X，3则有则有 )3/1 ,90000( BX于是，所求概率为于是，所求概率为 （利用中心极限定理）（利用中心极限定理） 3050029500 XP)1(30500)1()1(29500pnpnppnpnpXpnpnpP )1(29500()1(30500(pnpnppnpnp )2/25()2/25( 9995. 0 拉普拉斯中拉普拉斯中心极限定理心极限定理广东工业大学广东工业大学例例2 假设一批种子的良种率为假设一批种子的良种率为1/61/6，从中任意选出，从中任意选出600600粒，试计算粒，试计算这这600600粒种子中良种所占比例与粒

26、种子中良种所占比例与1/61/6之差的绝对值不超过之差的绝对值不超过0.020.02的概的概率。率。解：解：设设X表示表示600粒种子中的良种数，粒种子中的良种数，)6/1 ,600( BX则有则有 于是于是 10061600 EX32506561600)( XD02. 0|61600| XP12|100| XP212)(1XD 4213. 0 由由契比雪夫不等式契比雪夫不等式，有，有 广东工业大学广东工业大学例例2 假设一批种子的良种率为假设一批种子的良种率为1/61/6，从中任意选出，从中任意选出600600粒，试计算粒，试计算这这600600粒种子中良种所占比例与粒种子中良种所占比例与1

27、/61/6之差的绝对值不超过之差的绝对值不超过0.020.02的概的概率。率。法二（利用拉普拉斯中心极限定理）：法二（利用拉普拉斯中心极限定理）：02. 0|61600| XP12|100| XP1210012 XP3/250123/2501003/25012 XP)3/25012()3/25012( 8114. 0 解：解：设设X表示表示600粒种子中的良种数，粒种子中的良种数，)6/1 ,600( BX则有则有 于是于是 10061600 EX32506561600)( XD广东工业大学广东工业大学例例2 假设一批种子的良种率为假设一批种子的良种率为1/61/6，从中任意选出，从中任意选出

28、600600粒，试计算粒，试计算这这600600粒种子中良种所占比例与粒种子中良种所占比例与1/61/6之差的绝对值不超过之差的绝对值不超过0.020.02的概的概率。率。法二（利用拉普拉斯中心极限定理）：法二（利用拉普拉斯中心极限定理）：02. 0|61600| XP12|100| XP1210012 XP3/250123/2501003/25012 XP)3/25012()3/25012( 8114. 0 02. 0|61600| XP12|100| XP212)(1XD 4213. 0 由由契比雪夫不等式契比雪夫不等式，有，有 广东工业大学广东工业大学例例3 设某保险公司有设某保险公司有

29、10000人投保人投保,每人每年交保费每人每年交保费12元元,投保人每投保人每年的死亡率为年的死亡率为0.006.若投保人死亡若投保人死亡,则公司付给死亡人家属则公司付给死亡人家属1000元元,求求(1)保险公司没有利润的概率保险公司没有利润的概率;(2)每年利润不少于每年利润不少于60000元的概率元的概率.广东工业大学广东工业大学例例3 设某保险公司有设某保险公司有10000人投保人投保,每人每年交保费每人每年交保费12元元,投保人每投保人每年的死亡率为年的死亡率为0.006.若投保人死亡若投保人死亡,则公司付给死亡人家属则公司付给死亡人家属1000元元,求求(1)保险公司没有利润的概率保

30、险公司没有利润的概率;(2)每年利润不少于每年利润不少于60000元的概率元的概率.解解: 设设10000投保人中一年死亡投保人中一年死亡 人，人， 则显然有则显然有 )006. 0 ,10000( BX保险公司一年的收入为：保险公司一年的收入为： 1210000 元元120000 保险公司一年的支出为：保险公司一年的支出为： 元元X1000（1） 保险公司没有利润的概率为保险公司没有利润的概率为 1200001000 XP120 XP64.596012064.59601 XP006. 010000 npEX60 994. 0006. 010000)1( pnpDX64.59 )64.5960

31、(1 0 拉普拉斯中拉普拉斯中心极限定理心极限定理1201 XP广东工业大学广东工业大学例例3 设某保险公司有设某保险公司有10000人投保人投保,每人每年交保费每人每年交保费12元元,投保人每投保人每年的死亡率为年的死亡率为0.006.若投保人死亡若投保人死亡,则公司付给死亡人家属则公司付给死亡人家属1000元元,求求(1)保险公司没有利润的概率保险公司没有利润的概率;(2)每年利润不少于每年利润不少于60000元的概率元的概率.解解: 设设10000投保人中一年死亡投保人中一年死亡 人，人， 则显然有则显然有 )006. 0 ,10000( BX保险公司一年的收入为：保险公司一年的收入为：

32、 1210000 元元120000 保险公司一年的支出为：保险公司一年的支出为： 元元X1000（2） 每年利润不少于每年利润不少于60000元的概率为元的概率为 600001000120000 XP60 XP64.59606064.5960 XP)0( 21 拉普拉斯中拉普拉斯中心极限定理心极限定理006. 010000 npEX60 994. 0006. 010000)1( pnpDX64.59 广东工业大学广东工业大学例例4 4 设设 相互独立相互独立, ,设设nXXX,21,21nnXXXS 则根据列维则根据列维-林德伯格中心极限定理林德伯格中心极限定理,当当n充分大时充分大时, nS

33、近似服从正态分布近似服从正态分布,只要只要 nXXX,21(A) 有相同的数学期望有相同的数学期望 (B) 有相同的分布有相同的分布 (C) 服从同一指数分布服从同一指数分布 (D) 服从同一离散型分布服从同一离散型分布 广东工业大学广东工业大学例例5 5 设设 为独立同分布序列为独立同分布序列, ,且均服从参数为且均服从参数为 的的指数分布指数分布, ,则则,21nXXX )(lim1xxnnXPniin )(lim1xxnnXPniin )(lim1xxnXPniin )(lim1xxnXPniin （A） （B）（C） （D）广东工业大学广东工业大学例例6 6 假设假设 独立同分布独立同

34、分布, ,已知已知 nXXX,21kkaEX ),4 , 3 , 2 , 1( k0224 aa并且并且。证明当。证明当n充分大时，随机变量充分大时，随机变量 近似服从正态分布近似服从正态分布,并指出其分布参数。并指出其分布参数。 niinXnY121广东工业大学广东工业大学例例6 6 假设假设 独立同分布独立同分布, ,已知已知 nXXX,21kkaEX ),4 , 3 , 2 , 1( k0224 aa并且并且。证明当。证明当n充分大时，随机变量充分大时，随机变量 近似服从正态分布近似服从正态分布,并指出其分布参数。并指出其分布参数。 解：解： 由已知知，由已知知， 22221,nXXX独

35、立同分布，独立同分布， 且且 ,)(22aXEi )(2iXD224)()(iiXEXE 224aa 0 即即 22221,nXXX独立同分布，期望与方差均存在。独立同分布，期望与方差均存在。由独立同分布的中心极限定理，由独立同分布的中心极限定理， 当当n充分大时，有充分大时，有)(224212aannaXnii 近似地近似地 )1 , 0(N于是，于是， niinXnY121广东工业大学广东工业大学例例6 6 假设假设 独立同分布独立同分布, ,已知已知 nXXX,21kkaEX ),4 , 3 , 2 , 1( k0224 aa并且并且。证明当。证明当n充分大时，随机变量充分大时，随机变量

36、 近似服从正态分布近似服从正态分布,并指出其分布参数。并指出其分布参数。 解：解： )(224212aannaXnii 近似地近似地 )1 , 0(N由已知知，由已知知， 22221,nXXX独立同分布，独立同分布， 且且 ,)(22aXEi )(2iXD224)()(iiXEXE 224aa 0 即即 22221,nXXX独立同分布，期望与方差均存在。独立同分布，期望与方差均存在。由独立同分布的中心极限定理，由独立同分布的中心极限定理， 当当n充分大时，有充分大时，有于是，于是， niinXnY121广东工业大学广东工业大学例例6 6 假设假设 独立同分布独立同分布, ,已知已知 nXXX,

37、21kkaEX ),4 , 3 , 2 , 1( k0224 aa并且并且。证明当。证明当n充分大时，随机变量充分大时，随机变量 近似服从正态分布近似服从正态分布,并指出其分布参数。并指出其分布参数。 解：解： )(224212aannaXnii 近似地近似地 )1 , 0(N niinXnY121naaaXnnii/ )(1224212 近似地近似地 )1 , 0(N广东工业大学广东工业大学例例6 6 假设假设 独立同分布独立同分布, ,已知已知 nXXX,21kkaEX ),4 , 3 , 2 , 1( k0224 aa并且并且。证明当。证明当n充分大时，随机变量充分大时，随机变量 近似服

38、从正态分布近似服从正态分布,并指出其分布参数。并指出其分布参数。 解：解： niinXnY121),(2242naaaN 近似近似 niinXnY121naaaXnnii/ )(1224212 近似地近似地 )1 , 0(N广东工业大学广东工业大学例例7 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、变量，设一个学生无家长、1名家长、名家长、2名家长来参加会议的概名家长来参加会议的概率分别是率分别是0.05、0.8、0.15。若学校共有。若学校共有400名学生，设各学生参名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服

39、从同一分布。（加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（1）求来参加）求来参加会议的家长数会议的家长数X超过超过450的概率；（的概率；（2）求有）求有1名家长来参加会议名家长来参加会议的学生数不多于的学生数不多于340的概率。的概率。广东工业大学广东工业大学例例7 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、变量，设一个学生无家长、1名家长、名家长、2名家长来参加会议的概名家长来参加会议的概率分别是率分别是0.05、0.8、0.15。若学校共有。若学校共有400名学生，设各学生参名学生，设各学生参加会议的家长数相

40、互独立，且服从同一分布。（加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（1）求来参加）求来参加会议的家长数会议的家长数X超过超过450的概率；（的概率；（2）求有）求有1名家长来参加会议名家长来参加会议的学生数不多于的学生数不多于340的概率。的概率。解解: (1) 以以 表示第表示第k个学生来参加会议的家长个学生来参加会议的家长kX)400, 2 , 1( k人数。人数。易知易知 的分布律为的分布律为 kX15. 08 . 005. 0210PXk有有 , 1 . 1)( kXE.19. 0)( kXD由独立同分布的极限定理，有由独立同分布的极限定理，有 则有则有 ,4001 kkXX450 XP4504001 kkXP19. 040040045019. 04001 . 14004001 kkXP)147. 1(1 1257. 0 广东工业