概率统计第8讲

1、统计学原理统计学原理第八讲第八讲参数估计参数估计统计方法分类统计方法分类统计方法统计方法描述统计描述统计推断统计推断统计参数估计参数估计假设检验假设检验区间估计区间估计点估计点估计参数估计参数估计 从总体中抽取一部分单位进行调查，从总体中抽取一部分单位进行调查，进而利用样本提供的信息来推断总体的进而利用样本提供的信息来推断总体的未知参数和数值特征的方法和过程就是未知参数和数值特征的方法和过程就是参数估计。参数估计。 1.估计量估计量：用于估计总体参数的统计量。：用于估计总体参数的统计量。例如例如: 样本均值就是总体均值样本均值就是总体均值 的一个估计量。的一个估计量。提示提示：参数用：参数用

2、表示，估计量表示，估计量用用 表示。表示。 2.估计值估计值：抽样后计算出来的统计量的具体值。：抽样后计算出来的统计量的具体值。例如例如：样本均值：样本均值 x =80，则，则80就是就是 的估计值。的估计值。估计量和估计值估计量和估计值 （一）基本概念（一）基本概念 用样本的估计量的观测值直接作为总体参用样本的估计量的观测值直接作为总体参数的估计值。数的估计值。 例如：例如：用样本均值直接用样本均值直接作为作为总体均值的估计。总体均值的估计。用两个样本标准差直接用两个样本标准差直接作为作为总体标准差的估计。总体标准差的估计。主题一：点估计主题一：点估计x Xp P X2 122 nxxxS

3、p p p P 122 优良估计量总体参数 评判估计量的优劣，常用的优良性准评判估计量的优劣，常用的优良性准则有：则有： 无偏性无偏性 有效性有效性 一致性（相合性）一致性（相合性）v无偏性无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数。估计的总体参数。 x课堂练习课堂练习v 设设 为来自正态总体为来自正态总体 的简单随机样本，的简单随机样本， 若若 是是 的无偏估计量，则常数的无偏估计量，则常数C为为。12,nXXX2(0,)N21()nC XX212xv一致性一致性：随着样本容量的增大，估计量的：随着样本容量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体

4、参数值越来越接近被估计的总体参数x 1、优点：、优点： （1）简单明了；）简单明了； （2）能提供具体估计值。）能提供具体估计值。 2、缺点：、缺点： （1）无法提供误差情况；）无法提供误差情况； （2）估计的可靠程度无从知晓。）估计的可靠程度无从知晓。 一、基本概念一、基本概念 在点估计的基础上，给出可能包含总体参在点估计的基础上，给出可能包含总体参数真实值的一个区间，并且还给出该区间包数真实值的一个区间，并且还给出该区间包含总体参数真实值的含总体参数真实值的可能性可能性大小。大小。 比如，通过估计得到某校数学平均分数以比如，通过估计得到某校数学平均分数以95%的可能性落在的可能性落在758

5、5之间。之间。 1.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比率称间包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平为置信水平 。 2.表示为表示为 (1 - 为是总体参数未在区间内的概率为是总体参数未在区间内的概率 。 3.常用的置信水平值有常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%。相应的相应的 为为0.01，0.05，0.10。置信度（水平）置信度（水平） 1.按照置信度要求所构造的总体参数的估计按照置信度要求所构造的总体参数的估计区间称为区间称为置信区间置信区间。 2. 在某种程度上相信这个区间会包含真正的在某种程度上相

6、信这个区间会包含真正的总体参数。总体参数。 3.但用具体一个样本计算出的置信区间可能但用具体一个样本计算出的置信区间可能包含也可能不包含总体参数的真实值。包含也可能不包含总体参数的真实值。置信区间置信区间 抽样平均误差抽样平均误差v 也叫也叫抽样标准误差抽样标准误差，即估计量的标准，即估计量的标准差，简称。一般用反映了估计量与被估差，简称。一般用反映了估计量与被估参数之参数之标准误标准误间的平均差异程度。间的平均差异程度。 说明说明：未特别说明，本讲的抽样标准：未特别说明，本讲的抽样标准误差特指误差特指样本均值的标准差样本均值的标准差。重要公式重要公式 n X x抽样极限误差抽样极限误差v 也

7、叫边际误差，常用也叫边际误差，常用表示。可简称表示。可简称为极限误差或允许误差。反映估计的精为极限误差或允许误差。反映估计的精度，度， 越小越精确。越小越精确。 1. 1.区间的中心区间的中心 点估计点估计，如：，如： 2.区间的半径区间的半径 允许（极限）误差允许（极限）误差 3.区间的置信度区间的置信度 区间包含总体参数的概率区间包含总体参数的概率 xx xpx 、区区间间估估计计三三要要素素2xp2s二、一个总体参数的区间估计二、一个总体参数的区间估计1.1.假定条件：假定条件： 总体服从正态分布；如果不是正态分布，可由总体服从正态分布；如果不是正态分布，可由正态分布来近似正态分布来近似

8、 ( (n30n30）。）。2.2.使用正态分布统计量：使用正态分布统计量：3.3.区间估计为：区间估计为：)1 ,0( Nnuxz_2xzn/ 210105.361.9625105.363.92101.44,109.28xzn36.105xX随机对随机对100名本校学生的午餐费进行调查名本校学生的午餐费进行调查，得样本均值，得样本均值5元，假如总体的标准差为元，假如总体的标准差为1.5元，试求本校大学生平均午餐费的元，试求本校大学生平均午餐费的95%的的置信区间。置信区间。1.1.假定条件：假定条件：总体服从正态分布总体服从正态分布, ,且方差且方差 未知未知小样本小样本 ( (n n30)

9、30)2.2.使用使用t t分布统计量：分布统计量：3.3.区间估计为：区间估计为：)1(ntnsxt_2(1)sx tnn/ 224.771490221476.8,1503.2sxtn1490 x77.24s/2tt 分布分布说说 明明v 在大样本（在大样本（n30）的情况下，因）的情况下，因为为t分布的临界值与正态分布的临界值分布的临界值与正态分布的临界值近似相等。所以，在总体方差未知但近似相等。所以，在总体方差未知但是大样本的情况下，也可以使用正态是大样本的情况下，也可以使用正态分布的临界值代替分布的临界值代替t分布的临界值。分布的临界值。/ 27.7739.5

10、1.6453639.52.1337.37, 41.63sxzn5 .39x77. 7s课堂练习课堂练习v 从一批元件中随机抽取从一批元件中随机抽取2525只，测得只，测得其平均使用寿命为其平均使用寿命为950950小时，样本标准小时，样本标准差为差为100100小时。假设这批元件的使用寿小时。假设这批元件的使用寿命服从正态分布，试以命服从正态分布，试以95%95%的置信度估的置信度估计这批元件的使用寿命。计这批元件的使用寿命。1.假定条件假定条件总体服从二项分布总体服从二项分布样本量足够大，可用正态分布近似样本量足够大，可用正态分布近似2.使用正态分布统计量使用正态分布统计量 z(0,1)(1

11、)pzNppn2(1- )pppzn1z/2(1)65%(165%)65%1.9610065%9.35%55.65%,74.35%pppzn1z课堂练习课堂练习v 设从一大批产品中抽取设从一大批产品中抽取100100个作为样个作为样品，测得有以及品品，测得有以及品6060个，求这批产品的个，求这批产品的一级品率的置信水平一级品率的置信水平95%95%为置信区间。为置信区间。说说 明明v 对总体比例进行估计时，一定得对总体比例进行估计时，一定得是大样本。并且，由于总体比例未知，是大样本。并且，由于总体比例未知，方差一定未知。所以，对比例进行估方差一定未知。所以，对比例进行估计时，只有计时，只有“

12、方差未知，大样本方差未知，大样本”一种一种情况。情况。 主题三：样本容量的确定主题三：样本容量的确定 一、估计总体均值时一、估计总体均值时v说明：说明：计算结果如果是小数的话，应向上取计算结果如果是小数的话，应向上取整，即不论小数为多少，一律进一位。整，即不论小数为多少，一律进一位。222Znv 某市职工家庭调查，根据历史资料，该市某市职工家庭调查，根据历史资料，该市职工家庭人均收入标准差为职工家庭人均收入标准差为2400元，用重置元，用重置抽样，要求平均收入的极限误差不超过抽样，要求平均收入的极限误差不超过200元，在概率保证度元，在概率保证度95.45%下，求样本的必要下，求样本的必要单位数目。单位数目。v二、估计总体成数时二、估计总体成数时 说明：说明： 因为因为P(1-P)0.25，当且仅当，当且仅当P=0.5时，取时，取0.25，所以当，所以当P未知时，取未知时，取P=0.5确定最大的样本容确定最大的样本容量。量。22)1(PPZnv 某市职工家庭调查，用重置抽样，要求某市职工家庭调查，用重置抽样，要求恩格尔系数的极限误差不超过恩格尔系数的极限误差不超过4%，在，在95.45%的概率保证度